Дисперсия (волны на воде)

Рассеивание волн на поверхности воды

В гидродинамике дисперсия волн на воде обычно относится к частотной дисперсии , что означает, что волны разной длины распространяются с разной фазовой скоростью . Водяные волны в этом контексте — это волны, распространяющиеся по поверхности воды , при этом восстанавливающими силами являются гравитация и поверхностное натяжение . В результате вода со свободной поверхностью обычно считается дисперсионной средой .

Для определенной глубины воды поверхностные гравитационные волны , то есть волны, возникающие на границе раздела воздух-вода, и гравитация как единственная сила, возвращающая ее к плоскостности, распространяются быстрее с увеличением длины волны . С другой стороны, для заданной (фиксированной) длины волны гравитационные волны в более глубокой воде имеют большую фазовую скорость, чем в более мелкой воде . ^[1] В отличие от поведения гравитационных волн, капиллярные волны (то есть вызванные только поверхностным натяжением) распространяются быстрее для более коротких длин волн.

Помимо частотной дисперсии, волны на воде демонстрируют также амплитудную дисперсию. Это нелинейный эффект, при котором волны большей амплитуды имеют иную фазовую скорость, чем волны малой амплитуды.

Частотная дисперсия поверхностных гравитационных волн

Этот раздел посвящен частотной дисперсии волн на слое жидкости, на который воздействует гравитация, и согласно линейной теории. О влиянии поверхностного натяжения на частотную дисперсию см. эффекты поверхностного натяжения в теории волн Эйри и капиллярной волне .

Распространение и дисперсия волн

Синусоидальная волна.

Простейшей распространяющейся волной неизменной формы является синусоида . Синусоида с возвышением поверхности воды η ( x , t ) определяется по формуле: ^[2]

${\displaystyle \eta (x,t)=a\sin \left(\theta (x,t)\right),\,}$

где a — амплитуда (в метрах), а θ = θ ( x , t ) — фазовая функция (в радианах ), зависящая от горизонтального положения ( x , в метрах) и времени ( t , в секундах ): ^[3]

${\displaystyle \theta =2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{T}}\right)=kx-\omega t,}$ с и ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}},}$

где:

• λ — длина волны (в метрах),
• T — период (в секундах),
• k — волновое число (в радианах на метр) и
• ω — угловая частота (в радианах в секунду).

Характерными фазами водяной волны являются:

• восходящее нулевое пересечение при θ = 0 ,
• гребень волны при θ =  ⁠1/2⁠  π ,
• нисходящее нулевое пересечение при θ = π и
• впадина волны при θ  =  ⁠3/2⁠  π.

Определенная фаза повторяется после целого числа m , кратного 2π : sin( θ ) = sin( θ+m•2π ).

Существенным для волн на воде и других волновых явлений в физике является то, что свободно распространяющиеся волны с ненулевой амплитудой существуют только тогда, когда угловая частота ω и волновое число k (или, что эквивалентно, длина волны λ и период T ) удовлетворяют функциональному соотношению : соотношению дисперсии частоты ^{[4] [5]}

${\displaystyle \omega ^{2}=\Omega ^{2}(k).\,}$

Дисперсионное соотношение имеет два решения: ω = +Ω(k) и ω = −Ω(k) , соответствующие волнам, распространяющимся в положительном или отрицательном направлении x . Дисперсионное соотношение в общем случае будет зависеть от нескольких других параметров в дополнение к волновому числу k . Для гравитационных волн, согласно линейной теории, это ускорение силы тяжести g и глубина воды h . Дисперсионное соотношение для этих волн имеет вид: ^{[6] [5]}

${\displaystyle \omega ^{2}=g\,k\,\tanh(k\,h)}$  или  ${\displaystyle \displaystyle \lambda ={\frac {g}{2\pi }}\,T^{2}\,\tanh \left(2\pi \,{\frac {h}{\lambda }}\right),}$

неявное уравнение , где tanh обозначает функцию гиперболического тангенса .

Начальная фаза волны θ = θ ₀ распространяется как функция пространства и времени . Ее последующее положение определяется выражением:

${\displaystyle x={\frac {\lambda }{T}}\,t+{\frac {\lambda }{2\pi }}\,\theta _{0}={\frac {\omega }{k}}\,t+{\frac {\theta _{0}}{k}}.}$

Это показывает, что фаза движется со скоростью: ^[2]

${\displaystyle c_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\Omega (k)}{k}},}$

которая называется фазовой скоростью.

Фазовая скорость

Синусоидальная волна с малой амплитудой возвышения поверхности и постоянной длиной волны распространяется с фазовой скоростью , также называемой быстротой или фазовой скоростью. В то время как фазовая скорость является вектором и имеет связанное с ней направление, быстрота или фазовая скорость относятся только к величине фазовой скорости. Согласно линейной теории для волн, вызванных гравитацией, фазовая скорость зависит от длины волны и глубины воды. При фиксированной глубине воды длинные волны (с большой длиной волны) распространяются быстрее, чем короткие волны.

На левом рисунке видно, что волны на мелководье , длина волны которых λ значительно больше глубины воды h , распространяются с фазовой скоростью ^[2]

${\displaystyle c_{p}={\sqrt {gh}}\qquad \scriptstyle {\text{(shallow water),}}\,}$

где g — ускорение силы тяжести , а c _{p —} фазовая скорость. Поскольку эта фазовая скорость на мелководье не зависит от длины волны, волны на мелководье не имеют частотной дисперсии.

Используя другую нормализацию для того же соотношения дисперсии частоты, рисунок справа показывает, что для фиксированной длины волны λ фазовая скорость c _p увеличивается с увеличением глубины воды. ^[1] До тех пор, пока в глубокой воде с глубиной воды h больше половины длины волны λ (то есть для h/λ > 0,5 ), фазовая скорость c _p не будет зависеть от глубины воды: ^[2]

${\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {g\lambda }{2\pi }}}={\frac {g}{2\pi }}T\qquad \scriptstyle {\text{(deep water),}}}$

где T — период волны ( обратная величина частоты f , T =1/f ). Таким образом, в глубокой воде фазовая скорость увеличивается с длиной волны и периодом.

Поскольку фазовая скорость удовлетворяет c _p = λ/T = λf , длина волны и период (или частота) связаны. Например, в глубокой воде:

${\displaystyle \lambda ={\frac {g}{2\pi }}T^{2}\qquad \scriptstyle {\text{(deep water).}}}$

Ниже приведены дисперсионные характеристики для промежуточной глубины.

Групповая скорость

Частотная дисперсия в бихроматических группах гравитационных волн на поверхности глубокой воды. Красный квадрат движется с фазовой скоростью , а зеленые круги распространяются с групповой скоростью.

Интерференция двух синусоидальных волн с немного разными длинами волн, но одинаковой амплитудой и направлением распространения, приводит к образованию паттерна биений , называемого группой волн. Как видно из анимации, группа движется с групповой скоростью c _{g ,} отличной от фазовой скорости c _p , из-за дисперсии частот.

Групповая скорость изображена красными линиями (обозначенными B ) на двух рисунках выше. На мелководье групповая скорость равна фазовой скорости на мелководье. Это происходит потому, что волны на мелководье не являются дисперсионными. На глубокой воде групповая скорость равна половине фазовой скорости: {{math| c _g = ⁠1/2⁠ c _p . ^[7]

Групповая скорость также оказывается скоростью переноса энергии. Это скорость, с которой средняя энергия волны переносится горизонтально в узкополосном волновом поле. ^{[8] [9]}

В случае групповой скорости, отличной от фазовой скорости, следствием является то, что число волн, подсчитанных в волновой группе, отличается при подсчете по моментальному снимку в пространстве в определенный момент, от подсчета по времени по измеренному возвышению поверхности в фиксированном положении. Рассмотрим волновую группу длиной Λ _g и длительностью группы τ _g . Групповая скорость равна: ^[10]

${\displaystyle c_{g}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}.}$

Число волн в группе, наблюдаемых в пространстве в определенный момент (верхняя синяя линия), отличается от числа волн в группе, наблюдаемых во времени в фиксированном положении (нижняя оранжевая линия), из-за дисперсии частот.

Штормовые волны в северной части Тихого океана , вид с борта судна NOAA M/V Noble Star, зима 1989 года.

Число волн в волновой группе, измеренное в пространстве в определенный момент времени, равно: Λ _g  / λ . При измерении в фиксированном месте во времени число волн в группе равно: τ _g  / T . Таким образом, отношение числа волн, измеренных в пространстве, к числу волн, измеренных во времени, равно:

${\displaystyle {\tfrac {\text{No. of waves in space}}{\text{No. of waves in time}}}={\frac {\Lambda _{g}/\lambda }{\tau _{g}/T}}={\frac {\Lambda _{g}}{\tau _{g}}}\cdot {\frac {T}{\lambda }}={\frac {c_{g}}{c_{p}}}.}$

Таким образом, в глубокой воде при c _g = ⁠1/2⁠ c _p , ^[11] волновая группа имеет в два раза больше волн во времени, чем в пространстве. ^[12]

Подъем поверхности воды η(x,t) как функцию горизонтального положения x и времени t для бихроматической волновой группы полной модуляции можно математически сформулировать следующим образом: ^[11]

${\displaystyle \eta =a\,\sin \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)+a\,\sin \left(k_{2}x-\omega _{2}t\right),}$

с:

• а амплитуда волны каждой частотной составляющей в метрах,
• k ₁ и k ₂ — волновое число каждого волнового компонента, в радианах на метр, и
• ω ₁ и ω ₂ — угловая частота каждого волнового компонента, в радианах в секунду.

Как ω _{1 ,} так и k ₁ , а также ω ₂ и k ₂ должны удовлетворять дисперсионному соотношению:

${\displaystyle \omega _{1}^{2}=\Omega ^{2}(k_{1})\,}$ и ${\displaystyle \omega _{2}^{2}=\Omega ^{2}(k_{2}).\,}$

Используя тригонометрические тождества , высота поверхности записывается как: ^[10]

${\displaystyle \eta =\left[2\,a\,\cos \left({\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t\right)\right]\;\cdot \;\sin \left({\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}x-{\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t\right).}$

Часть в квадратных скобках — это медленно меняющаяся амплитуда группы с волновым числом группы ⁠1/2⁠  ( k ₁  − k ₂  ) и групповая угловая частота ⁠1/2⁠  ( ω ₁  − ω ₂  ) . В результате групповая скорость равна для предела k ₁  → k ₂  : ^{[10] [11]}

${\displaystyle c_{g}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{k_{1}-k_{2}}}=\lim _{k_{1}\,\to \,k_{2}}{\frac {\Omega (k_{1})-\Omega (k_{2})}{k_{1}-k_{2}}}={\frac {{\text{d}}\Omega (k)}{{\text{d}}k}}.}$

Группы волн можно различить только в случае узкополосного сигнала, когда разность волновых чисел k ₁  − k ₂ мала по сравнению со средним волновым числом ⁠1/2⁠  (k ₁  + k ₂ ) .

Многокомпонентные волновые паттерны

Частотная дисперсия поверхностных гравитационных волн на глубокой воде. Показана суперпозиция (темно-синяя линия) трех синусоидальных волновых компонентов (светло-синие линии).

Эффект дисперсии частоты заключается в том, что волны распространяются как функция длины волны, так что пространственные и временные фазовые свойства распространяющейся волны постоянно меняются. Например, под действием гравитации волны на воде с большей длиной волны распространяются быстрее, чем волны с меньшей длиной волны.

В то время как две наложенные синусоидальные волны, называемые бихроматической волной, имеют огибающую , которая распространяется неизменной, три или более синусоидальных волновых компонента приводят к изменению рисунка волн и их огибающей. Состояние моря , то есть реальные волны на море или океане, можно описать как суперпозицию многих синусоидальных волн с различными длинами волн, амплитудами, начальными фазами и направлениями распространения. Каждый из этих компонентов распространяется со своей собственной фазовой скоростью в соответствии с дисперсионным соотношением. Статистика такой поверхности может быть описана ее спектром мощности . ^[13]

Дисперсионное соотношение

В таблице ниже приведено дисперсионное соотношение ω ² = [ Ω(k) ] ² между угловой частотой ω = 2π / T и волновым числом k = 2π / λ , а также фазовая и групповая скорости. ^[10]

Глубокая вода соответствует глубинам воды, превышающим половину длины волны , что является обычной ситуацией в океане. В глубокой воде волны с большим периодом распространяются быстрее и быстрее переносят свою энергию. Групповая скорость на большой глубине составляет половину фазовой скорости . На мелководье для длин волн, превышающих глубину воды более чем в двадцать раз ^[14] , как это часто встречается вблизи побережья, групповая скорость равна фазовой скорости.

История

Полное линейное дисперсионное соотношение было впервые найдено Пьером-Симоном Лапласом , хотя в его решении линейной волновой задачи были некоторые ошибки. Полная теория линейных волн на воде, включая дисперсию, была выведена Джорджем Бидделлом Эйри и опубликована около 1840 года. Аналогичное уравнение было также найдено Филиппом Келландом примерно в то же время (но с некоторыми ошибками в выводе волновой теории). ^[15]

Предел мелкой воды (с малым h/λ ), ω ² = gh k ² , был выведен Жозефом Луи Лагранжем .

Эффекты поверхностного натяжения

Дисперсия гравитационно-капиллярных волн на поверхности глубокой воды. Фазовая и групповая скорость, деленные на как функция обратной относительной длины волны . Синие линии (A): фазовая скорость, Красные линии (B): групповая скорость. Нарисованные линии: дисперсионное соотношение для гравитационно-капиллярных волн. Пунктирные линии: дисперсионное соотношение для глубоководных гравитационных волн. Штрихпунктирные линии: дисперсионное соотношение, действительное для глубоководных капиллярных волн. ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}{\sqrt {\sigma /(\rho g)}}}$

В случае гравитационно-капиллярных волн, когда на волны влияет поверхностное натяжение , дисперсионное соотношение становится следующим: ^[5]

${\displaystyle \omega ^{2}=\left(gk+{\frac {\sigma }{\rho }}k^{3}\right)\tanh(kh),}$

где σ — поверхностное натяжение (в Н/м).

Для интерфейса вода-воздух (при σ = 0,074 Н/м и ρ = 1000 кг/м ³ ) волны можно аппроксимировать как чистые капиллярные волны – с преобладанием эффектов поверхностного натяжения – для длин волн менее 0,4 см (0,2 дюйма). Для длин волн более 7 см (3 дюйма) волны в хорошем приближении являются чистыми поверхностными гравитационными волнами с очень небольшими эффектами поверхностного натяжения. ^[16]

Интерфейсные волны

Волновое движение на границе раздела двух слоев невязких однородных жидкостей разной плотности, заключенных между горизонтальными жесткими границами (сверху и снизу). Движение вызвано силой тяжести. Верхний слой имеет среднюю глубину h и плотность ρ , а нижний слой имеет среднюю глубину h и плотность ρ . Амплитуда волны равна a , длина волны обозначается λ .

Для двух однородных слоев жидкостей, средней толщиной h под поверхностью раздела и h ′ над ней, находящихся под действием силы тяжести и ограниченных сверху и снизу горизонтальными жесткими стенками, дисперсионное соотношение ω ²  = Ω ² ( k ) для гравитационных волн имеет вид: ^[17]

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {g\,k(\rho -\rho ')}{\rho \,\coth(kh)+\rho '\,\coth(kh')}},}$

где снова ρ и ρ ′ — плотности ниже и выше границы раздела, а coth — гиперболическая функция котангенса . Для случая, когда ρ ′ равно нулю, это сводится к дисперсионному соотношению поверхностных гравитационных волн на воде конечной глубины h .

Когда глубина двух слоев жидкости становится очень большой ( h →∞, h ′ →∞), гиперболические котангенсы в приведенной выше формуле приближаются к значению единицы. Тогда:

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}\,g\,k.}$

Нелинейные эффекты

Мелководье

Эффекты амплитудной дисперсии проявляются, например, в одиночной волне : одиночный горб воды, движущийся с постоянной скоростью в мелкой воде с горизонтальным дном. Обратите внимание, что одиночные волны являются почти солитонами , но не совсем таковыми — после взаимодействия двух (сталкивающихся или обгоняющих) одиночных волн их амплитуда немного изменилась , и остался колебательный остаток. ^[18] Решение уравнения Кортевега–де Фриза в виде одиночного солитона для высоты волны H на глубине воды h вдали от гребня волны распространяется со скоростью:

${\displaystyle c_{p}=c_{g}={\sqrt {g(h+H)}}.}$

Итак, для этой нелинейной гравитационной волны именно общая глубина воды под гребнем волны определяет скорость, причем более высокие волны движутся быстрее, чем более низкие. Обратите внимание, что решения для одиночных волн существуют только для положительных значений H , одиночные гравитационные волны депрессии не существуют.

Глубокая вода

Линейное дисперсионное соотношение – не зависящее от амплитуды волны – для нелинейных волн также верно во втором порядке разложения теории возмущений , с порядками в терминах крутизны волны ka (где a – амплитуда волны ). До третьего порядка и для глубокой воды дисперсионное соотношение равно ^[19]

${\displaystyle \omega ^{2}=gk\left[1+(ka)^{2}\right],}$  так  ${\displaystyle c_{p}={\sqrt {\frac {g}{k}}}\,\left[1+{\tfrac {1}{2}}\,(ka)^{2}\right]+{\mathcal {O}}\left((ka)^{4}\right).}$

Это означает, что большие волны распространяются быстрее, чем маленькие той же частоты. Это заметно только тогда, когда крутизна волны ka велика.

Волны на среднем течении: доплеровский сдвиг

Водяные волны в среднем потоке (то есть волны в движущейся среде) испытывают доплеровский сдвиг . Предположим, что дисперсионное соотношение для неподвижной среды имеет вид:

${\displaystyle \omega ^{2}=\Omega ^{2}(k),\,}$

где k — волновое число. Тогда для среды со средним вектором скорости V дисперсионное соотношение с доплеровским сдвигом становится: ^[20]

${\displaystyle \left(\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {V} \right)^{2}=\Omega ^{2}(k),}$

где k — вектор волнового числа, связанный с k следующим соотношением: k = | k |. Скалярное произведение k • V равно: k • V = kV cos α , где V — длина вектора средней скорости V : V = | V |. А α — угол между направлением распространения волны и направлением среднего потока. Для волн и тока в одном направлении k • V = kV .

Смотрите также

Другие статьи по теме дисперсия

• Дисперсионное уравнение в частных производных
• Капиллярная волна

Модели дисперсионных волн на воде

• Теория волн Эйри
• Уравнение Бенджамина–Бона–Махони
• Приближение Буссинеска (волны на воде)
• Кноидальная волна
• Уравнение Камассы–Холма
• Уравнение Дэви–Стюартсона
• Уравнение Кадомцева–Петвиашвили (также известное как уравнение КП)
• Уравнение Кортевега – де Фриза (также известное как уравнение КдВ)
• Вариационный принцип Люка
• Нелинейное уравнение Шредингера
• Уравнения мелкой воды
• Теория волн Стокса
• Трохоидальная волна
• Волновая турбулентность
• Уравнение Уизема

Примечания

1. Pond, S.; Pickard, GL (1978), Введение в динамическую океанографию , Pergamon Press, стр. 170–174, ISBN 978-0-08-021614-0
2. См. Lamb (1994), §229, стр. 366–369.
3. См. Уитхэм (1974), стр. 11.
4. Это дисперсионное соотношение справедливо для неподвижной однородной среды , то есть для случая волн на воде при постоянной глубине воды и отсутствии среднего течения.
5. См. Филлипс (1977), стр. 37.
6. См., например, Дингеманс (1997), с. 43.
7. См. Филлипс (1977), стр. 25.
8. Рейнольдс, О. (1877), «О скорости распространения групп волн и скорости передачи энергии волнами», Nature , 16 (408): 343–44, Bibcode : 1877Natur..16R.341., doi : 10.1038/016341c0
   Лорд Рэлей (Дж. У. Стратт) (1877), «О прогрессивных волнах», Труды Лондонского математического общества , 9 : 21–26, doi :10.1112/plms/s1-9.1.21Перепечатано в качестве приложения в: Теория звука 1 , Макмиллан, 2-е пересмотренное издание, 1894.
9. См. Лэмб (1994), §237, стр. 382–384.
10. См. Dingemans (1997), раздел 2.1.2, стр. 46–50.
11. См. Lamb (1994), §236, стр. 380–382.
12. Хендерсон, К. Л.; Перегрин, Д. Х .; Дольд, Дж. В. (1999), «Нестационарные модуляции волн на воде: полностью нелинейные решения и сравнение с нелинейным уравнением Шредингера», Wave Motion , 29 (4): 341–361, Bibcode : 1999WaMot..29..341H, CiteSeerX 10.1.1.499.727 , doi : 10.1016/S0165-2125(98)00045-6 
13. См. Филлипс (1977), стр. 102.
14. См. Дин и Далримпл (1991), стр. 65.
15. См. Крейк (2004).
16. См. Лайтхилл (1978), стр. 224–225.
17. Тернер, Дж. С. (1979), Эффекты плавучести в жидкостях , Cambridge University Press, стр. 18, ISBN 978-0521297264
18. См., например: Craig, W.; Guyenne, P.; Hammack, J.; Henderson, D.; Sulem, C. (2006), "Взаимодействие одиночных волн на воде", Physics of Fluids , 18 (57106): 057106–057106–25, Bibcode : 2006PhFl...18e7106C, doi : 10.1063/1.2205916
19. См. Лэмб (1994), §250, стр. 417–420.
20. См. Филлипс (1977), стр. 24.

Ссылки

• Крейк, ADD (2004), «Истоки теории волн на воде», Annual Review of Fluid Mechanics , 36 : 1–28, Bibcode : 2004AnRFM..36....1C, doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118
• Дин, РГ; Далримпл, РА (1991), «Механика водных волн для инженеров и ученых», Eos Transactions , Advanced Series on Ocean Engineering, 2 (24): 490, Bibcode : 1985EOSTr..66..490B, doi : 10.1029/EO066i024p00490-06, ISBN 978-981-02-0420-4, OCLC  22907242
• Dingemans, MW (1997), Распространение волн на воде над неровным дном , Advanced Series on Ocean Engineering, т. 13, World Scientific, стр. 25769, ISBN 978-981-02-0427-3, OCLC  36126836, 2 части, 967 страниц.
• Лэмб, Х. (1994), Гидродинамика (6-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9, OCLC  30070401Первоначально опубликованное в 1879 году, 6-е расширенное издание впервые появилось в 1932 году.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц , Э. М. (1987), Механика жидкости , Курс теоретической физики, т. 6 (2-е изд.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-033932-0
• Лайтхилл, М.Дж. (1978), Волны в жидкостях , Cambridge University Press, 504 стр., ISBN 978-0-521-29233-7, OCLC  2966533
• Филлипс, О.М. (1977), Динамика верхнего слоя океана (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-29801-8, OCLC  7319931
• Уизем, ГБ (1974), Линейные и нелинейные волны , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-94090-6, OCLC  815118

Внешние ссылки

• Математические аспекты дисперсионных волн обсуждаются на Dispersive Wiki.