Производный

Мгновенная скорость изменения (математика)

В математике производная является фундаментальным инструментом, который количественно определяет чувствительность изменения выходного значения функции по отношению к ее входному значению. Производная функции одной переменной при выбранном входном значении, если она существует, является наклоном касательной к графику функции в этой точке. Касательная является наилучшим линейным приближением функции вблизи этого входного значения. По этой причине производную часто описывают как мгновенную скорость изменения , отношение мгновенного изменения зависимой переменной к мгновенному изменению независимой переменной. ^[1] Процесс нахождения производной называется дифференцированием .

Существует несколько различных обозначений для дифференциации, два из которых наиболее часто используются — обозначение Лейбница и обозначение штрихов. Обозначение Лейбница, названное в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , представляется как отношение двух дифференциалов , тогда как обозначение штрихов записывается путем добавления знака штриха . Обозначения более высокого порядка представляют собой повторяющееся дифференцирование, и они обычно обозначаются в обозначении Лейбница путем добавления верхних индексов к дифференциалам, а в обозначении штрихов — путем добавления дополнительных знаков штрихов. Производные более высокого порядка могут применяться в физике; например, в то время как первая производная положения движущегося объекта по времени — это скорость объекта , то есть то, как положение изменяется с течением времени, вторая производная — это ускорение объекта , то, как скорость изменяется с течением времени.

Производные могут быть обобщены на функции нескольких действительных переменных . В этом обобщении производная переосмысливается как линейное преобразование , график которого (после соответствующего перевода) является наилучшим линейным приближением к графику исходной функции. Матрица Якоби — это матрица , которая представляет это линейное преобразование относительно базиса, заданного выбором независимых и зависимых переменных. Она может быть вычислена в терминах частных производных относительно независимых переменных. Для действительной функции нескольких переменных матрица Якоби сводится к вектору градиента .

Определение

Как предел

Функция действительной переменной дифференцируема в точке своей области определения , если ее область определения содержит открытый интервал, содержащий ⁠ ⁠ , и предел существует. ^[2] Это означает, что для каждого положительного действительного числа ⁠ ⁠ существует положительное действительное число такое, что для каждого такого, что и тогда определено, и где вертикальные черты обозначают абсолютное значение . Это пример (ε, δ)-определения предела . ^[3] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle |h|<\delta }$ ${\displaystyle h\neq 0}$ ${\displaystyle f(a+h)}$ $${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,}$$

Если функция дифференцируема в точке ⁠ ⁠ , то есть если предел существует, то этот предел называется производной от точки . Существует несколько обозначений для производной. ^[4] Производная от точки может быть обозначена как ⁠ ⁠ , прочитанная как " ⁠ ⁠ простое число ⁠ ⁠ "; или она может быть обозначена как ⁠ ⁠ , прочитанная как "производная от по отношению к точке ⁠ ⁠ " или " ⁠ ⁠ по (или по) точке ⁠ ⁠ ". См. § Обозначения ниже. Если — функция, имеющая производную в каждой точке своей области определения , то функцию можно определить, сопоставив каждую точку со значением производной от точки . Эта функция записывается и называется производной функцией или производной от ⁠ ⁠ . Функция иногда имеет производную не более чем в, но не во всех, точках своей области определения. Функция, значение которой в равно всякий раз, когда определено, а в других местах не определено, также называется производной ⁠ ⁠ . Это все еще функция, но ее область определения может быть меньше области определения . ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Например, пусть будет функцией возведения в квадрат: . Тогда частное в определении производной равно ^[6] Деление на последнем шаге справедливо до тех пор, пока . Чем ближе к ⁠ ⁠ , тем ближе это выражение становится к значению . Предел существует, и для каждого входа предел равен . Таким образом, производная функции возведения в квадрат является функцией удвоения: ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.}$$ ${\displaystyle h\neq 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle f'(x)=2x}$

Отношение в определении производной — это наклон линии, проходящей через две точки на графике функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ , а именно точки и . По мере уменьшения эти точки сближаются, и наклон этой линии приближается к предельному значению, наклону касательной к графику при . Другими словами, производная — это наклон касательной. ^[7] ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

Использование бесконечно малых величин

Один из способов думать о производной — это как об отношении бесконечно малого изменения выходных данных функции к бесконечно малому изменению ее входных данных. ^[8] Чтобы сделать эту интуицию строгой, требуется система правил для манипулирования бесконечно малыми величинами. ^[9] Система гипердействительных чисел — это способ обработки бесконечных и бесконечно малых величин. Гипердействительные числа являются расширением действительных чисел , которые содержат числа, большие, чем что-либо в форме для любого конечного числа членов. Такие числа бесконечны, а их обратные величины являются бесконечно малыми. Применение гипердействительных чисел к основам исчисления называется нестандартным анализом . Это дает способ определить основные понятия исчисления, такие как производная и интеграл, в терминах бесконечно малых, тем самым придавая точное значение в нотации Лейбница. Таким образом, производная от становится для произвольной бесконечно малой ⁠ ⁠ , где обозначает стандартную часть функции , которая «округляет» каждое конечное гипердействительное до ближайшего действительного. ^[10] Снова возьмем в качестве примера функцию возведения в квадрат : ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \operatorname {st} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$$

Непрерывность и дифференцируемость

Если дифференцируема в ⁠ ⁠ , то также должна быть непрерывной в . [ ^11] В качестве примера выберем точку и пусть будет ступенчатой ​​функцией , которая возвращает значение 1 для всех значений, меньших ⁠ ⁠ , и возвращает другое значение 10 для всех значений, больших или равных . Функция не может иметь производной в . Если отрицательно, то находится на нижней части ступени, поэтому секущая от до очень крутая; при стремлении к нулю наклон стремится к бесконечности. Если положительно, то находится на верхней части ступени, поэтому секущая от до имеет нулевой наклон. Следовательно, секущие не приближаются ни к одному наклону, поэтому предела разностного отношения не существует. Однако даже если функция непрерывна в точке, она может быть не дифференцируемой там. Например, функция абсолютного значения , заданная , непрерывна в ⁠ ⁠ , но она не дифференцируема там. Если положительно, то наклон секущей линии от 0 до равен единице; если отрицательно, то наклон секущей линии от до равен ⁠ ⁠ . ^[12] Графически это можно увидеть как «излом» или «выступ» на графике в точке . Даже функция с гладким графиком не дифференцируема в точке, где ее касательная вертикальна : Например, функция, заданная функцией , не дифференцируема в точке . Подводя итог, можно сказать, что функция, имеющая производную, непрерывна, но существуют непрерывные функции, не имеющие производной. ^[13] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+h}$ ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}}$ ${\displaystyle x=0}$

Большинство функций, которые встречаются на практике, имеют производные во всех точках или почти в каждой точке. В начале истории исчисления многие математики предполагали, что непрерывная функция дифференцируема в большинстве точек. ^[14] При мягких условиях (например, если функция является монотонной или функцией Липшица ) это верно. Однако в 1872 году Вейерштрасс нашел первый пример функции, которая непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема. Этот пример теперь известен как функция Вейерштрасса . ^[15] В 1931 году Стефан Банах доказал, что множество функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудным множеством в пространстве всех непрерывных функций. Неформально это означает, что едва ли какие-либо случайные непрерывные функции имеют производную хотя бы в одной точке. ^[16]

Обозначение

Одним из распространенных способов записи производной функции является обозначение Лейбница , введенное Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1675 году, которое обозначает производную как частное двух дифференциалов , таких как и ⁠ ⁠ . ^{[17] [18]} Оно по-прежнему широко используется, когда уравнение рассматривается как функциональная связь между зависимой и независимой переменными . Первая производная обозначается ⁠ ⁠ , читается как «производная по отношению к ⁠ ⁠ ». ^[19] Эта производная может поочередно рассматриваться как применение дифференциального оператора к функции, Высшие производные выражаются с помощью обозначения для -й производной . Это сокращения для множественных применений оператора производной; например, ^[20] В отличие от некоторых альтернатив, обозначение Лейбница включает явное указание переменной для дифференцирования в знаменателе, что устраняет неоднозначность при работе с несколькими взаимосвязанными величинами. Производную составной функции можно выразить с помощью цепного правила : если и то ^[21] ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {dy}{dx}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(x).}$ ${\textstyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}f(x){\Bigr )}.}$ ${\displaystyle u=g(x)}$ ${\displaystyle y=f(g(x))}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Другим распространенным обозначением для дифференциации является использование знака штриха в символе функции ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x)}$ . Это известно как обозначение штриха , благодаря Жозефу-Луи Лагранжу . ^[22] Первая производная записывается как ⁠ ⁠ ${\displaystyle f'(x)}$ , читается как " ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ простое число ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ , или ⁠ ⁠ ${\displaystyle y'}$ , читается как " ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ простое число". ^[23] Аналогично, вторая и третья производные могут быть записаны как и ⁠ ⁠ , соответственно. ^[24] Для обозначения числа высших производных за этой точкой некоторые авторы используют римские цифры в верхнем индексе , тогда как другие помещают число в скобки, например или ⁠ ⁠ . ^[25] Последнее обозначение обобщается, чтобы дать обозначение для ⁠ ⁠ -й производной ⁠ ⁠ . ^[20] ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f'''}$ ${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$ ${\displaystyle f^{(4)}}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

В нотации Ньютона или точечной нотации точка ставится над символом для представления производной по времени. Если является функцией ⁠ ⁠ , то первую и вторую производные можно записать как и ⁠ ⁠ , соответственно. Эта нотация используется исключительно для производных по времени или длине дуги . Обычно она используется в дифференциальных уравнениях в физике и дифференциальной геометрии . ^[26] Однако точечная нотация становится неуправляемой для производных высокого порядка (порядка 4 или более) и не может работать с несколькими независимыми переменными. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {y}}}$ ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

Другая нотация — D-нотация , которая представляет дифференциальный оператор символом ⁠ ⁠ ${\displaystyle D}$ . ^[20] Первая производная записывается , а высшие производные записываются с верхним индексом, поэтому -я производная — ⁠ ⁠ . Эту нотацию иногда называют нотацией Эйлера , хотя, по-видимому, Леонард Эйлер ее не использовал, а сама нотация была введена Луи Франсуа Антуаном Арбогастом . ^[27] Чтобы указать частную производную, переменная, дифференцируемая по , указывается с нижним индексом, например, если задана функция ⁠ ⁠ , ее частная производная по может быть записана как или ⁠ ⁠ . Высшие частные производные могут быть указаны верхними индексами или несколькими нижними индексами, например и ⁠ ⁠ . ^[28] ${\displaystyle Df(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D^{n}f(x)}$ ${\displaystyle u=f(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{x}u}$ ${\displaystyle D_{x}f(x,y)}$ ${\textstyle D_{xy}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$ ${\displaystyle \textstyle D_{x}^{2}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$

Правила расчета

В принципе, производная функции может быть вычислена из определения путем рассмотрения разностного коэффициента и вычисления его предела. Как только производные нескольких простых функций известны, производные других функций вычисляются легче, используя правила получения производных более сложных функций из более простых. Этот процесс нахождения производной известен как дифференцирование . ^[29]

Правила для основных функций

Ниже приведены правила для производных наиболее распространенных основных функций. Здесь — действительное число, а — основание натурального логарифма, приблизительно 2,71828 . ^[30] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$

• Производные полномочий :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}$

• Функции показательной степени , натурального логарифма и логарифма с общим основанием :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$, для ${\displaystyle a>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$, для ${\displaystyle x>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$, для ${\displaystyle x,a>0}$

• Тригонометрические функции :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

• Обратные тригонометрические функции :

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, для ${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, для ${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Правила для комбинированных функций

Учитывая, что и являются функциями. Ниже приведены некоторые из самых основных правил вывода производной функций из производных базовых функций. ^[31] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

• Правило константы : если константа, то для всех ⁠ ⁠ , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• Правило суммы :

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$для всех функций и и всех действительных чисел и ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

• Правило продукта :

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$для всех функций и ⁠ ⁠ . Как особый случай, это правило включает в себя тот факт, что всякий раз является константой, поскольку по правилу константы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$

• Правило частного :

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ для всех функций и на всех входах, где g ≠ 0 . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

• Правило цепочки для составных функций : Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ , то

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

Пример расчета

Производная функции, заданной выражением, равна Здесь второй член был вычислен с использованием правила цепочки , а третий член — с использованием правила произведения . Также были использованы известные производные элементарных функций , , , , и , а также константа . ${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle 7}$

Производные высшего порядка

Производные более высокого порядка являются результатом многократного дифференцирования функции. Учитывая, что — дифференцируемая функция, производная от — это первая производная, обозначаемая как ⁠ ⁠ . Производная от — это вторая производная , обозначаемая как ⁠ ⁠ , а производная от — это третья производная , обозначаемая как ⁠ ⁠ . Продолжая этот процесс, если она существует, то ⁠ ⁠ -я производная является производной ⁠ ⁠ -й производной или производной порядка ⁠ ⁠ . Как обсуждалось выше, обобщение производной функции может быть обозначено как ⁠ ⁠ . ^[32] Функция, которая имеет последовательные производные, называется дифференцируемой по времени . Если -я производная непрерывна, то говорят, что функция имеет класс дифференцируемости ⁠ ⁠ . ^[33] Функция, имеющая бесконечно много производных, называется бесконечно дифференцируемой или гладкой . ^[34] Любая полиномиальная функция бесконечно дифференцируема; многократное взятие производных в конечном итоге приведет к постоянной функции , а все последующие производные этой функции равны нулю. ^[35] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f'''}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Одно из применений производных высшего порядка — физика . Предположим, что функция представляет положение объекта в данный момент времени. Первая производная этой функции — это скорость объекта относительно времени, вторая производная функции — это ускорение объекта относительно времени, ^[29] а третья производная — это рывок . ^[36]

В других измерениях

Векторнозначные функции

Векторная функция действительной переменной отправляет действительные числа в векторы в некотором векторном пространстве . Векторная функция может быть разделена на ее координатные функции , что означает, что . Это включает, например, параметрические кривые в или . Координатные функции являются действительными функциями, поэтому приведенное выше определение производной применимо к ним. Производная от определяется как вектор , называемый касательным вектором , координаты которого являются производными координатных функций. То есть, ^[37] если предел существует. Вычитание в числителе является вычитанием векторов, а не скаляров. Если производная от существует для каждого значения ⁠ ⁠ , то является другой векторной функцией. ^[37] ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ $${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {y} '}$

Частные производные

Функции могут зависеть от более чем одной переменной . Частная производная функции нескольких переменных — это ее производная по одной из этих переменных, при этом остальные переменные остаются постоянными. Частные производные используются в векторном исчислении и дифференциальной геометрии . Как и в случае с обычными производными, существуют множественные обозначения: частная производная функции по переменной обозначается по-разному: ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f_{x}}$, , , , или , ${\displaystyle f'_{x}}$ ${\displaystyle \partial _{x}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

среди других возможностей. ^[38] Его можно рассматривать как скорость изменения функции в -направлении. ^[39] Здесь ∂ - это округленная d, называемая символом частной производной . Чтобы отличить ее от буквы d , ∂ иногда произносится как "der", "del" или "partial" вместо "dee". ^[40] Например, пусть ⁠ ⁠ , тогда частная производная функции по обеим переменным и равна, соответственно: В общем случае частная производная функции в направлении в точке определяется как: ^[41] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.}$$ ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$$

Это имеет основополагающее значение для изучения функций нескольких действительных переменных . Пусть будет такой действительной функцией . Если все частные производные по определены в точке ⁠ ⁠ , эти частные производные определяют вектор , который называется градиентом в точке . Если дифференцируема в каждой точке некоторой области, то градиент является векторнозначной функцией , которая отображает точку в вектор . Следовательно, градиент определяет векторное поле . ^[42] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ $${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \nabla f(a_{1},\dots ,a_{n})}$

Направленные производные

Если — действительная функция от ⁠ ⁠ , то частные производные от измеряют ее изменение в направлении осей координат. Например, если — функция от и ⁠ ⁠ , то ее частные производные измеряют изменение в в направлении и . Однако они не измеряют напрямую изменение в любом другом направлении, например, вдоль диагональной линии ⁠ ⁠ . Они измеряются с помощью производных по направлению. Если задан вектор ⁠ ⁠ , то производная по направлению в направлении в точке равна: ^[43] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Если все частные производные существуют и непрерывны в ⁠ ⁠ , то они определяют производную по направлению по формуле: ^[44] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$$

Полная производная, полный дифференциал и матрица Якоби

Когда — функция из открытого подмножества в ⁠ ⁠ , то производная по направлению в выбранном направлении является наилучшим линейным приближением к в этой точке и в этом направлении. Однако, когда ⁠ ⁠ , ни одна производная по направлению не может дать полную картину поведения . Полная производная дает полную картину, рассматривая все направления одновременно. То есть, для любого вектора, начинающегося в ⁠ ⁠ , справедлива формула линейного приближения: ^[45] Аналогично с производной по одной переменной, выбирается так, чтобы ошибка в этом приближении была как можно меньше. Полная производная в — это единственное линейное преобразование, такое что ^[45] Здесь — вектор в ⁠ ⁠ , поэтому норма в знаменателе — это стандартная длина на . Однако — вектор в ⁠ ⁠ , а норма в числителе — это стандартная длина на . ^[45] Если — вектор, начинающийся с ⁠ ⁠ , то называется проталкиванием вектора . ^[46] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ $${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$

Если полная производная существует в точке ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ , то все частные производные и производные по направлению существуют в точке ⁠ ⁠ , и для всех ⁠ ⁠ , является производной по направлению в направлении ⁠ ⁠ . Если записано с использованием координатных функций, так что ⁠ ⁠ , то полная производная может быть выражена с использованием частных производных в виде матрицы . Эта матрица называется матрицей Якоби в точке : ^[47] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$$

Обобщения

Понятие производной может быть распространено на многие другие параметры. Общей нитью является то, что производная функции в точке служит линейной аппроксимацией функции в этой точке.

• Важное обобщение производной касается комплексных функций комплексных переменных , таких как функции из (области в) комплексных чисел в ⁠ ⁠ . Понятие производной такой функции получается путем замены действительных переменных на комплексные переменные в определении. ^[48] Если идентифицируется с путем записи комплексного числа как ⁠ ⁠ , то дифференцируемая функция от до , безусловно, дифференцируема как функция от до (в том смысле, что все ее частные производные существуют), но обратное в общем случае неверно: комплексная производная существует только в том случае, если действительная производная является комплексной линейной , и это накладывает соотношения между частными производными, называемые уравнениями Коши–Римана – см. голоморфные функции . ^[49] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Другое обобщение касается функций между дифференцируемыми или гладкими многообразиями . Интуитивно говоря, такое многообразие представляет собой пространство, которое может быть аппроксимировано вблизи каждой точки векторным пространством, называемым его касательным пространством : прототипическим примером является гладкая поверхность в ⁠ ⁠ . Производная (или дифференциал) (дифференцируемого) отображения между многообразиями в точке в ⁠ ⁠ тогда является линейным отображением из касательного пространства в в касательное пространство в ⁠ ⁠ . Производная функция становится отображением между касательными расслоениями и ⁠ ⁠ . Это определение используется в дифференциальной геометрии . ^[50] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
• Дифференциация также может быть определена для отображений между векторными пространствами , такими как банахово пространство , в котором этими обобщениями являются производная Гато и производная Фреше . ^[51]
• Одним из недостатков классической производной является то, что очень многие функции не дифференцируемы. Тем не менее, существует способ расширить понятие производной так, чтобы все непрерывные функции и многие другие функции могли быть дифференцированы с использованием концепции, известной как слабая производная . Идея состоит в том, чтобы встроить непрерывные функции в большее пространство, называемое пространством распределений , и требовать только, чтобы функция была дифференцируема «в среднем». ^[52]
• Свойства производной вдохновили введение и изучение многих подобных объектов в алгебре и топологии; примером является дифференциальная алгебра . Здесь она состоит из вывода некоторых тем в абстрактной алгебре, таких как кольца , идеалы , поля и т. д. ^[53]
• Дискретным эквивалентом дифференциации являются конечные разности . Изучение дифференциального исчисления объединено с исчислением конечных разностей в исчислении шкалы времени . ^[54]
• Арифметическая производная включает функцию, которая определяется для целых чисел с помощью разложения на простые множители . Это аналогия с правилом произведения. ^[55]

Смотрите также

• Ковариантная производная
• Вывод
• Внешняя производная
• Функциональная производная
• Интеграл
• производная Ли

Примечания

1. Апостол 1967, стр. 160; Стюарт 2002, стр. 129–130; Стрэнг и др. 2023, стр. 224.
2. Апостол 1967, стр. 160; Стюарт 2002, стр. 127; Стрэнг и др. 2023, стр. 220.
3. Gonick 2012, стр. 83; Thomas et al. 2014, стр. 60.
4. Gonick 2012, стр. 88; Strang et al. 2023, стр. 234.
5. Gonick 2012, стр. 83; Strang et al. 2023, стр. 232.
6. Гоник 2012, стр. 77–80.
7. Томпсон 1998, стр. 34, 104; Стюарт 2002, стр. 128.
8. Томпсон 1998, стр. 84–85.
9. Кейслер 2012, стр. 902–904.
10. Кейслер 2012, с. 45; Хенле и Кляйнберг 2003, с. 66.
11. Гоник 2012, с. 156; Томас и др. 2014, с. 114; Стрэнг и др. 2023, с. 237.
12. Гоник 2012, с. 149; Томас и др. 2014, с. 113; Стрэнг и др. 2023, с. 237.
13. Гоник 2012, с. 156; Томас и др. 2014, с. 114; Стрэнг и др. 2023, стр. 237–238.
14. Яшек 1922; Ярник 1922; Рыхлик 1923.
15. Дэвид 2018.
16. Банах 1931, цитируется в Hewitt & Stromberg 1965.
17. Апостол 1967, стр. 172.
18. Каджори 2007, стр. 204.
19. Мур и Сигел 2013, стр. 110.
20. Варберг, Перселл и Ригдон 2007, стр. 125–126.
21. При формулировке исчисления в терминах пределов разные авторы приписывали символу различные значения. Некоторые авторы, такие как Varberg, Purcell & Rigdon 2007, стр. 119 и Stewart 2002, стр. 177, не приписывают значение самому по себе, а только как части символа . Другие определяют как независимую переменную и определяют как ⁠ ⁠ . В нестандартном анализе определяется как бесконечно малая величина. Она также интерпретируется как внешняя производная функции ⁠ ⁠ . Для получения дополнительной информации см. дифференциал (бесконечно малая величина) . ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle du}$ ${\textstyle {\frac {du}{dx}}}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle \textstyle du=dxf'(x)}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle u}$
22. Шварцман 1994, стр. 171.
23. Мур и Сигел 2013, стр. 110; Гудман 1963, стр. 78–79.
24. Варберг, Перселл и Ригдон 2007, стр. 125–126; Каджори 2007, с. 228.
25. Чоудари и Никулеску 2014, с. 222; Апостол 1967, с. 171.
26. Эванс 1999, стр. 63; Крейциг 1991, стр. 1.
27. Каджори 1923.
28. Апостол 1967, с. 172; Варберг, Перселл и Ригдон 2007, с. 125–126.
29. Apostol 1967, стр. 160.
30. Varberg, Purcell & Rigdon 2007. См. стр. 133 для правила степенной функции, стр. 115–116 для тригонометрических функций, стр. 326 для натурального логарифма, стр. 338–339 для показательной функции с основанием ⁠ ⁠ ${\displaystyle e}$ , стр. 343 для показательной функции с основанием ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , стр. 344 для логарифма с основанием ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ и стр. 369 для обратных тригонометрических функций.
31. О правиле константы и правиле суммы см. Apostol 1967, стр. 161, 164 соответственно. О правиле произведения, правиле частного и правиле цепочки см. Varberg, Purcell & Rigdon 2007, стр. 111–112, 119 соответственно. О частном случае правила произведения, то есть произведения константы и функции, см. Varberg, Purcell & Rigdon 2007, стр. 108–109.
32. Апостол 1967, с. 160; Варберг, Перселл и Ригдон 2007, с. 125–126.
33. Уорнер 1983, стр. 5.
34. Дебнат и Шах 2015, стр. 40.
35. Карозерс 2000, стр. 176.
36. Стюарт 2002, стр. 193.
37. Стюарт 2002, стр. 893.
38. Стюарт 2002, стр. 947; Кристофер 2013, стр. 682.
39. Стюарт 2002, стр. 949.
40. Сильверман 1989, стр. 216; Бхардвадж 2005, см. стр. 6.4.
41. Матай и Хаубольд, 2017, с. 52.
42. Гбур 2011, стр. 36–37.
43. Варберг, Перселл и Ригдон 2007, стр. 642.
44. Гусман 2003, стр. 35.
45. Davvaz 2023, стр. 266.
46. Ли 2013, стр. 72.
47. Давваз 2023, стр. 267.
48. Руссос 2014, стр. 303.
49. Гбур 2011, стр. 261–264.
50. Грей, Аббена и Саламон 2006, с. 826.
51. Azegami 2020. См. стр. 209 для производной Гато и стр. 211 для производной Фреше.
52. Фунаро 1992, стр. 84–85.
53. Колчин 1973, стр. 58, 126.
54. Георгиев 2018, стр. 8.
55. Барбо 1961.

Ссылки

• Апостол, Том М. (июнь 1967 г.), Исчисление, т. 1: Однопеременное исчисление с введением в линейную алгебру , т. 1 (2-е изд.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Азегами, Хидеюки (2020), Проблемы оптимизации формы, Springer Optimization and Its Applications, т. 164, Springer, doi : 10.1007/978-981-15-7618-8, ISBN 978-981-15-7618-8, S2CID  226442409
• Банах, Стефан (1931), «Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen», Studia Math. , 3 (3): 174–179, doi : 10,4064/см-3-1-174-179 .
• Barbeau, EJ (1961). «Замечания об арифметической производной». Canadian Mathematical Bulletin . 4 (2): 117–122. doi : 10.4153/CMB-1961-013-0 . Zbl  0101.03702.
• Бхардвадж, Р.С. (2005), Математика для экономики и бизнеса (2-е изд.), Excel Books India, ISBN 9788174464507
• Каджори, Флориан (1923), «История обозначений исчисления», Annals of Mathematics , 25 (1): 1–46, doi : 10.2307/1967725, hdl : 2027/mdp.39015017345896 , JSTOR  1967725
• Каджори, Флориан (2007), История математических обозначений, т. 2, Cosimo Classics, ISBN 978-1-60206-713-4
• Карозерс, Н.Л. (2000), Реальный анализ , Cambridge University Press
• Choudary, ADR; Niculescu, Constantin P. (2014), Real Analysis on Intervals , Springer India, doi :10.1007/978-81-322-2148-7, ISBN 978-81-322-2148-7
• Кристофер, Эссекс (2013), Исчисление: полный курс , Пирсон, стр. 682, ISBN 9780321781079, OCLC  872345701
• Курант, Ричард ; Джон, Фриц (22 декабря 1998 г.), Введение в исчисление и анализ, т. 1 , Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4613-8955-2, ISBN 978-3-540-65058-4
• Дэвид, Клэр (2018), «Обход динамических систем: простой способ получить размерность графика функции Вейерштрасса», Труды Международного геометрического центра , 11 (2), Академия наук Украины: 53–68, arXiv : 1711.10349 , doi : 10.15673/tmgc.v11i2.1028
• Давваз, Биджан (2023), Векторы и функции нескольких переменных , Springer, doi :10.1007/978-981-99-2935-1, ISBN 978-981-99-2935-1, S2CID  259885793
• Дебнат, Локенат; Шах, Фирдоус Ахмад (2015), Вейвлет-преобразования и их применение (2-е изд.), Birkhäuser, doi :10.1007/978-0-8176-8418-1, ISBN 978-0-8176-8418-1
• Эванс, Лоуренс (1999), Уравнения с частными производными , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2
• Ивс, Говард (2 января 1990 г.), Введение в историю математики (6-е изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Фунаро, Даниэле (1992), Полиномиальная аппроксимация дифференциальных уравнений, Lecture Notes in Physics Monographs, т. 8, Springer, doi : 10.1007/978-3-540-46783-0, ISBN 978-3-540-46783-0
• Gbur, Greg (2011), Математические методы оптической физики и техники , Cambridge University Press, Bibcode : 2011mmop.book.....G, ISBN 978-1-139-49269-0
• Георгиев, Светлин Г. (2018), Дробное динамическое исчисление и дробные динамические уравнения на временных шкалах, Springer, doi :10.1007/978-3-319-73954-0, ISBN 978-3-319-73954-0
• Гудман, AW (1963), Аналитическая геометрия и исчисление, The MacMillan Company
• Гоник, Ларри (2012), Мультипликационное руководство по исчислению, Уильям Морроу, ISBN 978-0-06-168909-3
• Грей, Альфред; Аббена, Эльза; Саламон, Саймон (2006), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica, CRC Press, ISBN 978-1-58488-448-4
• Гусман, Альберто (2003), Производные и интегралы функций многих переменных, Springer, doi :10.1007/978-1-4612-0035-2, ISBN 978-1-4612-0035-2
• Хенле, Джеймс М.; Кляйнберг, Юджин М. (2003), Исчисление бесконечно малых , Dover Publications, ISBN 978-0-486-42886-4
• Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл Р. (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, Теорема 17.8, doi :10.1007/978-3-662-29794-0, ISBN 978-3-662-28275-5
• Яшек, Мартин (1922), «Funkce Bolzanova» (PDF) , Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (на чешском языке), 51 (2): 69–76, номер документа : 10.21136/CPMF.1922.121916
• Ярник, Войтех (1922), «O funkci Bolzanově» (PDF) , Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (на чешском языке), 51 (4): 248–264, номер документа : 10.21136/CPMF.1922.109021. Смотрите английскую версию здесь.
• Кейслер, Х. Джером (2012) [1986], Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых (2-е изд.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-871-50911-6
• Колчин, Эллис (1973), Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, Academic Press, ISBN 978-0-08-087369-5
• Крейциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Довер , ISBN 0-486-66721-9
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; Эдвардс, Брюс Х. (28 февраля 2006 г.), Исчисление: Ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Ли, Джон М. (2013), Введение в гладкие многообразия , Graduate Texts in Mathematics, т. 218, Springer, doi : 10.1007/978-0-387-21752-9, ISBN 978-0-387-21752-9
• Матай, AM; Хаубольд, HJ (2017), Дробное и многомерное исчисление: проблемы построения моделей и оптимизации, Springer, doi : 10.1007/978-3-319-59993-9, ISBN 978-3-319-59993-9
• Мур, Уилл Х.; Сигел, Дэвид А. (2013), Математический курс для политических и социальных исследований, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-15995-9
• Руссос, Иоаннис М. (2014), Неправильный интеграл Римана, CRC Press , ISBN 978-1-4665-8807-3
• Рыхлик, Карел (1923), Über eine Funktion aus Bolzanos Handschriftlichem Nachlasse
• Шварцман, Стивен (1994), Слова математики: Этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке, Математическая ассоциация Америки, ISBN 9781614445012
• Сильверман, Ричард А. (1989), Essential Calculus: With Applications , Courier Corporation, ISBN 9780486660974
• Стюарт, Джеймс (24 декабря 2002 г.), Calculus (5-е изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Стрэнг, Гилберт ; и др. (2023), Исчисление, том 1, OpenStax, ISBN 978-1-947172-13-5
• Томас, Джордж Б. младший ; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл (2014). Исчисление Томаса (PDF) (Тринадцатое изд.). Pearson PLC . ISBN 0-321-87896-5. Получено 9 сентября 2024 г. .
• Томпсон, Сильванус П. (8 сентября 1998 г.), Calculus Made Easy (пересмотренное, обновленное, расширенное издание), Нью-Йорк: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0
• Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007), Исчисление (9-е изд.), Пирсон Прентис Холл , ISBN 978-0131469686
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли, Springer, ISBN 978-0-387-90894-6

Внешние ссылки

• «Производная», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Khan Academy : «Ньютон, Лейбниц и Усэйн Болт»
• Вайсштейн, Эрик В. «Производная». MathWorld .
• Онлайн-калькулятор производных от Wolfram Alpha .