Диссипативный солитон

Диссипативные солитоны ( ДС ) — устойчивые одиночные локализованные структуры, возникающие в нелинейных пространственно-протяжённых диссипативных системах за счёт механизмов самоорганизации . Их можно рассматривать как расширение классической концепции солитонов в консервативных системах. Альтернативная терминология включает автосолитоны, пятна и импульсы.

Помимо аспектов, сходных с поведением классических частиц, таких как образование связанных состояний, ДС демонстрируют интересное поведение – например, рассеяние, рождение и уничтожение – и все это без ограничений сохранения энергии или импульса. Возбуждение внутренних степеней свободы может привести к динамически стабилизированной собственной скорости или периодическим колебаниям формы.

Историческое развитие

Происхождение концепции солитона

ДС экспериментально наблюдаются уже давно. Гельмгольц ^[1] измерил скорость распространения нервных импульсов в 1850 г. В 1902 г. Леман ^[2] обнаружил образование локализованных анодных пятен в длинных газоразрядных трубках. Тем не менее, термин «солитон» изначально был разработан в другом контексте. Отправной точкой стало экспериментальное обнаружение Расселом «уединенных водных волн» в 1834 году. ^[3] Эти наблюдения положили начало теоретическим работам Рэлея ^[4] и Буссинеска ^[5] около 1870 года, которые в конечном итоге привели к приближенному описанию таких волн. Кортевега и де Фриза в 1895 году; это описание известно сегодня как (консервативное) уравнение КдФ . ^[6]

На этом фоне термин « солитон » был введен Забуски и Крускалом ^[7] в 1965 году. Эти авторы исследовали некоторые хорошо локализованные уединенные решения уравнения КдФ и назвали эти объекты солитонами. Среди прочего они продемонстрировали, что в одномерном пространстве существуют солитоны, например, в виде двух однонаправленных импульсов с разным размером и скоростью и демонстрирующие замечательное свойство: количество, форма и размер одинаковы до и после столкновения.

Гарднер и др. ^{В работе [8]} предложен метод обратной задачи рассеяния для решения уравнения КдФ и доказано, что это уравнение вполне интегрируемо . В 1972 г. Захаров и Шабат ^[9] нашли еще одно интегрируемое уравнение и, наконец, оказалось, что метод обратной задачи рассеяния может успешно применяться к целому классу уравнений (например, к нелинейным уравнениям Шредингера и синус-Гордона ). С 1965 по 1975 год было достигнуто общее соглашение: зарезервировать термин « солитон» для обозначения импульсных уединенных решений консервативных нелинейных уравнений в частных производных, которые можно решить с помощью метода обратного рассеяния.

Слабо и сильно диссипативные системы.

С ростом знаний о классических солитонах появилась возможность их технического применения, причем наиболее многообещающей в настоящее время является передача оптических солитонов по стеклянным волокнам с целью передачи данных . В отличие от консервативных систем, солитоны в волокнах рассеивают энергию, и этим нельзя пренебрегать на промежуточном и длительном временном масштабе. Тем не менее, концепцию классического солитона все же можно использовать в том смысле, что на коротком времени диссипацией энергии можно пренебречь. В промежуточном временном масштабе необходимо учитывать малые потери энергии как возмущение, а в долгосрочном масштабе амплитуда солитона будет затухать и, наконец, исчезать. ^[10]

Однако существуют различные типы систем, которые способны создавать одиночные структуры и в которых диссипация играет существенную роль в их формировании и стабилизации. Хотя исследования отдельных типов этих ДС ведутся уже давно (см., например, исследования нервных импульсов, завершившиеся работой Ходжкина и Хаксли ^[11] в 1952 г.), с 1990 г. объем исследований значительно увеличился. (см., например ^{, [12] [13] [14] [15]} ) Возможными причинами являются усовершенствованные экспериментальные устройства и аналитические методы, а также наличие более мощных компьютеров для численных вычислений. В настоящее время принято использовать термин « диссипативные солитоны» для обозначения уединенных структур в сильно диссипативных системах.

Экспериментальные наблюдения

Сегодня DS можно встретить во многих различных экспериментальных установках. Примеры включают в себя

• Газоразрядные системы : плазма, заключенная в разрядном пространстве, которое часто имеет большую боковую протяженность по сравнению с основной длиной разряда. ДС возникают в виде токовых нитей между электродами и обнаружены в системах постоянного тока с высокоомным барьером ^[16] , системах переменного тока с диэлектрическим барьером ^[17] и в виде анодных пятен ^[18] , а также в затрудненном разряде с металлические электроды. ^[19]

• Экспериментально обнаружены ДС в плоских газоразрядных системах постоянного тока с высокоомным барьером
• Распределение усредненной плотности тока без колебательных хвостов.
• Распределение усредненной плотности тока с колебательными хвостами.

• Полупроводниковые системы: они аналогичны газоразрядным; однако вместо газа между двумя плоскими или сферическими электродами заключен полупроводниковый материал. Установки включают штыревые диоды Si и GaAs , ^[20] n-GaAs, ^[21] и Si p ⁺ −n ⁺ −p−n ⁻ , ^[22] и структуры ZnS:Mn. ^[23]
• Нелинейные оптические системы : световой луч высокой интенсивности взаимодействует с нелинейной средой. Обычно среда реагирует в довольно медленных временных масштабах по сравнению со временем распространения луча. Часто выходной сигнал возвращается в систему ввода через однозеркальную обратную связь или контур обратной связи. ДС могут возникать в виде ярких пятен в двумерной плоскости, ортогональной направлению распространения луча; однако можно использовать и другие эффекты, такие как поляризация . ДС наблюдались для насыщающихся поглотителей , ^[24] вырожденных параметрических генераторов оптического излучения (DOPO), ^[25] жидкокристаллических световых ламп (LCLV), ^[26] систем на парах щелочей, ^[27] фоторефрактивных сред , ^[28] и полупроводниковых микрорезонаторов. ^[29]
• Если принять во внимание векторные свойства ДС, векторный диссипативный солитон можно также наблюдать в пассивно моде волоконного лазера, синхронизированного через насыщающийся поглотитель ^[30]
• Кроме того, был получен многоволновый диссипативный солитон в полностью нормально-дисперсионном волоконном лазере с пассивной синхронизацией мод с помощью SESAM. Подтверждено, что в зависимости от двулучепреломления резонатора в лазере может формироваться устойчивый одно-, двух- и трехволновой диссипативный солитон. Механизм его генерации можно объяснить природой диссипативного солитона. ^[31]
• Химические системы: реализуемые либо в виде одно- и двумерных реакторов, либо через каталитические поверхности, ДС проявляются как импульсы (часто как распространяющиеся импульсы) повышенной концентрации или температуры. Типичными реакциями являются реакция Белоусова-Жаботинского , ^[32] ферроцианид-иодат-сульфитная реакция, а также окисление водорода, ^[33] CO, ^[34] или железа. ^[35] К этому классу систем также относятся нервные импульсы ^[11] или волны мигрени с аурой ^{[36] .}
• Вибрирующие среды: вертикально встряхиваемые гранулированные среды, ^[37] коллоидные суспензии , ^[38] и ньютоновские жидкости ^[39] создают гармонически или субгармонически колеблющиеся кучи материала, которые обычно называют осциллонами .
• Гидродинамические системы : наиболее известной реализацией ДС являются области конвекционных валков на проводящем фоновом состоянии в бинарных жидкостях. ^[40] Другим примером является затягивание пленки во вращающейся цилиндрической трубе, наполненной маслом. ^[41]
• Электрические сети: большие одно- или двумерные массивы связанных ячеек с нелинейной вольт-амперной характеристикой . ^[42] ДС характеризуются локальным увеличением тока через клетки.

Примечательно, что феноменологически динамика ДС во многих из вышеперечисленных систем, несмотря на микроскопические различия, схожа. Типичными наблюдениями являются (собственное) распространение, рассеяние , образование связанных состояний и кластеров, дрейф в градиентах, взаимопроникновение, генерация и аннигиляция, а также более высокие нестабильности.

Теоретическое описание

Большинство систем, демонстрирующих ДС, описываются нелинейными уравнениями в частных производных . Также используются дискретно-разностные уравнения и клеточные автоматы . До сих пор моделирование на основе первых принципов с последующим количественным сравнением эксперимента и теории выполнялось лишь редко и иногда также создавало серьезные проблемы из-за больших расхождений между микроскопическими и макроскопическими временными и пространственными масштабами. Часто исследуются упрощенные модели-прототипы, которые отражают основные физические процессы в более широком классе экспериментальных систем. Среди них

• Реакционно-диффузионные системы , используемые в химических системах, газоразрядных устройствах и полупроводниках. ^[43] Эволюция вектора состояния q ( x ,  t ), описывающего концентрацию различных реагентов, определяется диффузией, а также локальными реакциями:

${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\boldsymbol {D}}}\,\Delta {\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}).}$

Часто встречающийся пример - двухкомпонентная система активатор-ингибитор типа Фитцхью-Нагумо.

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\tau _{u}\,\partial _{t}u\\\tau _{v}\,\partial _{t}v\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}d_{u}^{2}&0\\0&d_{v}^{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\Delta u\\\Delta v\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}\lambda u-u^{3}-\kappa _{3}v+\kappa _{1}\\u-v\end{array}}\right).}$

Стационарные ДС образуются в результате производства материала в центре ДС, диффузионного переноса в хвосты и истощения материала в хвостах. Распространяющийся импульс возникает в результате производства на ведущем конце и истощения на ведомом конце. ^[44] Среди других эффектов можно обнаружить периодические колебания ДС («дыхание»), ^{[45] [46]} связанные состояния, ^[47] и столкновения, слияния, зарождения и уничтожения. ^[48]

• Системы типа Гинзбурга-Ландау для комплексного скаляра q ( x ,  t ), используемые для описания нелинейных оптических систем, плазмы, конденсации Бозе-Эйнштейна, жидких кристаллов и гранулированных сред. ^[49] Часто встречающимся примером является субкритическое уравнение Гинзбурга–Ландау кубической квинтики.

${\displaystyle \partial _{t}q=(d_{r}+id_{i})\,\Delta q+\ell _{r}q+(c_{r}+ic_{i})|q|^{2}q+(q_{r}+iq_{i})|q|^{4}q.}$

Для понимания механизмов образования ДС можно рассмотреть энергию ρ = | д | ² , для которого можно вывести уравнение неразрывности

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}\rho +\nabla \cdot {\boldsymbol {m}}=S=d_{r}(q\,\Delta q^{\ast }+q^{\ast }\,\Delta q)+2\ell _{r}\rho +2c_{r}\rho ^{2}+2q_{r}\rho ^{3}\\&{\text{with }}{\boldsymbol {m}}=2d_{i}\operatorname {Im} (q^{\ast }\nabla q).\end{aligned}}}$

Таким образом, можно показать, что энергия обычно производится на флангах ДС и транспортируется к центру и, возможно, к хвостам, где она истощается. Динамические явления включают распространение ДС в 1d, ^[50] распространение кластеров в 2d, ^[51] связанные состояния и вихревые солитоны, ^[52] , а также «взрывающиеся ДС». ^[53]

• Уравнение Свифта – Хоэнберга используется в нелинейной оптике и в динамике сыпучих сред пламени или электроконвекции. Свифта–Хоэнберга можно рассматривать как расширение уравнения Гинзбурга–Ландау. Это можно записать как

${\displaystyle \partial _{t}q=(s_{r}+is_{i})\,\Delta ^{2}q+(d_{r}+id_{i})\,\Delta q+\ell _{r}q+(c_{r}+ic_{i})|q|^{2}q+(q_{r}+iq_{i})|q|^{4}q.}$

При d _r > 0 по существу действуют те же механизмы, что и в уравнении Гинзбурга–Ландау. ^[54] При d _r  < 0 в реальном уравнении Свифта – Хоэнберга обнаруживается бистабильность между однородными состояниями и паттернами Тьюринга. ДС представляют собой стационарные локализованные домены Тьюринга на однородном фоне. ^[55] Это справедливо и для комплексных уравнений Свифта–Хоэнберга; однако возможны также распространение ДС, а также явления взаимодействия, а наблюдения включают слияние и взаимопроникновение. ^[56]

• Пространственно-временные графики, показывающие динамику и взаимодействие ДС как численные решения приведенных выше уравнений модели в одном пространственном измерении.
• Одиночный «дышащий» ДС как раствор двухкомпонентной реакционно-диффузионной системы с активатором u (левая половина) и ингибитором v (правая половина).

Свойства частиц и универсальность

ДС во многих различных системах проявляют универсальные свойства, подобные частицам. Чтобы понять и описать последнее, можно попытаться вывести «уравнения частиц» для медленно меняющихся параметров порядка, таких как положение, скорость или амплитуда ДС, путем адиабатического исключения всех быстрых переменных в описании поля. Этот метод известен из линейных систем, однако в нелинейных моделях возникают математические проблемы из-за взаимодействия быстрых и медленных мод. ^[57]

Подобно низкоразмерным динамическим системам, для сверхкритических бифуркаций стационарных ДС обнаруживаются характерные нормальные формы, существенно зависящие от симметрии системы. Например, при переходе от симметричной стационарной к внутренне распространяющейся ДС находится нормальная форма Вил

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {v}}}=(\sigma -\sigma _{0}){\boldsymbol {v}}-|{\boldsymbol {v}}|^{2}{\boldsymbol {v}}}$

для скорости v ДС ^[58] здесь σ представляет собой параметр бифуркации, а σ ₀ — точку бифуркации. При бифуркации к «дышащей» ДС находится нормальная форма Хопфа

${\displaystyle {\dot {A}}=(\sigma -\sigma _{0})A-|A|^{2}A}$

для амплитуды А колебаний. ^[46] Также можно рассматривать «слабое взаимодействие», если перекрытие DS не слишком велико. ^[59] Таким образом, облегчается сравнение эксперимента и теории. ^{[60] [61]} Обратите внимание, что вышеуказанные проблемы не возникают для классических солитонов, поскольку теория обратной задачи рассеяния дает полные аналитические решения.

Смотрите также

• Клапотис
• Компактон — солитон с компактным носителем.
• Волоконный лазер
• Волны-фрики могут быть родственным явлением
• Графен
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Нелинейная система
• Осциллон
• Пикон — солитон с недифференцируемым пиком.
• Q-ball — нетопологический солитон.
• Уравнение Синус-Гордон
• Уединенные волны в дискретных средах ^[62]
• Солитон (оптика)
• Солитон (топологический)
• Солитонная модель распространения нервного импульса
• Топологическое квантовое число
• Векторный солитон

Рекомендации

В соответствии

1. Гельмгольц, Х. (1850). «Messungen über den zeitlichen Verlauf der Zuckung Animalischer Muskeln und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Reizung in den Nerven». Archiv für Anatomie, Physiologie und Wissenschaftliche Medicin (на немецком языке). 57 : 276.
2. Леманн, О. (1902). «Gasentladungen in weiten Gefässen». Аннален дер Физик (на немецком языке). Уайли. 312 (1): 1–28. дои : 10.1002/andp.19013120102. ISSN  0003-3804.
3. Дж. С. Рассел, Отчет четырнадцатого собрания Британской ассоциации содействия развитию науки (1845 г.): 311.
4. Рэлей, JW (1876). «XXXII. На волнах». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Информа ЮК Лимитед. 1 (4): 257–279. дои : 10.1080/14786447608639037. ISSN  1941-5982.
5. Буссинеск, Дж. (1871). «Гидродинамика - Теория жидкого свечения, вызывающая пасьянс или перевод, распространяющаяся в прямоугольном канале». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке). 72 : 755.
6. Кортевег, диджей; де Врис, Г. (1895). «XLI. Об изменении формы длинных волн, наступающих в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стоячих волн». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Информа ЮК Лимитед. 39 (240): 422–443. дои : 10.1080/14786449508620739. ISSN  1941-5982.
7. Забуски, Нью-Джерси; Краскал, доктор медицины (9 августа 1965 г.). «Взаимодействие «солитонов» в бесстолкновительной плазме и возвратность начальных состояний». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 15 (6): 240–243. Бибкод : 1965PhRvL..15..240Z. дои : 10.1103/physrevlett.15.240 . ISSN  0031-9007.
8. Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Краскал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (6 ноября 1967 г.). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 19 (19): 1095–1097. Бибкод : 1967PhRvL..19.1095G. doi : 10.1103/physrevlett.19.1095. ISSN  0031-9007.
9. Захаров, В.Е.; Шабат, АБ (1975). «Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I». Функциональный анализ и его приложения . Springer Science and Business Media. 8 (3): 226–235. дои : 10.1007/bf01075696. ISSN  0016-2663. S2CID  120856178.
10. Кившарь, Ю.С.; Агравал, врач общей практики (2003). Оптические солитоны: от волокон к фотонным кристаллам . Амстердам Бостон: Академическая пресса. ISBN 978-0-12-410590-4. ОСЛК  162129411.
11. Ходжкин, Алабама; Хаксли, AF (28 августа 1952 г.). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению нерва». Журнал физиологии . Уайли. 117 (4): 500–544. doi : 10.1113/jphysicalol.1952.sp004764 . ISSN  0022-3751. ПМК 1392413 . ПМИД  12991237. 
12. Кернер, Б.С.; Осипов, В.В. (1994). Автосолитоны: новый подход к проблемам самоорганизации и турбулентности . Дордрехт Бостон: Kluwer Academic. п. 53. ИСБН 978-0-7923-2816-2. ОСЛК  30157395.
13. Боде, М.; Пурвинс, Х.-Г. (1995). «Формирование узоров в реакционно-диффузионных системах - диссипативные солитоны в физических системах». Физика D: Нелинейные явления . Эльзевир Б.В. 86 (1–2): 53–63. Бибкод : 1995PhyD...86...53B. дои : 10.1016/0167-2789(95)00087-к. ISSN  0167-2789.
14. Христов, CI; Веларде, МГ (1995). «Диссипативные солитоны». Физика D: Нелинейные явления . Эльзевир Б.В. 86 (1–2): 323–347. Бибкод : 1995PhyD...86..323C. дои : 10.1016/0167-2789(95)00111-г. ISSN  0167-2789.
15. Ахмедиев, Наиль; Анкевич, Адриан, ред. (2005). Диссипативные солитоны . Конспект лекций по физике. Том. 661. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/b11728. ISBN 978-3-540-23373-2. ISSN  0075-8450. S2CID  218646243.
16. Радехаус, Ч.; Дирксмейер, Т.; Виллебранд, Х.; Пурвинс, Х.-Г. (1987). «Формирование рисунка в газоразрядных системах с высокоомными электродами». Буквы по физике А. Эльзевир Б.В. 125 (2–3): 92–94. Бибкод : 1987PhLA..125...92R. дои : 10.1016/0375-9601(87)90128-9. ISSN  0375-9601.
17. Брауэр, И.; Боде, М.; Аммельт, Э.; Пурвинс, Х.-Г. (1 апреля 2000 г.). «Бегущие пары пятен в газоразрядной системе с периодическим приводом: коллективное движение, вызванное взаимодействием». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 84 (18): 4104–4107. Бибкод : 2000PhRvL..84.4104B. doi : 10.1103/physrevlett.84.4104. ISSN  0031-9007. ПМИД  10990621.
18. Рубенс, Сидни М.; Хендерсон, Дж. Э. (1 августа 1940 г.). «Характеристика и функция анодных пятен в тлеющих разрядах». Физический обзор . Американское физическое общество. 58 (5): 446–457. Бибкод : 1940PhRv...58..446R. doi : 10.1103/physrev.58.446. ISSN  0031-899X.
19. Насуно, Сатору (2003). «Танцующие «атомы» и «молекулы» светящихся газоразрядных пятен». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . Издательство АИП. 13 (3): 1010–1013. Бибкод : 2003Хаос..13.1010Н. дои : 10.1063/1.1604271. ISSN  1054-1500. ПМИД  12946194.
20. Ягер, Д.; Бауманн, Х.; Симанчик, Р. (1986). «Экспериментальное наблюдение пространственных структур, связанных с формированием токовых нитей в кремниевых штыревых диодах». Буквы по физике А. Эльзевир Б.В. 117 (3): 141–144. Бибкод : 1986PhLA..117..141J. дои : 10.1016/0375-9601(86)90021-6. ISSN  0375-9601.
21. Майер, К.М.; Паризи, Дж.; Хюбенер, Р.П. (1988). «Визуализация самогенерируемых многонитевых токов в GaAs». Zeitschrift für Physik B. Springer Science and Business Media. 71 (2): 171–178. Бибкод : 1988ZPhyB..71..171M. дои : 10.1007/bf01312786. ISSN  0722-3277. S2CID  121227300.
22. Нидерностайде, Ф.-Ж.; Арпс, М.; Домен, Р.; Виллебранд, Х.; Пурвинс, Х.-Г. (1 июня 1992 г.). «Пространственные и пространственно-временные закономерности в полупроводниковых устройствах pnpn». Physica Status Solidi B (на немецком языке). Уайли. 172 (1): 249–266. Бибкод : 1992ПССБР.172..249Н. дои : 10.1002/pssb.2221720123. ISSN  0370-1972.
23. Бил, Марк (1993). «Равномерный и нитевидный транспорт в тонкопленочных электролюминесцентных устройствах постоянного тока ZnS: Mn». Философский журнал Б. Информа ЮК Лимитед. 68 (5): 573–594. Бибкод : 1993PMagB..68..573B. дои : 10.1080/13642819308220144. ISSN  1364-2812.
24. Тараненко, В.Б.; Сталюнас, К.; Вайс, Колорадо (1 июля 1997 г.). «Пространственный солитонный лазер: локализованные структуры в лазере с насыщающимся поглотителем в резонаторе самоизображения». Физический обзор А. Американское физическое общество. 56 (2): 1582–1591. Бибкод : 1997PhRvA..56.1582T. doi :10.1103/physreva.56.1582. ISSN  1050-2947.
25. Тараненко, В.Б.; Сталюнас, К.; Вайс, Колорадо (14 сентября 1998 г.). «Формирование узоров и локализованные структуры при вырожденном оптическом параметрическом смешивании». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 81 (11): 2236–2239. Бибкод : 1998PhRvL..81.2236T. doi : 10.1103/physrevlett.81.2236. ISSN  0031-9007.
26. Шрайбер, А.; Тюринг, Б.; Кройцер, М.; Чуди, Т. (1997). «Экспериментальное исследование уединенных структур в нелинейной оптической системе обратной связи». Оптические коммуникации . Эльзевир Б.В. 136 (5–6): 415–418. Бибкод : 1997OptCo.136..415S. дои : 10.1016/s0030-4018(96)00722-5. ISSN  0030-4018.
27. Шеперс, Б.; Фельдманн, М.; Акеманн, Т.; Ланге, В. (24 июля 2000 г.). «Взаимодействие локализованных структур в системе формирования оптической картины». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 85 (4): 748–751. Бибкод : 2000PhRvL..85..748S. doi : 10.1103/physrevlett.85.748. ISSN  0031-9007. ПМИД  10991389.
28. Денц, Корнелия ; Шваб, Майкл; Вайльнау, Карстен (2003). Формирование поперечной структуры в фоторефрактивной оптике . Спрингеровские трактаты в современной физике. Том. 188. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/b13583. ISBN 978-3-540-02109-4. ISSN  0081-3869.
29. Барланд, Стефан; Тредичче, Хорхе Р.; Брамбилла, Массимо; Луджиато, Луиджи А.; Балле, Сальвадор; и другие. (2002). «Резонаторные солитоны как пиксели в полупроводниковых микрорезонаторах». Природа . Спрингер Природа. 419 (6908): 699–702. Бибкод : 2002Natur.419..699B. дои : 10.1038/nature01049. ISSN  0028-0836. PMID  12384692. S2CID  4404010.
30. Чжан, Х.; Тан, ДЮ; Чжао, LM; Ву, Х.; Тэм, HY (6 января 2009 г.). «Диссипативные векторные солитоны в волоконном лазере с управляемой дисперсией и чистой положительной дисперсией резонатора». Оптика Экспресс . Оптическое общество. 17 (2): 455–60. Бибкод : 2009OExpr..17..455Z. дои : 10.1364/oe.17.000455 . ISSN  1094-4087. ПМИД  19158858.
31. Чжан, Х.; Тан, ДЮ; Ву, Х.; Чжао, LM (20 июля 2009 г.). «Многоволновая диссипативная солитонная работа волоконного лазера, легированного эрбием». Оптика Экспресс . Оптическое общество. 17 (15): 12692–7. arXiv : 0907.1782 . Бибкод : 2009OExpr..1712692Z. дои : 10.1364/oe.17.012692 . ISSN  1094-4087. ПМИД  19654674.
32. Хэмик, Чад Т.; Манц, Никлас; Стейнбок, Оливер (2001). «Аномальная дисперсия и привлекательное импульсное взаимодействие в реакции 1,4-циклогександиона Белоусова-Жаботинского †». Журнал физической химии А. Американское химическое общество. 105 (25): 6144–6153. дои : 10.1021/jp010270j. ISSN  1089-5639.
33. Лейн, Сэмюэл Л.; Лусс, Дэн (8 февраля 1993 г.). «Вращающийся температурный импульс при окислении водорода на никелевом кольце». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 70 (6): 830–832. Бибкод : 1993PhRvL..70..830L. doi : 10.1103/physrevlett.70.830. ISSN  0031-9007. ПМИД  10054214.
34. Ротермунд, ХХ; Якубит, С.; фон Эрцен, А.; Эртль, Г. (10 июня 1991 г.). «Солитоны в поверхностной реакции». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 66 (23): 3083–3086. Бибкод : 1991PhRvL..66.3083R. doi : 10.1103/physrevlett.66.3083. ISSN  0031-9007. ПМИД  10043694.
35. Р. Сузуки, Adv. Биофиз. 9 (1976): 115
36. Далем, Маркус А.; Хаджихани, Нушин (1 марта 2009 г.). Бен-Джейкоб, Эшель (ред.). «Аура мигрени: втягивание частицоподобных волн в слабо восприимчивой коре». ПЛОС ОДИН . Публичная научная библиотека. 4 (4): е5007. Бибкод : 2009PLoSO...4.5007D. дои : 10.1371/journal.pone.0005007 . ISSN  1932-6203. ПМК 2659426 . ПМИД  19337363. 
37. Умбанховар, Пол Б.; Мело, Франциско; Суинни, Гарри Л. (1996). «Локальные возбуждения в вертикально колеблющемся зернистом слое». Природа . Спрингер Природа. 382 (6594): 793–796. Бибкод : 1996Natur.382..793U. дои : 10.1038/382793a0. ISSN  0028-0836. S2CID  4338010.
38. Любашевский, О.; Хамиэль, Ю.; Аньон, А.; Речес, З.; Файнберг, Дж. (18 октября 1999 г.). «Осциллоны и распространяющиеся уединенные волны в вертикально вибрирующей коллоидной суспензии». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 83 (16): 3190–3193. Бибкод : 1999PhRvL..83.3190L. doi : 10.1103/physrevlett.83.3190. ISSN  0031-9007.
39. Любашевский, О.; Арбелл, Х.; Файнберг, Дж. (20 мая 1996 г.). «Диссипативные уединенные состояния в управляемых поверхностных волнах». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 76 (21): 3959–3962. Бибкод : 1996PhRvL..76.3959L. doi : 10.1103/physrevlett.76.3959. ISSN  0031-9007. ПМИД  10061156.
40. Алерс, Гюнтер (1991). «Эксперименты с образообразующими системами». Физика D: Нелинейные явления . Эльзевир Б.В. 51 (1–3): 421–443. Бибкод : 1991PhyD...51..421A. дои : 10.1016/0167-2789(91)90249-9. ISSN  0167-2789.
41. Мело, Ф.; Дуади, С. (15 ноября 1993 г.). «От одиночных волн к статическим закономерностям через пространственно-временную прерывистость». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 71 (20): 3283–3286. Бибкод : 1993PhRvL..71.3283M. doi : 10.1103/physrevlett.71.3283. ISSN  0031-9007. ПМИД  10054934.
42. Дж. Нагумо и др., Proc. Инст. Радио Энгин. Электр. 50 (1962): 2061
43. Пурвинс, Х.-Г.; Бёдекер, Ху; Лиер, AW (2004). «Диссипативные солитоны в реакционно-диффузионных системах». Диссипативные солитоны . Конспект лекций по физике. Том. 661. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 267–308. дои : 10.1007/10928028_11. ISBN 978-3-540-23373-2.
44. Мерон, Эхуд (1992). «Формирование узоров в возбудимых средах». Отчеты по физике . Эльзевир Б.В. 218 (1): 1–66. Бибкод : 1992PhR...218....1M. дои : 10.1016/0370-1573(92)90098-к. ISSN  0370-1573.
45. Нидерностайде, Ф.-Ж.; Домен, Р.; Виллебранд, Х.; Шульце, Х.-Ю.; Пурвинс, Х.-Г. (1992). «Формирование узоров в нелинейных физических системах с характерными электрическими свойствами». Нелинейность с беспорядком . Спрингеровские труды по физике. Том. 67. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 282–309. дои : 10.1007/978-3-642-84774-5_29. ISBN 978-3-642-84776-9. ISSN  0930-8989.
46. Гуревич, СВ; Амиранашвили, Ш.; Пурвинс, Х.-Г. (1 ноября 2006 г.). «Дышащие диссипативные солитоны в трехкомпонентной реакционно-диффузионной системе». Физический обзор E . Американское физическое общество. 74 (6): 066201. Бибкод : 2006PhRvE..74f6201G. doi : 10.1103/physreve.74.066201. ISSN  1539-3755. ПМИД  17280133.
47. Ор-Гиль, Михал; Г. Кеврекидис, Иоаннис; Бэр, Маркус (2000). «Устойчивые связанные состояния импульсов в возбудимой среде». Физика D: Нелинейные явления . Эльзевир Б.В. 135 (1–2): 154–174. Бибкод : 2000PhyD..135..154O. дои : 10.1016/s0167-2789(99)00136-0. ISSN  0167-2789.
48. Шенк, КП; Ор-Гиль, М.; Боде, М.; Пурвинс, Х.-Г. (12 мая 1997 г.). «Взаимодействующие импульсы в трехкомпонентных реакционно-диффузионных системах в двумерных областях». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 78 (19): 3781–3784. Бибкод : 1997PhRvL..78.3781S. doi : 10.1103/physrevlett.78.3781. ISSN  0031-9007.
49. Арансон, Игорь С.; Крамер, Лоренц (4 февраля 2002 г.). «Мир комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау». Обзоры современной физики . Американское физическое общество. 74 (1): 99–143. arXiv : cond-mat/0106115 . Бибкод : 2002РвМП...74...99А. doi : 10.1103/revmodphys.74.99. ISSN  0034-6861. S2CID  53142414.
50. Афанасьев, В.В.; Ахмедиев Н.; Сото-Креспо, Ж.М. (1 января 1996 г.). «Три формы локализованных решений комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау пятой степени». Физический обзор E . Американское физическое общество. 53 (2): 1931–1939. Бибкод : 1996PhRvE..53.1931A. doi : 10.1103/physreve.53.1931. hdl : 10261/60458 . ISSN  1063-651X. ПМИД  9964456.
51. Розанов, Н.Н.; Федоров С.В.; Шацев, АН (2006). «Движение кластеров слабосвязанных двумерных солитонов резонатора». Журнал экспериментальной и теоретической физики . Издательство Плеяды. 102 (4): 547–555. Бибкод : 2006JETP..102..547R. дои : 10.1134/s1063776106040030. ISSN  1063-7761. S2CID  59290663.
52. Красован, LC; Маломед, бакалавр; Михалаче, Д. (20 декабря 2000 г.). «Устойчивые вихревые солитоны в двумерном уравнении Гинзбурга-Ландау». Физический обзор E . Американское физическое общество. 63 (1): 016605. Бибкод : 2000PhRvE..63a6605C. doi : 10.1103/physreve.63.016605. ISSN  1063-651X. ПМИД  11304376.
53. Сото-Креспо, Дж. М.; Ахмедиев Н.; Анкевич, А. (2 октября 2000 г.). «Пульсирующие, ползучие и извергающиеся солитоны в диссипативных системах». Письма о физических отзывах . Американское физическое общество. 85 (14): 2937–2940. Бибкод : 2000PhRvL..85.2937S. doi : 10.1103/physrevlett.85.2937. hdl : 10261/54305 . ISSN  0031-9007. ПМИД  11005972.
54. Сото-Креспо, Дж. М.; Ахмедиев, Наиль (18 декабря 2002 г.). «Составные солитоны и двухимпульсная генерация в лазерах с пассивной синхронизацией мод, моделируемые сложным уравнением Свифта-Хоэнберга пятой степени». Физический обзор E . Американское физическое общество. 66 (6): 066610. Бибкод : 2002PhRvE..66f6610S. doi : 10.1103/physreve.66.066610. hdl : 10261/60258 . ISSN  1063-651X. ПМИД  12513432.
55. Сакагути, Хидэцугу; Бранд, Хельмут Р. (1996). «Устойчивые локализованные решения произвольной длины для уравнения Свифта-Хоэнберга пятой степени». Физика D: Нелинейные явления . Эльзевир Б.В. 97 (1–3): 274–285. Бибкод : 1996PhyD...97..274S. дои : 10.1016/0167-2789(96)00077-2. ISSN  0167-2789.
56. Сакагути, Хидэцугу; Бранд, Хельмут Р. (1998). «Локальные закономерности для комплексного уравнения Свифта-Хоэнберга пятой степени». Физика D: Нелинейные явления . Эльзевир Б.В. 117 (1–4): 95–105. Бибкод : 1998PhyD..117...95S. дои : 10.1016/s0167-2789(97)00310-2. ISSN  0167-2789.
57. Фридрих, Рудольф (2005). «Теоретико-групповые методы в теории формирования закономерностей». Коллективная динамика нелинейных и неупорядоченных систем . Берлин/Гейдельберг: Springer-Verlag. стр. 61–84. дои : 10.1007/3-540-26869-3_4. ISBN 3-540-21383-Х.
58. Боде, М (1997). «Фронты-бифуркации в реакционно-диффузионных системах с неоднородным распределением параметров». Физика D: Нелинейные явления . Эльзевир Б.В. 106 (3–4): 270–286. Бибкод : 1997PhyD..106..270B. дои : 10.1016/s0167-2789(97)00050-x. ISSN  0167-2789.
59. Боде, М.; Лиер, AW; Шенк, КП; Пурвинс, Х.-Г. (2002). «Взаимодействие диссипативных солитонов: корпускулярное поведение локализованных структур в трехкомпонентной реакционно-диффузионной системе». Физика D: Нелинейные явления . Эльзевир Б.В. 161 (1–2): 45–66. Бибкод : 2002PhyD..161...45B. дои : 10.1016/s0167-2789(01)00360-8. ISSN  0167-2789.
60. Бёдекер, Ху; Рёттгер, MC; Лиер, AW; Фрэнк, Т.Д.; Фридрих Р.; Пурвинс, Х.-Г. (28 мая 2003 г.). «Зашумленная дрейфовая бифуркация диссипативных солитонов в планарной газоразрядной системе». Физический обзор E . Американское физическое общество. 67 (5): 056220. Бибкод : 2003PhRvE..67e6220B. doi : 10.1103/physreve.67.056220. ISSN  1063-651X. ПМИД  12786263.
61. Бёдекер, Ху; Лиер, AW; Фрэнк, Т.Д.; Фридрих, Р; Первинс, Х.Г. (15 июня 2004 г.). «Измерение закона взаимодействия диссипативных солитонов». Новый журнал физики . Издательство ИОП. 6 (1): 62. Бибкод : 2004NJPh....6...62B. дои : 10.1088/1367-2630/6/1/062 . ISSN  1367-2630.
62. [1]

Книги и обзорные статьи

• Н. Ахмедиев, А. Анкевич, Диссипативные солитоны , Конспект лекций по физике, Springer, Берлин (2005).
• Н. Ахмедиев, А. Анкевич, Диссипативные солитоны: от оптики к биологии и медицине , Конспект лекций по физике, Springer, Берлин (2008).
• Х.-Г. Purwins et al., Advances in Physics 59 (2010): 485 doi :10.1080/00018732.2010.498228
• А.В. Лиер: Диссипативные солитоны в реакционно-диффузионных системах. Механизм, динамика, взаимодействие. Том 70 серии Springer по синергетике, Springer, Берлин, Гейдельберг, 2013, ISBN 978-3-642-31250-2