Дифференциальная структура

Математическая структура

В математике n - мерная дифференциальная структура (или дифференцируемая структура ) на множестве M превращает M в n -мерное дифференциальное многообразие , которое является топологическим многообразием с некоторой дополнительной структурой, которая допускает дифференциальное исчисление на многообразии. Если M уже является топологическим многообразием, требуется, чтобы новая топология была идентична существующей.

Определение

Для натурального числа n и некоторого k , которое может быть неотрицательным целым числом или бесконечностью, n -мерная C ^k дифференциальная структура ^[1] определяется с помощью C ^k - атласа , который представляет собой набор биекций, называемых картами, между подмножествами M (чье объединение является всем M ) и открытыми подмножествами : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \varphi _{i}:M\supset W_{i}\rightarrow U_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

которые являются C ^k -совместимыми (в смысле, определенном ниже):

Каждая диаграмма позволяет рассматривать подмножество многообразия как открытое подмножество , но полезность этого зависит от того, насколько диаграммы согласуются при перекрытии их доменов. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Рассмотрим две диаграммы:

${\displaystyle \varphi _{i}:W_{i}\rightarrow U_{i},}$

${\displaystyle \varphi _{j}:W_{j}\rightarrow U_{j}.}$

Пересечение их доменов - это

${\displaystyle W_{ij}=W_{i}\cap W_{j}}$

чьи изображения под двумя диаграммами

${\displaystyle U_{ij}=\varphi _{i}\left(W_{ij}\right),}$

${\displaystyle U_{ji}=\varphi _{j}\left(W_{ij}\right).}$

Карта перехода между двумя диаграммами преобразует их изображения в их общем домене:

${\displaystyle \varphi _{ij}:U_{ij}\rightarrow U_{ji}}$

${\displaystyle \varphi _{ij}(x)=\varphi _{j}\left(\varphi _{i}^{-1}\left(x\right)\right).}$

Две диаграммы C ^k -совместимы , если ${\displaystyle \varphi _{i},\,\varphi _{j}}$

${\displaystyle U_{ij},\,U_{ji}}$

открыты, и карты перехода

${\displaystyle \varphi _{ij},\,\varphi _{ji}}$

имеют непрерывные частные производные порядка k . Если k  = 0, мы требуем только, чтобы отображения перехода были непрерывными, следовательно, C ⁰ -атлас - это просто другой способ определения топологического многообразия. Если k  = ∞, производные всех порядков должны быть непрерывными. Семейство C ^k -совместимых карт, покрывающих все многообразие, является C ^k -атласом, определяющим C ^k -дифференциальное многообразие. Два атласа являются C ^k -эквивалентными , если объединение их наборов карт образует C ^k -атлас. В частности, говорят , что C ^k -атлас, который C ⁰ -совместим с C ^{0 -атласом, определяющим топологическое многообразие, определяет} C ^k -дифференциальную структуру на топологическом многообразии. Классы эквивалентности C ^k таких атласов являются различными C ^k -дифференциальными структурами многообразия . Каждая отдельная дифференциальная структура определяется уникальным максимальным атласом, который является просто объединением всех атласов в классе эквивалентности.

Для упрощения языка, без потери точности, можно было бы просто назвать максимальный C ^k -атлас на данном множестве C ^k -многообразием. Этот максимальный атлас тогда однозначно определяет как топологию, так и базовое множество, причем последнее является объединением доменов всех карт, а первое имеет множество всех этих доменов в качестве основы.

Теоремы существования и единственности

Для любого целого числа k > 0 и любого n −мерного C ^k −многообразия максимальный атлас содержит C ^∞ −атлас на том же базовом множестве по теореме Хасслера Уитни . Также было показано, что любой максимальный C ^k −атлас содержит некоторое количество различных максимальных C ^∞ −атласов всякий раз, когда n > 0, хотя для любой пары этих различных C ^∞ −атласов существует C ^∞ −диффеоморфизм, отождествляющий их. Из этого следует, что существует только один класс гладких структур (по модулю попарного гладкого диффеоморфизма) над любым топологическим многообразием, которое допускает дифференцируемую структуру, т. е. C ^∞ −, структуры в C ^k −многообразии. Немного вольно можно выразить это, сказав, что гладкая структура (по существу) уникальна. Случай для k = 0 другой. А именно, существуют топологические многообразия , которые не допускают C ¹ -структуры, результат, доказанный Кервером (1960), ^[2] и позднее объясненный в контексте теоремы Дональдсона (сравните пятую проблему Гильберта ).

Гладкие структуры на ориентируемом многообразии обычно подсчитываются по модулю сохраняющих ориентацию гладких гомеоморфизмов . Тогда возникает вопрос, существуют ли диффеоморфизмы, обращающие ориентацию. Существует «существенно уникальная» гладкая структура для любого топологического многообразия размерности меньше 4. Для компактных многообразий размерности больше 4 существует конечное число «гладких типов», т.е. классов эквивалентности попарно гладко диффеоморфных гладких структур. В случае R ⁿ с n ≠ 4 число этих типов равно одному, тогда как для n = 4 таких типов несчетно много. Их называют экзотическими R ⁴ .

Дифференциальные структуры на сферах размерности от 1 до 20

В следующей таблице приведено количество гладких типов топологической m −сферы S ^m для значений размерности m от 1 до 20. Сферы с гладкой, т.е. C ^∞ −дифференциальной структурой, не гладко диффеоморфной обычной, называются экзотическими сферами .

В настоящее время неизвестно, сколько гладких типов имеет топологическая 4-сфера S ⁴ , за исключением того, что есть по крайней мере один. Их может быть один, конечное число или бесконечное число. Утверждение, что существует только один, известно как гипотеза Пуанкаре о гладкости (см. Обобщенная гипотеза Пуанкаре ). Большинство математиков считают, что эта гипотеза ложна, т. е. что S ⁴ имеет более одного гладкого типа. Проблема связана с существованием более одного гладкого типа топологического 4-диска (или 4-шара).

Дифференциальные структуры на топологических многообразиях

Как упоминалось выше, в размерностях, меньших 4, существует только одна дифференциальная структура для каждого топологического многообразия. Это было доказано Тибором Радо для размерностей 1 и 2 и Эдвином Э. Моисом в размерности 3. ^[3] Используя теорию препятствий , Робион Кирби и Лоран К. Зибенман смогли показать, что число PL-структур для компактных топологических многообразий размерности больше 4 конечно. ^[4] Джон Милнор , Мишель Кервер и Моррис Хирш доказали, что число гладких структур на компактном PL-многообразии конечно и согласуется с числом дифференциальных структур на сфере для той же размерности (см. книгу Ассельмейера-Малуги, глава 7 Бранса). Объединяя эти результаты, число гладких структур на компактном топологическом многообразии размерности, не равной 4, конечно.

Размерность 4 сложнее. Для компактных многообразий результаты зависят от сложности многообразия, измеряемой вторым числом Бетти  b ₂ . Для больших чисел Бетти b ₂  > 18 в односвязном 4-многообразии можно использовать хирургию вдоль узла или зацепления, чтобы создать новую дифференциальную структуру. С помощью этой процедуры можно создать счетное бесконечное множество дифференциальных структур. Но даже для простых пространств, таких как неизвестное построение других дифференциальных структур. Для некомпактных 4-многообразий существует множество примеров, подобных имеющим несчетное множество дифференциальных структур. ${\displaystyle S^{4},{\mathbb {C} }P^{2},...}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{4},S^{3}\times {\mathbb {R} },M^{4}\smallsetminus \{*\},...}$

Смотрите также

• Математическая структура
• Экзотический R ⁴
• Экзотическая сфера

Ссылки

1. Хирш, Моррис , Дифференциальная топология , Springer (1997), ISBN  0-387-90148-5 . для общего математического описания дифференциальных структур.
2. Кервер, Мишель (1960). «Многообразие, не допускающее никакой дифференцируемой структуры». Комментарии по математике Helvetici . 34 : 257–270. дои : 10.1007/BF02565940.
3. Моисе, Эдвин Э. (1952). «Аффинные структуры в 3-многообразиях. V. Теорема о триангуляции и Hauptvermutung». Annals of Mathematics . Вторая серия. 56 (1): 96–114. doi :10.2307/1969769. JSTOR  1969769. MR  0048805.
4. Кирби, Робион К.; Зибенманн , Лоренс К. (1977). Основополагающие эссе о топологических многообразиях. Сглаживания и триангуляции . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-08190-5.