Дифференциальная структура

В математике n - мерная дифференциальная структура (или дифференцируемая структура ) на множестве M превращает M в n -мерное дифференциальное многообразие , которое является топологическим многообразием с некоторой дополнительной структурой, позволяющей проводить дифференциальное исчисление на этом многообразии. Если M уже является топологическим многообразием, требуется, чтобы новая топология была идентична существующей.

Определение

Для натурального числа n и некоторого ^k , который может быть неотрицательным целым числом или бесконечностью, n -мерная дифференциальная структура Ck [ ^1] определяется с использованием Ck ^- атласа , который представляет собой набор биекций , называемых картами между набором подмножеств M (объединением которых является все M ) и набор открытых подмножеств : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \varphi _{i}:M\supset W_{i}\rightarrow U_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

которые C ^k -совместимы (в смысле, определенном ниже):

Каждая такая карта обеспечивает способ, с помощью которого определенные подмножества многообразия можно рассматривать как открытые подмножества, но полезность этого понятия зависит от того, в какой степени эти понятия согласуются, когда области двух таких карт перекрываются. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Рассмотрим два графика:

${\displaystyle \varphi _{i}:W_{i}\rightarrow U_{i},}$

${\displaystyle \varphi _{j}:W_{j}\rightarrow U_{j}.}$

Пересечение областей определения этих двух функций равно

${\displaystyle W_{ij}=W_{i}\cap W_{j}}$

и его карта с помощью двух диаграмм соответствует двум изображениям:

${\displaystyle U_{ij}=\varphi _{i}\left(W_{ij}\right),}$

${\displaystyle U_{ji}=\varphi _{j}\left(W_{ij}\right).}$

Карта перехода между двумя диаграммами — это карта между двумя изображениями этого пересечения под двумя картами диаграмм.

${\displaystyle \varphi _{ij}:U_{ij}\rightarrow U_{ji}}$

${\displaystyle \varphi _{ij}(x)=\varphi _{j}\left(\varphi _{i}^{-1}\left(x\right)\right).}$

Две карты являются Ck ^- совместимыми, если ${\displaystyle \varphi _{i},\,\varphi _{j}}$

${\displaystyle U_{ij},\,U_{ji}}$

открыты, и карты перехода

${\displaystyle \varphi _{ij},\,\varphi _{ji}}$

имеют непрерывные частные производные порядка k . Если k  = 0, мы требуем только, чтобы отображения переходов были непрерывными, следовательно, C ⁰ -атлас — это просто еще один способ определения топологического многообразия. Если k  = ∞, производные всех порядков должны быть непрерывными. Семейство C ^k -совместимых карт, покрывающее все многообразие, представляет собой C ^k -атлас, определяющий C ^k дифференциальное многообразие. Два атласа C ^k -эквивалентны , если объединение их наборов карт образует C ^k -атлас. В частности, говорят, что C ^k -атлас, C ⁰ -совместимый с C ⁰ -атласом, определяющим топологическое многообразие, определяет C ^k дифференциальную структуру на топологическом многообразии. Классы эквивалентности Ck ^таких атласов представляют собой различные Ck ^{дифференциальные} структуры многообразия . Каждая отдельная дифференциальная структура определяется уникальным максимальным атласом, который представляет собой просто объединение всех атласов класса эквивалентности.

Для упрощения языка, без потери точности, можно было бы просто назвать максимальный Ck ^- атлас на данном множестве Ck ^- многообразием. Тогда этот максимальный атлас однозначно определяет как топологию, так и базовый набор, причем последний представляет собой объединение областей всех карт, а первый имеет в качестве основы набор всех этих областей.

Теоремы существования и единственности

Для любого целого числа k > 0 и любого n -мерного C ^k -многообразия максимальный атлас содержит C ^∞ -атлас на том же базовом множестве по теореме Хасслера-Уитни . Также было показано, что любой максимальный C ^k -атлас содержит некоторое количество различных максимальных C ^∞ -атласов всякий раз, когда n > 0, хотя для любой пары этих различных C ^∞ -атласов существует C ^∞ -диффеоморфизм, отождествляющий их. Отсюда следует, что существует только один класс гладких структур (по модулю попарно гладкого диффеоморфизма) над любым топологическим многообразием, допускающим дифференцируемую структуру, т. е. структуры C ^∞ − в C ^k −многообразии. В более широком смысле это можно было бы выразить, сказав, что гладкая структура (по существу) уникальна. Случай k = 0 иной. А именно, существуют топологические многообразия , которые не допускают C ¹ -структуры, результат, доказанный Кервером (1960), ^[2] и позже объясненный в контексте теоремы Дональдсона (сравните пятую проблему Гильберта ).

Гладкие структуры на ориентируемом многообразии обычно считаются по модулю сохраняющих ориентацию гладких гомеоморфизмов . Тогда возникает вопрос, существуют ли диффеоморфизмы, меняющие ориентацию. Для любого топологического многообразия размерности меньше 4 существует «существенно единственная» гладкая структура. Для компактных многообразий размерности больше 4 существует конечное число «гладких типов», т.е. классов эквивалентности попарно гладко диффеоморфных гладких структур. В случае R ⁿ с n ≠ 4 число этих типов равно одному, тогда как для n = 4 таких типов несчетное количество. Их называют экзотическим R ⁴ .

Дифференциальные структуры на сферах размерности от 1 до 20.

В следующей таблице указано количество гладких типов топологической m -сферы S ^m для значений размерности m от 1 до 20. Известны сферы с гладкой, т.е. C ^∞ -дифференциальной структурой, не гладко диффеоморфной обычной. как экзотические сферы .

В настоящее время неизвестно, сколько типов гладкости имеет топологическая 4-сфера S ⁴ , но есть хотя бы один. Их может быть один, конечное или бесконечное число. Утверждение о том, что существует только один, известно как гладкая гипотеза Пуанкаре (см. Обобщенную гипотезу Пуанкаре ). Большинство математиков считают, что эта гипотеза неверна, т.е. что S ⁴ имеет более одного гладкого типа. Проблема связана с существованием более одного гладкого типа топологического 4-диска (или 4-шара).

Дифференциальные структуры на топологических многообразиях

Как упоминалось выше, в размерностях меньше 4 для каждого топологического многообразия существует только одна дифференциальная структура. Это было доказано Тибором Радо для размерностей 1 и 2 и Эдвином Э. Мойсом в размерности 3. ^[3] Используя теорию препятствий , Робион Кирби и Лоран К. Зибенманн смогли показать, что число PL-структур для компактных топологических многообразия размерности больше 4 конечно. ^[4] Джон Милнор , Мишель Кервер и Моррис Хирш доказали, что число гладких структур на компактном PL-многообразии конечно и согласуется с числом дифференциальных структур на сфере для той же размерности (см. книгу Ассельмейера-Малуги, Бранса глава 7). Объединив эти результаты, число гладких структур на компактном топологическом многообразии размерности, отличной от 4, становится конечным.

Четвертый размер более сложен. Для компактных многообразий результаты зависят от сложности многообразия, измеряемой вторым числом Бетти  b ₂ . Для больших чисел Бетти b ₂  > 18 в односвязном 4-многообразии можно использовать операцию вдоль узла или звена, чтобы получить новую дифференциальную структуру. С помощью этой процедуры можно создать счетное множество дифференциальных структур. Но даже для таких простых пространств, как одно, неизвестна конструкция других дифференциальных структур. Для некомпактных 4-многообразий существует множество примеров, например, наличие несчетного числа дифференциальных структур. ${\displaystyle S^{4},{\mathbb {C} }P^{2},...}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{4},S^{3}\times {\mathbb {R} },M^{4}\smallsetminus \{*\},...}$

Смотрите также

• Математическая структура
• Экзотика Р ⁴
• Экзотическая сфера

Рекомендации

1. Хирш, Моррис , Дифференциальная топология , Springer (1997), ISBN  0-387-90148-5 . для общего математического описания дифференциальных структур
2. Кервер, Мишель (1960). «Многообразие, не допускающее никакой дифференцируемой структуры». Комментарии по математике Helvetici . 34 : 257–270. дои : 10.1007/BF02565940.
3. Мойс, Эдвин Э. (1952). «Аффинные структуры в 3-многообразиях. V. Теорема триангуляции и Hauptvermutung». Анналы математики . Вторая серия. 56 (1): 96–114. дои : 10.2307/1969769. JSTOR  1969769. MR  0048805.
4. Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Основополагающие очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08190-5.