Зависимость групповой скорости от частоты
В оптике дисперсия групповой скорости (ДГС) — это характеристика дисперсионной среды , чаще всего используемая для определения того, как среда влияет на длительность проходящего через нее оптического импульса. Формально ДГД определяется как производная обратной групповой скорости света в материале по угловой частоте , [1] [2]
![{\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\ омега )}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где и – угловые частоты, а групповая скорость определяется как . Единицами дисперсии групповой скорости являются [время] 2 /[расстояние], часто выражаемое в фс 2 / мм .![{\ displaystyle \ омега }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{g}(\omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v_{g}(\omega)\equiv \partial \omega /\partial k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эквивалентно, дисперсия групповой скорости может быть определена через волновой вектор, зависящий от среды, согласно формуле![{\ displaystyle k (\ омега)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv \left({\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right)_ {\omega =\omega _{0}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или через показатель преломления согласно![{\ displaystyle n (\ омега)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {2}{c}}\left({\frac {\partial n}{\partial \omega }}\right )_{\omega =\omega _{0}}+{\frac {\omega _{0}}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}n}{\partial \omega ^ {2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Приложения
Дисперсия групповой скорости чаще всего используется для оценки количества чирпа , который будет наложен на импульс света после прохождения через интересующий материал:
![{\displaystyle {\text{chirp}}=({\text{толщина материала}})\times {\text{GVD}}(\omega _{0})\times ({\text{пропускная способность}}). }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вывод
Простую иллюстрацию того, как GVD можно использовать для определения чирпа импульса, можно увидеть, рассмотрев эффект импульса с ограниченным преобразованием длительностью , проходящего через плоскую среду толщиной d . Перед прохождением через среду фазовые сдвиги всех частот выравниваются во времени, и импульс можно описать как функцию времени:![{\ displaystyle \ сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E(t)=Ae^{- {\frac {t^{2}}{4\sigma ^{2}}}}e^{-i\omega _{0}t},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или, что эквивалентно, как функция частоты,
![{\displaystyle E(\omega)=Be^{- {\frac {(ww_{0})^{2}}{4(1/2\sigma)^{2}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(параметры A и B являются константами нормировки). Прохождение через среду приводит к частотно-зависимому накоплению фазы , так что импульс после среды можно описать формулой ![{\displaystyle \Delta \phi (\omega) = k(\omega)d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E(\omega)=Be^{- {\frac {(ww_{0})^{2}}{4(1/2\sigma)^{2}}}}e^{ik (\омега)d}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В общем, показатель преломления и, следовательно, волновой вектор могут быть произвольной функцией от , что затрудняет аналитическое выполнение обратного преобразования Фурье во временную область. Однако если полоса пропускания импульса узка относительно кривизны , то хорошие аппроксимации влияния показателя преломления можно получить, заменив его разложением Тейлора с центром около :![{\ displaystyle n (\ омега)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k(\omega) = n(\omega)\omega /c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ омега }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle k (\ омега)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {n(\omega)\omega }{c}} =\underbrace {\frac {n(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} _{k( \omega _{0})}+\underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} \right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})+{\frac {1}{2}}\underbrace {\left[{\frac {2n '(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{\text{ГВД}}(\omega -\omega _{0})^{2}+\точки }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Усечение этого выражения и вставка его в выражение пост-средней частотной области приводит к получению пост-среднего выражения временной области.
![{\displaystyle E_{\text{post}}(t)=A_{\text{post}}\exp \left[- {\frac {\left(tk'(\omega _{0})d\right) ^{2}}{4\left(\sigma ^{2}-i\,{\text{GVD}}\,d/2\right)}}\right]e^{i[k(\omega _ {0})d-\omega _{0}t]}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В итоге импульс удлиняется до значения стандартного отклонения интенсивности, равного
![{\displaystyle \sigma _{\text{post}}={\sqrt {\sigma ^{2}+\left[d\,{\textrm {GVD}}(\omega _{0}){\frac { 1}{2\sigma }}\right]^{2}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
таким образом проверяя исходное выражение. Обратите внимание, что импульс , ограниченный преобразованием , имеет , что позволяет определить 1/(2 σ t ) как полосу пропускания.![{\displaystyle \sigma _{\omega }\sigma _{t}=1/2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Альтернативный вывод
Альтернативный вывод взаимосвязи между чирпом импульса и ДГС, который более наглядно иллюстрирует причину, по которой ДГД можно определить через производную обратной групповой скорости, можно обрисовать в общих чертах следующим образом. Рассмотрим два ограниченных преобразованием импульса несущих частот и , которые изначально перекрываются во времени. После прохождения через среду эти два импульса будут иметь временную задержку между соответствующими центрами огибающих импульса, определяемую выражением ![{\displaystyle \omega _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega _{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{2})}}-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1 })}}\верно).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Выражение можно аппроксимировать как разложение Тейлора , что дает
![{\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}+{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left( {\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})- {\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или
![{\displaystyle \Delta T=d\times {\textrm {GVD}}(\omega _{1})\times (\omega _{2}-\omega _{1}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Отсюда можно представить масштабирование этого выражения от двух импульсов до бесконечного числа. Разность частот должна быть заменена шириной полосы пропускания, а временная задержка превращается в наведенный чирп.![{\displaystyle \omega _{2}-\omega _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Delta T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Дисперсия групповой задержки
Тесно связанной, но независимой величиной является дисперсия групповой задержки ( GDD ), определяемая таким образом, что дисперсия групповой скорости представляет собой дисперсию групповой задержки на единицу длины. GDD обычно используется в качестве параметра при характеристике слоистых зеркал, где дисперсия групповой скорости не особенно четко определена, однако чирп, возникающий после отражения от зеркала, может быть хорошо охарактеризован. Единицами дисперсии групповой задержки являются [время] 2 , часто выражаемое в фс 2 .
Дисперсия групповой задержки (ДГЗ) оптического элемента представляет собой производную групповой задержки по угловой частоте , а также вторую производную оптической фазы:
![{\displaystyle D_{2}(\omega)=- {\frac {\partial T_{g}}{d\omega }}={\frac {d^{2}\phi }{d\omega ^{2 }}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это мера хроматической дисперсии элемента. GDD связана с параметром полной дисперсии следующим образом:![{\displaystyle D_{\text{tot}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D_{2}(\omega)=- {\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}D_{\text{tot}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Внешние ссылки
- Онлайн-база данных показателей преломления
- Энциклопедия фотоники RP
- Коммерческое измерение оптической дисперсии с помощью интерферометрии белого света
Рекомендации
- ^ Бойд, Роберт. В (2007). Нелинейная оптика (3-е изд.). Эльзевир.
- ^ Пашотта, доктор Рюдигер. «Дисперсия групповой скорости». Энциклопедия лазерной физики и техники . Проверено 15 мая 2016 г.