Дифференциальная алгебра

Алгебраическое исследование дифференциальных уравнений

В математике дифференциальная алгебра — это, в широком смысле , область математики, занимающаяся изучением дифференциальных уравнений и дифференциальных операторов как алгебраических объектов с целью вывода свойств дифференциальных уравнений и операторов без вычисления решений, подобно тому, как полиномиальные алгебры используются для изучения алгебраических многообразий , которые являются множествами решений систем полиномиальных уравнений . Алгебры Вейля и алгебры Ли можно рассматривать как принадлежащие к дифференциальной алгебре.

Более конкретно, дифференциальная алгебра относится к теории, введенной Джозефом Риттом в 1950 году, в которой дифференциальные кольца , дифференциальные поля и дифференциальные алгебры являются кольцами , полями и алгебрами, снабженными конечным числом дифференцирований . ^{[1] [2] [3]}

Естественным примером дифференциального поля является поле рациональных функций от одной переменной над комплексными числами , где вывод представляет собой дифференцирование по В более общем смысле каждое дифференциальное уравнение можно рассматривать как элемент дифференциальной алгебры над дифференциальным полем, порожденным (известными) функциями, входящими в уравнение. ${\displaystyle \mathbb {C} (t),}$ ${\displaystyle t.}$

История

Джозеф Ритт разработал дифференциальную алгебру, поскольку он считал попытки свести системы дифференциальных уравнений к различным каноническим формам неудовлетворительным подходом. Однако успех методов алгебраического исключения и теории алгебраических многообразий побудил Ритта рассмотреть аналогичный подход для дифференциальных уравнений. ^[4] Его усилия привели к первоначальной статье « Многообразия функций, определяемых системами алгебраических дифференциальных уравнений» и двум книгам: «Дифференциальные уравнения с алгебраической точки зрения» и «Дифференциальная алгебра» . ^{[5] [6] [2]} Эллис Колчин , ученик Ритта, развил эту область и опубликовал «Дифференциальную алгебру и алгебраические группы» . ^[1]

Дифференциальные кольца

Определение

Вывод на кольце — это функция такая, что и ${\textstyle \partial }$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle \partial :R\to R\,}$ $${\displaystyle \partial (r_{1}+r_{2})=\partial r_{1}+\partial r_{2}}$$

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})\quad }$( Правило произведения Лейбница ),

для каждого и в ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle R.}$

Вывод линеен по целым числам, поскольку эти тождества подразумевают и ${\displaystyle \partial (0)=\partial (1)=0}$ ${\displaystyle \partial (-r)=-\partial (r).}$

Дифференциальное кольцо — это коммутативное кольцо, снабженное одним или несколькими выводами, которые попарно коммутируют; то есть для каждой пары выводов и каждого ^[7] Когда имеется только один вывод, часто говорят об обычном дифференциальном кольце ; в противном случае говорят о частичном дифференциальном кольце. ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \partial _{1}(\partial _{2}(r))=\partial _{2}(\partial _{1}(r))}$$ ${\displaystyle r\in R.}$

Дифференциальное поле — это дифференцируемое кольцо, которое также является полем. Дифференциальная алгебра над дифференциальным полем — это дифференциальное кольцо, которое содержит в качестве подкольца такое, что ограничение на выводов равно выводам (ниже дано более общее определение, которое охватывает случай, когда не является полем, и по существу эквивалентно, когда является полем.) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Алгебра Витта — это дифференциальное кольцо, содержащее поле рациональных чисел. Эквивалентно, это дифференциальная алгебра над , поскольку может рассматриваться как дифференциальное поле, на котором каждое дифференцирование является нулевой функцией . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Константы дифференциального кольца — это элементы, такие , что для каждого вывода Константы дифференциального кольца образуют подкольцо , а константы дифференцируемого поля образуют подполе. ^[8] Это значение «константы» обобщает понятие постоянной функции и не должно путаться с общим значением константы . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \partial r=0}$ ${\displaystyle \partial .}$

Основные формулы

В следующих тождествах есть вывод дифференциального кольца ^[9 ] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R.}$

• Если и является константой в (то есть ), то ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta c=0}$ $${\displaystyle \delta (cr)=c\delta (r).}$$
• Если и является единицей , то ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R,}$ $${\displaystyle \delta \left({\frac {r}{u}}\right)={\frac {\delta (r)u-r\delta (u)}{u^{2}}}}$$
• Если — неотрицательное целое число, то ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\in R}$ $${\displaystyle \delta (r^{n})=nr^{n-1}\delta (r)}$$
• Если — единицы и — целые числа, то имеем логарифмическую производную : ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {\delta (u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}}\ldots u_{n}^{e_{n}}}}=e_{1}{\frac {\delta (u_{1})}{u_{1}}}+\dots +e_{n}{\frac {\delta (u_{n})}{u_{n}}}.}$$

Выводы более высокого порядка

Оператор вывода или вывод высшего порядка ^{[ требуется ссылка ]} — это композиция нескольких выводов. Поскольку вывод дифференциального кольца должен коммутировать, порядок выводов не имеет значения, и оператор вывода может быть записан как где — рассматриваемые вывода, — неотрицательные целые числа, а показатель степени вывода обозначает количество раз, которое этот вывод составлен в операторе. $${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}},}$$ ${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

Сумма называется порядком вывода. Если оператор вывода является одним из исходных выводов. Если , то имеем функцию тождества , которая обычно рассматривается как единственный оператор вывода нулевого порядка. При этих соглашениях операторы вывода образуют свободный коммутативный моноид на множестве рассматриваемых выводов. ${\displaystyle o=e_{1}+\cdots +e_{n}}$ ${\displaystyle o=1}$ ${\displaystyle o=0}$

Производная элемента дифференциального кольца — это применение оператора деривации к , то есть, с учетом приведенных выше обозначений, собственная производная — это производная положительного порядка. ^[7 ] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(x).}$

Дифференциальные идеалы

Дифференциальный идеал дифференциального кольца — это идеал кольца , который замкнут (устойчив) относительно выводов кольца; то есть для каждого вывода и каждого Дифференциальный идеал называется собственным , если он не является всем кольцом. Во избежание путаницы идеал, который не является дифференциальным идеалом, иногда называют алгебраическим идеалом . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\textstyle \partial x\in I,}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle x\in I.}$

Радикал дифференциального идеала совпадает с его радикалом как алгебраического идеала, то есть множеством элементов кольца, которые имеют степень в идеале. Радикал дифференциального идеала также является дифференциальным идеалом. Радикальный или совершенный дифференциальный идеал — это дифференциальный идеал, равный своему радикалу. ^[10] Простой дифференциальный идеал — это дифференциальный идеал, который является простым в обычном смысле; то есть, если произведение принадлежит идеалу, то по крайней мере один из множителей принадлежит идеалу. Простой дифференциальный идеал всегда является радикальным дифференциальным идеалом.

Открытие Ритта состоит в том, что, хотя классическая теория алгебраических идеалов не применима к дифференциальным идеалам, большую ее часть можно распространить на радикальные дифференциальные идеалы, и это делает их основополагающими в дифференциальной алгебре.

Пересечение любого семейства дифференциальных идеалов является дифференциальным идеалом, а пересечение любого семейства радикальных дифференциальных идеалов является радикальным дифференциальным идеалом. ^[11] Из этого следует, что для заданного подмножества дифференциального кольца существуют три идеала, порожденных им, которые являются пересечениями соответственно всех алгебраических идеалов, всех дифференциальных идеалов и всех радикальных дифференциальных идеалов, которые его содержат. ^{[11] [12]} ${\displaystyle S}$

Алгебраический идеал, порожденный множеством конечных линейных комбинаций элементов и обычно обозначается как или ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle \langle S\rangle .}$

Дифференциальный идеал, порождённый множеством, представляет собой множество конечных линейных комбинаций элементов и производных любого порядка этих элементов; его обычно обозначают как Если является конечным, то, как правило, не является конечно порождённым как алгебраический идеал. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S].}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S]}$

Радикальный дифференциальный идеал, порожденный , обычно обозначается как Не существует известного способа охарактеризовать его элемент таким же образом, как в двух других случаях. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{S\}.}$

Дифференциальные полиномы

Дифференциальный многочлен над дифференциальным полем — это формализация понятия дифференциального уравнения , при которой известные функции, входящие в уравнение, принадлежат , а неизвестные являются символами неизвестных функций. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$

Итак, пусть будет дифференциальным полем, которое обычно (но не обязательно) является полем рациональных дробей (дробей многомерных многочленов), снабженным производными такими, что и если (обычные частные производные). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(X)=K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle \partial _{i}x_{i}=1}$ ${\displaystyle \partial _{i}x_{j}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Для определения кольца дифференциальных многочленов над с неизвестными в с выводами вводится бесконечность новых неизвестных вида где - любой оператор вывода порядка выше 1. При таком обозначении - множество многочленов от всех этих неизвестных с естественными выводами (каждый многочлен включает в себя только конечное число неизвестных). В частности, если иметь ${\textstyle K\{Y\}=K\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y=\{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$ ${\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n},}$ ${\displaystyle \Delta y_{i},}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle K\{Y\}}$ ${\displaystyle n=1,}$

${\displaystyle K\{y\}=K\left[y,\partial y,\partial ^{2}y,\partial ^{3}y,\ldots \right].}$

Даже когда кольцо дифференциальных многочленов не является нётеровым . Это делает теорию этого обобщения многочленных колец сложной. Однако два факта допускают такое обобщение. ${\displaystyle n=1,}$

Во-первых, конечное число дифференциальных многочленов включает в себя конечное число неопределенных. Из этого следует, что каждое свойство многочленов, которое включает в себя конечное число многочленов, остается верным для дифференциальных многочленов. В частности, существуют наибольшие общие делители , а кольцо дифференциальных многочленов является уникальной областью факторизации .

Второй факт заключается в том, что если поле содержит поле рациональных чисел, то кольца дифференциальных многочленов удовлетворяют условию возрастающей цепи на радикальных дифференциальных идеалах. Эта теорема Ритта следует из ее обобщения, иногда называемого теоремой о базисе Ритта-Рауденбуша , которая утверждает, что если является алгеброй Ритта (то есть является дифференциальным кольцом, содержащим поле рациональных чисел), ^[13] , удовлетворяющей условию возрастающей цепи на радикальных дифференциальных идеалах, то кольцо дифференциальных многочленов удовлетворяет тому же свойству (переход от одномерного к многомерному случаю осуществляется итеративным применением теоремы). ^{[14] [15]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\{y\}}$

Это нётеровское свойство подразумевает, что в кольце дифференциальных многочленов каждый радикальный дифференциальный идеал I конечно порожден как радикальный дифференциальный идеал; это означает, что существует конечное множество S дифференциальных многочленов, такое что I является наименьшим радикальным дифференциальным идеалом, содержащим S . ^[16] Это позволяет представлять радикальный дифференциальный идеал таким конечным множеством образующих и выполнять вычисления с этими идеалами. Однако некоторые обычные вычисления алгебраического случая не могут быть расширены. В частности, не известен ни один алгоритм для проверки принадлежности элемента радикальному дифференциальному идеалу или равенства двух радикальных дифференциальных идеалов.

Другим следствием свойства нётеровости является то, что радикальный дифференциальный идеал может быть однозначно выражен как пересечение конечного числа простых дифференциальных идеалов, называемых существенными простыми компонентами идеала. ^[17]

Методы исключения

Методы исключения — это алгоритмы, которые предпочтительно исключают указанный набор производных из набора дифференциальных уравнений, что обычно делается для лучшего понимания и решения наборов дифференциальных уравнений.

Категории методов исключения включают в себя методы характеристических наборов , методы дифференциальных базисов Грёбнера и методы, основанные на результирующих . ^{[1] [18] [19] [20] [21] [22] [23]}

К общим операциям, используемым в алгоритмах исключения, относятся: 1) ранжирование производных, многочленов и наборов многочленов, 2) определение ведущей производной многочлена, начальной и разделительной функций, 3) редукция многочлена и 4) создание специальных наборов многочленов.

Ранжирование производных инструментов

Ранжирование производных инструментов представляет собой общий порядок и допустимый порядок , определяемый как: ^{[24] [25] [26]}

${\textstyle \forall p\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :\theta _{\mu }p>p.}$

${\textstyle \forall p,q\in \Theta Y,\ \forall \theta _{\mu }\in \Theta :p\geq q\Rightarrow \theta _{\mu }p\geq \theta _{\mu }q.}$

Каждая производная имеет целочисленный кортеж, а порядок монома ранжирует производную, ранжируя целочисленный кортеж производной. Целочисленный кортеж определяет дифференциальную неопределенность, мультииндекс производной и может определять порядок производной. Типы ранжирования включают: ^[27]

• Порядковый рейтинг : ${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \ :\ \operatorname {ord} (\theta _{\mu })\geq \operatorname {ord} (\theta _{\nu })\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}$
• Рейтинг выбываний : ${\displaystyle \forall y_{i},y_{j}\in Y,\ \forall \theta _{\mu },\theta _{\nu }\in \Theta \ :\ y_{i}\geq y_{j}\Rightarrow \theta _{\mu }y_{i}\geq \theta _{\nu }y_{j}}$

В этом примере целочисленный кортеж идентифицирует дифференциальную неопределенность и мультииндекс производной, а лексикографический порядок монома , , определяет ранг производной. ^[28] ${\textstyle \geq _{\text{lex}}}$

${\displaystyle \eta (\delta _{1}^{e_{1}}\circ \cdots \circ \delta _{n}^{e_{n}}(y_{j}))=(j,e_{1},\ldots ,e_{n})}$.

${\displaystyle \eta (\theta _{\mu }y_{j})\geq _{\text{lex}}\eta (\theta _{\nu }y_{k})\Rightarrow \theta _{\mu }y_{j}\geq \theta _{\nu }y_{k}.}$

Ведущая производная, начальная и разделительная

Это стандартная полиномиальная форма: . ^{[24] [28]} ${\displaystyle p=a_{d}\cdot u_{p}^{d}+a_{d-1}\cdot u_{p}^{d-1}+\cdots +a_{1}\cdot u_{p}+a_{0}}$

• Лидер или ведущая производная — это производная полинома с наивысшим рангом: . ${\displaystyle u_{p}}$
• Коэффициенты не содержат ведущую производную . ${\displaystyle a_{d},\ldots ,a_{0}}$ ${\textstyle u_{p}}$
• Степень многочлена — это наибольший показатель ведущей производной:. ${\displaystyle \deg _{u_{p}}(p)=d}$
• Начальным является коэффициент: . ${\displaystyle I_{p}=a_{d}}$
• Ранг — это старшая производная, возведенная в степень многочлена: . ${\displaystyle u_{p}^{d}}$
• Сепарант — производная:. ${\displaystyle S_{p}={\frac {\partial p}{\partial u_{p}}}}$

Разделяющий набор — это , начальный набор — это и объединенный набор — это . ^[29] ${\displaystyle S_{A}=\{S_{p}\mid p\in A\}}$ ${\displaystyle I_{A}=\{I_{p}\mid p\in A\}}$ ${\textstyle H_{A}=S_{A}\cup I_{A}}$

Снижение

Частично приведенный ( частичная нормальная форма ) полином относительно полинома указывает, что эти полиномы не являются элементами основного поля, и не содержат собственной производной от . ^{[30] [31] [29]} ${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle p,q\in {\mathcal {K}}\{Y\}\setminus {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle u_{p}}$

Частично приведенный полином относительно полинома становится приведенным ( нормальной формы ) полиномом относительно , ​​если степень в меньше степени в . ^{[30] [31] [29]} ${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle u_{p}}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle u_{p}}$ ${\textstyle p}$

В авторедуцированном наборе полиномов каждый полином редуцирован относительно любого другого полинома набора. Каждый авторедуцированный набор конечен. Авторедуцированный набор треугольный , что означает, что каждый элемент полинома имеет отдельную ведущую производную. ^{[32] [30]}

Алгоритм редукции Ритта идентифицирует целые числа и преобразует дифференциальный полином с помощью псевдоделения в полином остатка с меньшим или равным рангом , который редуцирован относительно набора авторедуцированных полиномов . Первый шаг алгоритма частично редуцирует входной полином, а второй шаг алгоритма полностью редуцирует полином. Формула для редукции: ^[30] ${\textstyle i_{A_{k}},s_{A_{k}}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f_{red}}$ ${\textstyle A}$

${\displaystyle f_{\text{red}}\equiv \prod _{A_{k}\in A}I_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot S_{A_{k}}^{i_{A_{k}}}\cdot f,{\pmod {[A]}}{\text{ with }}i_{A_{k}},s_{A_{k}}\in \mathbb {N} .}$

Ранжирование полиномиальных множеств

Набор является дифференциальной цепочкой , если ранг ведущих производных равен и уменьшается относительно ^[33] ${\textstyle A}$ ${\textstyle u_{A_{1}}<\dots <u_{A_{m}}}$ ${\textstyle \forall i,\ A_{i}}$ ${\textstyle A_{i+1}}$

Авторедуцируемые наборы и каждый содержит ранжированные полиномиальные элементы. Эта процедура ранжирует два авторедуцируемых набора, сравнивая пары одинаково индексированных полиномов из обоих авторедуцируемых наборов. ^[34] ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$

• ${\displaystyle A_{1}<\cdots <A_{m}\in A}$и и . ${\displaystyle B_{1}<\cdots <B_{n}\in B}$ ${\displaystyle i,j,k\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle {\text{rank }}A<{\text{rank }}B}$если существует такое , что для и . ${\displaystyle k\leq \operatorname {minimum} (m,n)}$ ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ ${\textstyle 1\leq i<k}$ ${\displaystyle A_{k}<B_{k}}$
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A<\operatorname {rank} B}$если и для . ${\displaystyle n<m}$ ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$
• ${\displaystyle \operatorname {rank} A=\operatorname {rank} B}$если и для . ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle A_{i}=B_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

Полиномиальные множества

Характеристическое множество — это авторедуцированное подмножество с самым низким рангом среди всех авторедуцированных подмножеств идеала, полиномиальные сепараторы подмножества которого не являются членами идеала . ^[35] ${\textstyle C}$ ${\textstyle {\mathcal {I}}}$

Дельта -полином применяется к паре полиномов, лидеры которых имеют общую производную, . Наименее общий оператор производной для ведущих производных пары полиномов — , а дельта-полином — это: ^{[36] [37]} ${\textstyle p,q}$ ${\textstyle \theta _{\alpha }u_{p}=\theta _{\beta }u_{q}}$ ${\textstyle \theta _{pq}}$

${\displaystyle \operatorname {\Delta -poly} (p,q)=S_{q}\cdot {\frac {\theta _{pq}p}{\theta _{p}}}-S_{p}\cdot {\frac {\theta _{pq}q}{\theta _{q}}}}$

Когерентный набор — это многочленный набор, который сводит свои пары дельта-полиномов к нулю. ^{[36] [37]}

Регулярная система и регулярный идеал

Регулярная система содержит авторедуцированный и согласованный набор дифференциальных уравнений и набор неравенств с набором, редуцированным относительно набора уравнений. ^[37] ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle H_{\Omega }\supseteq H_{A}}$ ${\textstyle H_{\Omega }}$

Регулярный дифференциальный идеал и регулярный алгебраический идеал являются идеалами насыщения , которые возникают из регулярной системы. ^[37] Лемма Лазара утверждает, что регулярный дифференциальный и регулярный алгебраический идеалы являются радикальными идеалами. ^[38] ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}}$ ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}}$

• Регулярный дифференциальный идеал : ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{dif}}=[A]:H_{\Omega }^{\infty }.}$
• Регулярный алгебраический идеал : ${\textstyle {\mathcal {I}}_{\text{alg}}=(A):H_{\Omega }^{\infty }.}$

Алгоритм Розенфельда–Грёбнера

Алгоритм Розенфельда–Грёбнера разлагает радикальный дифференциальный идеал как конечное пересечение регулярных радикальных дифференциальных идеалов. Эти регулярные дифференциальные радикальные идеалы, представленные характеристическими множествами, не обязательно являются простыми идеалами, а представление не обязательно минимально . ^[39]

Проблема принадлежности заключается в определении того, является ли дифференциальный многочлен членом идеала, сгенерированного из набора дифференциальных многочленов . Алгоритм Розенфельда–Грёбнера генерирует наборы базисов Грёбнера. Алгоритм определяет, что многочлен является членом идеала тогда и только тогда, когда частично приведенный остаточный многочлен является членом алгебраического идеала, сгенерированного базисами Грёбнера. ^[40] ${\textstyle p}$ ${\textstyle S}$

Алгоритм Розенфельда–Грёбнера облегчает создание разложений в ряд Тейлора решений дифференциальных уравнений. ^[41]

Примеры

Дифференциальные поля

Пример 1: представляет собой поле дифференциальных мероморфных функций с одним стандартным выводом . ${\textstyle (\operatorname {Mer} (\operatorname {f} (y),\partial _{y}))}$

Пример 2: представляет собой дифференциальное поле с линейным дифференциальным оператором в качестве производной для любого полинома . ${\textstyle (\mathbb {C} \{y\},p(y)\cdot \partial _{y})}$ ${\displaystyle p(y)}$

Вывод

Определить как оператор сдвига для полинома . ${\textstyle E^{a}(p(y))=p(y+a)}$ ${\textstyle E^{a}}$ ${\textstyle p(y)}$

Оператор, инвариантный относительно сдвига, коммутирует с оператором сдвига: . ${\textstyle T}$ ${\textstyle E^{a}\circ T=T\circ E^{a}}$

Производная Пинчерле , вывод инвариантного к сдвигу оператора , равна . ^[42] ${\textstyle T}$ ${\textstyle T^{\prime }=T\circ y-y\circ T}$

Константы

Кольцо целых чисел — это , и каждое целое число является константой. ${\displaystyle (\mathbb {Z} .\delta )}$

• Вывод 1 равен нулю . ${\textstyle \delta (1)=\delta (1\cdot 1)=\delta (1)\cdot 1+1\cdot \delta (1)=2\cdot \delta (1)\Rightarrow \delta (1)=0}$
• Также, . ${\displaystyle \delta (m+1)=\delta (m)+\delta (1)=\delta (m)\Rightarrow \delta (m+1)=\delta (m)}$
• По индукции, . ${\displaystyle \delta (1)=0\ \wedge \ \delta (m+1)=\delta (m)\Rightarrow \forall \ m\in \mathbb {Z} ,\ \delta (m)=0}$

Поле рациональных чисел — это , и каждое рациональное число является константой. ${\displaystyle (\mathbb {Q} .\delta )}$

• Каждое рациональное число является частным от деления целых чисел.

  ${\displaystyle \forall r\in \mathbb {Q} ,\ \exists \ a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z} /\{0\},\ r={\frac {a}{b}}}$

• Применим формулу вывода для частных, учитывая, что вывод целых чисел равен нулю:

  ${\displaystyle \delta (r)=\delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {\delta (a)\cdot b-a\cdot \delta (b)}{b^{2}}}=0}$.

Дифференциальное подкольцо

Константы образуют подкольцо констант . ^[43] ${\textstyle (\mathbb {C} ,\partial _{y})\subset (\mathbb {C} \{y\},\partial _{y})}$

Дифференциальный идеал

Элемент просто порождает дифференциальный идеал в дифференциальном кольце . ^[44] ${\textstyle \exp(y)}$ ${\textstyle [\exp(y)]}$ ${\textstyle (\mathbb {C} \{y,\exp(y)\},\partial _{y})}$

Алгебра над дифференциальным кольцом

Любое кольцо с единицей является алгеброй . ^[45] Таким образом, дифференциальное кольцо является алгеброй . ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$ ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {Z}}-} }$

Если кольцо является подкольцом центра унитального кольца , то является алгеброй. ^[45] Таким образом, дифференциальное кольцо является алгеброй над своим дифференциальным подкольцом. Это естественная структура алгебры над своим подкольцом. ^[30] ${\textstyle {\mathcal {R}}}$ ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ ${\textstyle \operatorname {{\mathcal {R}}-} }$

Специальные и нормальные многочлены

Кольцо имеет неприводимые многочлены (нормальные, бесквадратные) и (специальные, идеальные генераторы). ${\textstyle (\mathbb {Q} \{y,z\},\partial _{y})}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$

${\textstyle \partial _{y}(y)=1,\ \partial _{y}(z)=1+z^{2},\ z=\tan(y)}$

${\textstyle p(y)=1+y^{2},\ \partial _{y}(p)=2\cdot y,\ \gcd(p,\partial _{y}(p))=1}$

${\textstyle q(z)=1+z^{2},\ \partial _{y}(q)=2\cdot z\cdot (1+z^{2}),\ \gcd(q,\partial _{y}(q))=q}$

Полиномы

Рейтинг

Кольцо имеет производные и ${\textstyle (\mathbb {Q} \{y_{1},y_{2}\},\delta )}$ ${\textstyle \delta (y_{1})=y_{1}^{\prime }}$ ${\textstyle \delta (y_{2})=y_{2}^{\prime }}$

• Сопоставьте каждую производную с целочисленным кортежем: . ${\textstyle \eta (\delta ^{(i_{2})}(y_{i_{1}}))=(i_{1},i_{2})}$
• Производные ранга и целочисленные кортежи: . ${\textstyle y_{2}^{\prime \prime }\ (2,2)>y_{2}^{\prime }\ (2,1)>y_{2}\ (2,0)>y_{1}^{\prime \prime }\ (1,2)>y_{1}^{\prime }\ (1,1)>y_{1}\ (1,0)}$

Ведущая производная и начальная

Ведущие производные и инициалы :

${\textstyle p={\color {Blue}(y_{1}+y_{1}^{\prime })}\cdot ({\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }})^{2}+3\cdot y_{1}^{2}\cdot {\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }}+(y_{1}^{\prime })^{2}}$

${\textstyle q={\color {Blue}(y_{1}+3\cdot y_{1}^{\prime })}\cdot {\color {Red}y_{2}^{\prime \prime }}+y_{1}\cdot y_{2}^{\prime }+(y_{1}^{\prime })^{2}}$

${\textstyle r={\color {Blue}(y_{1}+3)}\cdot ({\color {Red}y_{1}^{\prime \prime }})^{2}+y_{1}^{2}\cdot {\color {Red}y_{1}^{\prime \prime }}+2\cdot y_{1}}$

Разделители

${\textstyle S_{p}=2\cdot (y_{1}+y_{1}^{\prime })\cdot y_{2}^{\prime \prime }+3\cdot y_{1}^{2}}$.

${\textstyle S_{q}=y_{1}+3\cdot y_{1}^{\prime }}$

${\textstyle S_{r}=2\cdot (y_{1}+3)\cdot y_{1}^{\prime \prime }+y_{1}^{2}}$

Авторедуцируемые наборы

• Авторедуцированные множества — это и . Каждое множество треугольное с отдельной полиномиальной ведущей производной. ${\textstyle \{p,r\}}$ ${\textstyle \{q,r\}}$
• Неавторедуцированный набор содержит только частично редуцированные по отношению ; этот набор нетреугольный, поскольку многочлены имеют одинаковую старшую производную. ${\textstyle \{p,q\}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle q}$

Приложения

Символическая интеграция

Символическая интеграция использует алгоритмы, включающие полиномы и их производные, такие как редукция Эрмита, алгоритм Чиховского, алгоритм Лазара-Риобу-Трагера, алгоритм Горовица-Остроградского, факторизация без квадратов и факторизация с расщеплением на специальные и нормальные полиномы. ^[46]

Дифференциальные уравнения

Дифференциальная алгебра может определить, имеет ли набор дифференциальных полиномиальных уравнений решение. Ранжирование общего порядка может определить алгебраические ограничения. Ранжирование исключения может определить, может ли одна или выбранная группа независимых переменных выразить дифференциальные уравнения. Используя треугольное разложение и порядок исключения, может быть возможно решить дифференциальные уравнения по одному дифференциальному неопределенному элементу за раз пошаговым методом. Другой подход заключается в создании класса дифференциальных уравнений с известной формой решения; сопоставление дифференциального уравнения с его классом определяет решение уравнения. Существуют методы, облегчающие численное интегрирование дифференциально -алгебраической системы уравнений. ^[47]

При изучении нелинейных динамических систем с хаосом исследователи использовали дифференциальное исключение для сведения дифференциальных уравнений к обычным дифференциальным уравнениям, включающим одну переменную состояния. В большинстве случаев они были успешными, и это способствовало разработке приближенных решений, эффективной оценке хаоса и построению функций Ляпунова . ^[48] Исследователи применили дифференциальное исключение для понимания клеточной биологии , компартментальных биохимических моделей , оценки параметров и приближения квазистационарного состояния (QSSA) для биохимических реакций. ^{[49] [50]} Используя дифференциальные базисы Грёбнера, исследователи исследовали неклассические свойства симметрии нелинейных дифференциальных уравнений . ^[51] Другие приложения включают теорию управления, теорию моделей и алгебраическую геометрию. ^{[52] [16] [53]} Дифференциальная алгебра также применяется к дифференциально-разностным уравнениям. ^[54]

Алгебры с выводами

Дифференциальное градуированное векторное пространство

Векторные пространства — это набор векторных пространств с целой степенью для . Прямая сумма может представлять это градуированное векторное пространство: ^[55] ${\textstyle \operatorname {\mathbb {Z} -graded} }$ ${\textstyle V_{\bullet }}$ ${\textstyle V_{m}}$ ${\textstyle |v|=m}$ ${\textstyle v\in V_{m}}$

${\displaystyle V_{\bullet }=\bigoplus _{m\in \mathbb {Z} }V_{m}}$

Дифференциальное градуированное векторное пространство или цепной комплекс — это градуированное векторное пространство с дифференциальным отображением или граничным отображением с . ^[56] ${\textstyle V_{\bullet }}$ ${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m-1}}$ ${\displaystyle d_{m}\circ d_{m+1}=0}$

Коцепной комплекс — это градуированное векторное пространство с дифференциальным отображением или кограничным отображением с . ^[56] ${\textstyle V^{\bullet }}$ ${\textstyle d_{m}:V_{m}\to V_{m+1}}$ ${\displaystyle d_{m+1}\circ d_{m}=0}$

Дифференциальная градуированная алгебра

Дифференциальная градуированная алгебра — это градуированная алгебра с линейным выводом , которая следует правилу градуированного произведения Лейбница. ^[57] ${\textstyle A}$ ${\textstyle d:A\to A}$ ${\displaystyle d\circ d=0}$

• Правило градуированного произведения Лейбница: со степенью вектора . ${\displaystyle \forall a,b\in A,\ d(a\cdot b)=d(a)\cdot b+(-1)^{|a|}\cdot a\cdot d(b)}$ ${\displaystyle |a|}$ ${\displaystyle a}$

алгебра Ли

Алгебра Ли — это конечномерное действительное или комплексное векторное пространство с оператором билинейной скобки с косой симметрией и свойством тождества Якоби . ^[58] ${\textstyle {\mathcal {g}}}$ ${\textstyle [,]:{\mathcal {g}}\times {\mathcal {g}}\to {\mathcal {g}}}$

• Косая симметрия: ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$
• Свойство тождества Якоби: ${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0}$

для всех . ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {g}}}$

Сопряженный оператор является выводом скобки , поскольку эффект сопряжения на операцию бинарной скобки аналогичен эффекту вывода на операцию бинарного произведения. Это внутренний вывод, определяемый . ^{[59] [60} ] ${\textstyle \operatorname {ad_{X}} (Y)=[Y,X]}$ ${\textstyle X}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}([Y,Z])=[\operatorname {ad} _{X}(Y),Z]+[Y,\operatorname {ad} _{X}(Z)]}$

Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли — это максимальная ассоциативная алгебра с тождеством, порожденная элементами алгебры Ли и содержащая произведения, определяемые скобочной операцией. Максимальность означает, что линейный гомоморфизм отображает универсальную алгебру в любую другую алгебру, которая в противном случае имеет эти свойства. Сопряженный оператор — это вывод, следующий правилу произведения Лейбница. ^[61] ${\textstyle U({\mathcal {g}})}$ ${\textstyle {\mathcal {g}}}$ ${\textstyle {\mathcal {g}}}$

• Продукт в  : ${\displaystyle U({\mathcal {g}})}$ ${\displaystyle X\cdot Y-Y\cdot X=[X,Y]}$
• Правило произведения Лейбница: ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y\cdot Z)=\operatorname {ad} _{X}(Y)\cdot Z+Y\cdot \operatorname {ad} _{X}(Z)}$

для всех . ${\displaystyle X,Y,Z\in U({\mathcal {g}})}$

алгебра Вейля

Алгебра Вейля — это алгебра над кольцом с определенным некоммутативным произведением: ^[62] ${\textstyle A_{n}(K)}$ ${\textstyle K[p_{1},q_{1},\dots ,p_{n},q_{n}]}$

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{i}-q_{i}\cdot p_{i}=1,\ :\ i\in \{1,\dots ,n\}}$.

Все остальные неопределенные произведения коммутативны для : ${\textstyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle p_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot p_{i}=0{\text{ if }}i\neq j,\ p_{i}\cdot p_{j}-p_{j}\cdot p_{i}=0,\ q_{i}\cdot q_{j}-q_{j}\cdot q_{i}=0}$.

Алгебра Вейля может представлять деривации для полиномов коммутативного кольца . Элементы алгебры Вейля являются эндоморфизмами , элементы функционируют как стандартные деривации, а композиции отображений генерируют линейные дифференциальные операторы . D-модуль — это связанный подход для понимания дифференциальных операторов. Эндоморфизмы: ^[62] ${\textstyle f\in K[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$ ${\textstyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$

${\displaystyle q_{j}(y_{k})=y_{j}\cdot y_{k},\ q_{j}(c)=c\cdot y_{j}{\text{ with }}c\in K,\ p_{j}(y_{j})=1,\ p_{j}(y_{k})=0{\text{ if }}j\neq k,\ p_{j}(c)=0{\text{ with }}c\in K}$

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Ассоциативное, возможно некоммутативное кольцо имеет производную . ^[63] ${\textstyle A}$ ${\textstyle d:A\to A}$

Кольцо псевдодифференциальных операторов представляет собой левое кольцо, содержащее элементы кольца : ^{[63] [64] [65]} ${\textstyle A((\partial ^{-1}))}$ ${\textstyle \operatorname {A-module} }$ ${\textstyle L}$

${\displaystyle a_{i}\in A,\ i,i_{\min }\in \mathbb {N} ,\ |i_{\min }|>0\ :\ L=\sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}}$

Оператор производной — . ^[63] ${\textstyle d(a)=\partial \circ a-a\circ \partial }$

Биномиальный коэффициент равен . ${\displaystyle {\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}}$

Псевдодифференциальный оператор умножения: ^[63]

${\displaystyle \sum _{i\geq i_{\min }}^{n}a_{i}\cdot \partial ^{i}\cdot \sum _{j\geq j_{\min }}^{m}b_{i}\cdot \partial ^{j}=\sum _{i,j;k\geq 0}{\Bigl (}{i \atop k}{\Bigr )}\cdot a_{i}\cdot d^{k}(b_{j})\cdot \partial ^{i+j-k}}$

Открытые проблемы

Проблема Ритта заключается в том, существует ли алгоритм, который определяет, содержит ли один простой дифференциальный идеал второй простой дифференциальный идеал, когда характеристические множества идентифицируют оба идеала. ^[66]

Гипотеза Колчина о цепной линии утверждает , что для заданного размерного неприводимого дифференциально-алгебраического многообразия и произвольной точки длинная цепочка неприводимых дифференциально-алгебраических подмногообразий возникает из в V. ^[67] ${\textstyle d>0}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle p\in V}$ ${\textstyle p}$

Гипотеза границы Якоби касается верхней границы порядка неприводимого компонента дифференциального многообразия. Порядки многочлена определяют число Якоби, а гипотеза заключается в том, что число Якоби определяет эту границу. ^[68]

Смотрите также

• Арифметическая производная  – функция, определенная для целых чисел в теории чисел.
• Разностная алгебра
• Дифференциальная алгебраическая геометрия
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами  – часть коммутативной алгебрыPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Дифференциальная теория Галуа  – изучение групп симметрии Галуа дифференциальных полей
• Дифференциально замкнутое поле
• Дифференциальная градуированная алгебра  – Алгебраическая структура в гомологической алгебре
• D-модуль  – модуль над пучком дифференциальных операторовPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Поле Харди  – Математическая концепция
• Дифференциал Кэлера  – Дифференциальная форма в коммутативной алгебре
• Теорема Лиувилля (дифференциальная алгебра)  – утверждает, когда первообразные элементарных функций могут быть выражены через элементарные функции.
• Теория Пикара–Вессио  – изучение расширений дифференциальных полей, индуцированных линейными дифференциальными уравнениями
• Проблемы Колчина

Цитаты

1. Колчин 1973
2. Ritt 1950
3. Капланский 1976
4. Ритт 1932, стр. iii–iv
5. Ритт 1930
6. Ритт 1932
7. Колчин 1973, стр. 58–59.
8. Колчин 1973, стр. 58–60.
9. Бронштейн 2005, стр. 76
10. Sit 2002, стр. 3–4.
11. Колчин 1973, стр. 61–62.
12. Бьюм 1994, стр. 21
13. Капланский 1976, стр. 12
14. Капланский 1976, стр. 45, 48, 56–57.
15. Колчин 1973, стр. 126–129.
16. Маркер 2000
17. Хьюберт 2002, стр. 8
18. Ли и Юань 2019
19. Булье и др. 1995
20. Мэнсфилд 1991
21. Ферро 2005
22. Шарден 1991
23. Ву 2005б
24. Колчин 1973, стр. 75–76.
25. Гао и др. 2009, стр. 1141
26. Хьюберт 2002, стр. 10
27. Ферро и Гердт 2003, стр. 83
28. Wu 2005a, стр. 4
29. Boulier et al. 1995, с. 159
30. Колчин 1973, стр. 75
31. Ferro & Gerdt 2003, стр. 84
32. Sit 2002, стр. 6
33. Ли и Юань 2019, стр. 294
34. Колчин 1973, стр. 81
35. Колчин 1973, стр. 82
36. Колчин 1973, стр. 136
37. Boulier et al. 1995, с. 160
38. Моррисон 1999
39. Булье и др. 1995, стр. 158
40. Булье и др. 1995, стр. 164
41. Булье и др. 2009b
42. Рота, Каханер и Одлыжко 1973, стр. 694
43. Колчин 1973, стр. 60
44. Sit 2002, стр. 4
45. Dummit & Foote 2004, стр. 343
46. Бронштейн 2005, стр. 41, 51, 53, 102, 299, 309
47. Хьюберт 2002, стр. 41–47
48. Харрингтон и ВанГордер 2017
49. Булье 2007
50. Булье и Лемэр 2009a
51. Кларксон и Мэнсфилд 1994
52. Диоп 1992
53. Буйум 1994
54. Гао и др. 2009
55. Келлер 2019, стр. 48
56. Keller 2019, стр. 50–51
57. Келлер 2019, стр. 58–59
58. Холл 2015, стр. 49
59. Холл 2015, стр. 51
60. Якобсон 1979, стр. 9
61. Холл 2015, стр. 247
62. Lam 1991, стр. 7–8
63. Паршин 1999, стр. 268
64. Даммит и Фут 2004, стр. 337
65. Тейлор 1991
66. Голубицкий, Кондратьева и Овчинников, 2009 г.
67. Фрайтаг, Санчес и Симмонс, 2016 г.
68. Ландо 1970

Ссылки

• Булье, Франсуа; Лазар, Даниэль; Оливье, Франсуа; Петито, Мишель (1995). «Представление радикала конечно порожденного дифференциального идеала». Труды международного симпозиума 1995 года по символическим и алгебраическим вычислениям – ISSAC '95 (PDF) . стр. 158–166. doi :10.1145/220346.220367. ISBN 0897916999. S2CID  11059042.
• Булье, Франсуа (31 декабря 2007 г.). «Дифференциальное исключение и биологическое моделирование». Gröbner Bases in Symbolic Analysis . 2 : 109–138. doi :10.1515/9783110922752.109. ISBN 978-3-11-019323-7. S2CID  61916692.
• Булье, Франсуа; Лемэр, Франсуа (2009a). «Дифференциальная алгебра и методы QSSA в биохимии». Тома трудов МФБ . 42 (10): 33–38. doi : 10.3182/20090706-3-FR-2004.00004.
• Булье, Франсуа; Лазар, Даниэль; Оливье, Франсуа; Петито, Мишель (апрель 2009b). «Вычислительные представления радикалов конечно порожденных дифференциальных идеалов». Прикладная алгебра в инженерии, коммуникациях и вычислениях . 20 (1): 73–121. doi :10.1007/s00200-009-0091-7. S2CID  5482290.
• Бронштейн, Мануэль (2005). Символическое интегрирование I: трансцендентные функции. Алгоритмы и вычисления в математике. Т. 1 (2-е изд.). Берлин: Springer. doi :10.1007/b138171. ISBN 3-540-21493-3.
• Буйум, Александру (1994). Дифференциальная алгебра и диофантова геометрия. Герман. ISBN 978-2-7056-6226-4.
• Chardin, Marc (1991). «Дифференциальные результанты и субрезультанты». В Budach, L. (ред.). Основы теории вычислений. FCT 1991. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 529. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 180–189. doi :10.1007/3-540-54458-5_62. ISBN 978-3-540-38391-8.
• Кларксон, Питер А.; Мэнсфилд, Элизабет Л. (январь 1994 г.). «Редукции симметрии и точные решения класса нелинейных уравнений теплопроводности». Physica D: Nonlinear Phenomena . 70 (3): 250–288. arXiv : solv-int/9306002 . Bibcode :1994PhyD...70..250C. doi :10.1016/0167-2789(94)90017-5. S2CID  16858637.
• Креспо, Тереза; Хайто, Збигнев (2011). Алгебраические группы и дифференциальная теория Галуа. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5318-4.
• Диоп, Сетте (май 1992 г.). «Дифференциально-алгебраические методы принятия решений и некоторые приложения к теории систем» (PDF) . Теоретическая информатика . 98 (1): 137–161. doi :10.1016/0304-3975(92)90384-R.
• Даммит, Дэвид Стивен; Фут, Ричард Мартин (2004). Абстрактная алгебра (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
• Ферро, Джузеппа Карра; Гердт, вице-президент (2003). «Улучшенный алгоритм Колчина – Ритта». Программирование и компьютерное программное обеспечение . 29 (2): 83–87. дои : 10.1023/А: 1022996615890. S2CID  26280002.
• Ferro, Giuseppa Carrá (2005). "Обобщенные дифференциальные результирующие системы алгебраических ОДУ и дифференциальная теория исключения". Дифференциальные уравнения с символьным вычислением . Тенденции в математике. Birkhäuser. стр. 343–350. doi :10.1007/3-7643-7429-2_18. ISBN 978-3-7643-7429-7.
• Фрейтаг, Джеймс; Санчес, Омар Леон; Симмонс, Уильям (2 июня 2016 г.). «О линейной зависимости над полными дифференциальными алгебраическими многообразиями». Сообщения по алгебре . 44 (6): 2645–2669. arXiv : 1401.6211 . doi :10.1080/00927872.2015.1057828. S2CID  56218725.
• Gao, XS; Van der Hoeven, J.; Yuan, CM; Zhang, GL (1 сентября 2009 г.). «Метод характеристического множества для дифференциально-разностных полиномиальных систем». Journal of Symbolic Computation . 44 (9): 1137–1163. doi : 10.1016/j.jsc.2008.02.010 .
• Голубицкий, О.Д.; Кондратьева, М.В.; Овчинников, А.И. (2009). «Об обобщенной проблеме Ритта как вычислительной проблеме». Журнал математических наук . 163 (5): 515–522. arXiv : 0809.1128 . doi :10.1007/s10958-009-9689-3. S2CID  17503904.
• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение (Второе изд.). Cham: Springer. ISBN 978-3-319-13467-3.
• Харрингтон, Хизер А.; ВанГордер, Роберт А. (2017). «Снижение размерности нелинейных динамических систем». Нелинейная динамика . 88 (1): 715–734. doi :10.1007/s11071-016-3272-5. PMC 7089670.  PMID 32226227.  S2CID 254893812  .
• Hubert, Evelyne (2002). «Заметки о треугольных множествах и алгоритмах триангуляции-декомпозиции II: Дифференциальные системы». В Winkler, Franz; Langer, Ulrich (ред.). Symbolic and Numerical Scientific Computing. Вторая международная конференция, SNSC 2001 Хагенберг, Австрия, 12-14 сентября 2001 г. Пересмотренные документы (PDF) . Берлин: Springer-Verlag. стр. 40–87. ISBN 3-540-40554-2.
• Якобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Нью-Йорк. ISBN 0-486-63832-4.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Капланский, Ирвинг (1976). Введение в дифференциальную алгебру (2-е изд.). Герман. ISBN 9782705612511.
• Келлер, Корина (2019). Теория Черна-Саймонса и эквивариантные факторизационные алгебры. BestMasters. Висбаден, Германия. doi :10.1007/978-3-658-25338-7. ISBN 978-3-658-25337-0. S2CID  128325519.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Колчин, Эллис (1973). Дифференциальная алгебра и алгебраические группы. Academic Press. ISBN 978-0-08-087369-5.
• Lam, TY (1991). Первый курс по некоммутативным кольцам. Graduate Texts in Mathematics. Том 131. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 0-387-97523-3.
• Ландо, Барбара А. (1970). «Граница Якоби для порядка систем дифференциальных уравнений первого порядка». Труды Американского математического общества . 152 (1): 119–135. doi : 10.1090/S0002-9947-1970-0279079-1 . ISSN  0002-9947.
• Ли, Вэй; Юань, Чунь-Мин (февраль 2019 г.). «Теория исключения в дифференциальной и разностной алгебре». Журнал системной науки и сложности . 32 (1): 287–316. doi :10.1007/s11424-019-8367-x. S2CID  255158214.
• Маркер, Дэвид (2000). «Модельная теория дифференциальных полей». В Haskell, Deirdre; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (ред.). Model theory, algebra, and geometry (PDF) . Vol. 39. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 53–64. ISBN 0-521-78068-3.
• Мэнсфилд, Элизабет (1991). Дифференциальные базисы (PhD). Сиднейский университет.
• Моррисон, Салли (1 октября 1999 г.). «Дифференциальный идеал [ P ] : M∞» (PDF) . Журнал символических вычислений . 28 (4): 631–656. doi :10.1006/jsco.1999.0318. ISSN  0747-7171.
• Паршин, Алексей Николаевич (1999). «О кольце формальных псевдодифференциальных операторов». Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова . 224 : 266–280. arXiv : math/9911098 . Bibcode :1999math.....11098P.
• Ритт, Джозеф Фелс (1930). "Многообразия функций, определяемых системами алгебраических дифференциальных уравнений" (PDF) . Труды Американского математического общества . 32 (4): 569–598. doi :10.1090/S0002-9947-1930-1501554-4. S2CID  54064812.
• Ритт, Джозеф (1932). Дифференциальные уравнения с алгебраической точки зрения. Том 14. Американское математическое общество.
• Ритт, Джозеф Фелс (1950). Дифференциальная алгебра. Том 33. Провиденс, Род-Айленд: Публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN 978-0-8218-3205-9.
• Рота, Джан-Карло; Каханер, Дэвид; Одлыжко, Эндрю (1973). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечно-операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684–760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .
• Sit, William Y. (2002). "Теория Ритта-Колчина для дифференциальных полиномов". В Guo, Li; Cassidy, Phyllis J; Keigher, William F; Sit, William Y (ред.). Дифференциальная алгебра и смежные темы: труды Международного семинара, Ньюаркский кампус Ратгерса, Государственный университет Нью-Джерси, 2-3 ноября 2000 г. River Edge, NJ: World Scientific. doi : 10.1142/4768. ISBN 981-02-4703-6.
• Стехлински, Питер; Патраску, Майкл; Бартон, Пол И. (2018). «Негладкие дифференциально-алгебраические уравнения в химической инженерии». Компьютеры и химическая инженерия . 114 : 52–68. doi : 10.1016/j.compchemeng.2017.10.031. hdl : 1721.1/122980 . S2CID  49413118.
• Тейлор, Майкл Э. (1991). Псевдодифференциальные операторы и нелинейные уравнения в частных производных. Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3595-4.
• Wu, Wen-tsün (2005a). "О "хороших" базисах алгебро-дифференциальных идеалов". Дифференциальные уравнения с символьным вычислением . Birkhäuser. стр. 343–350. doi :10.1007/3-7643-7429-2_19. ISBN 978-3-7643-7429-7.
• Wu, Wen-tsün (2005b). "О построении базиса Грёбнера полиномиального идеала на основе теории Рикье–Жане". Дифференциальные уравнения с символьным вычислением . Тенденции в математике. Биркхойзер. С. 351–368. doi :10.1007/3-7643-7429-2_20. ISBN 978-3-7643-7429-7.
• Жаринов, В.В. (декабрь 2021 г.). «Уравнения Навье–Стокса, алгебраический аспект» (PDF) . Теоретическая и математическая физика . 209 (3): 1657–1672. arXiv : 2110.01504 . Bibcode :2021TMP...209.1657Z. doi :10.1134/S0040577921120011. S2CID  238259977.

Внешние ссылки

• На домашней странице Дэвида Маркера размещено несколько онлайн-опросов, посвященных различным полям.