Примеры групп

Некоторые элементарные примеры групп в математике приведены на странице Группы (математика) . Дополнительные примеры приведены здесь.

Перестановки набора из трех элементов

Рассмотрим три цветных блока (красный, зеленый и синий), изначально размещенных в порядке RGB. Пусть a будет операцией «поменять местами первый блок и второй блок», а b будет операцией «поменять местами второй блок и третий блок».

Мы можем записать xy для операции "сначала сделать y , затем сделать x "; так что ab — это операция RGB → RBG → BRG, которую можно описать как "переместить первые два блока на одну позицию вправо и поместить третий блок в первую позицию". Если мы запишем e для "оставить блоки как есть" ( операция тождества ), то мы можем записать шесть перестановок трех блоков следующим образом:

е : РГБ → РГБ
а : RGB → GRB
б : RGB → RBG
ab : RGB → BRG
ba : RGB → GBR
аба : RGB → BGR

Обратите внимание, что aa имеет эффект RGB → GRB → RGB; поэтому мы можем записать aa = e . Аналогично, bb = ( aba )( aba ) = e ; ( ab )( ba ) = ( ba )( ab ) = e ; поэтому каждый элемент имеет обратный .

Рассмотрев, мы можем определить ассоциативность и замкнутость ; обратите внимание, в частности, что ( ba ) b = bab = b ( ab ).

Поскольку она построена из основных операций a и b , мы говорим, что множество { a , b } порождает эту группу. Группа, называемая симметрической группой S3 _, имеет порядок 6 и является неабелевой (поскольку, например, ab ≠ ba ).

Группа переводов самолета

Перевод плоскости — это жесткое перемещение каждой точки плоскости на определенное расстояние в определенном направлении. Например, «переместиться в северо-восточном направлении на 2 километра» — это перевод плоскости. Два перевода, такие как a и b , можно составить , чтобы сформировать новый перевод a ∘ b следующим образом: сначала следуйте предписанию b , затем предписанию a . Например, если

a = "переместиться на северо-восток на 3 километра"

b = "переместиться на юго-восток на 4 километра"

затем

a ∘ b = «переместиться на пеленг 8,13° на 5 километров» (пеленг измеряется против часовой стрелки и с востока)

Или, если

a = «переместиться на пеленг 36,87° на 3 километра» (пеленг измеряется против часовой стрелки и с востока)

b = «переместиться на пеленг 306,87° на 4 километра» (пеленг измеряется против часовой стрелки и с востока)

затем

a ∘ b = "переместиться на восток на 5 километров"

(см. теорему Пифагора, чтобы узнать, почему это так с геометрической точки зрения).

Множество всех трансляций плоскости с композицией в качестве операции образует группу:

Если a и b являются переводами, то a ∘ b также является переводом.
Состав переводов ассоциативен: ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ).
Элементом идентичности этой группы является перевод с предписанием «переместиться на ноль километров в любом направлении».
Обратный перенос достигается путем ходьбы в противоположном направлении на то же расстояние.

Это абелева группа и наш первый (недискретный) пример группы Ли : группа, которая также является многообразием .

Группа симметрии квадрата: диэдральная группа порядка 8

Группы очень важны для описания симметрии объектов, будь то геометрические (например, тетраэдр ) или алгебраические (например, набор уравнений). В качестве примера рассмотрим стеклянный квадрат определенной толщины (с написанной на нем буквой «F», просто чтобы сделать различные положения различимыми).

Чтобы описать его симметрию, мы формируем набор всех тех жестких движений квадрата, которые не создают видимой разницы (кроме «F»). Например, если объект, повернутый на 90° по часовой стрелке, все еще выглядит так же, движение является одним элементом набора, например a . Мы также могли бы перевернуть его вокруг вертикальной оси так, чтобы его нижняя поверхность стала его верхней поверхностью, а левый край стал правым краем. Опять же, после выполнения этого движения стеклянный квадрат выглядит так же, поэтому это также элемент нашего набора, и мы называем его b . Движение, которое ничего не делает, обозначается e .

При наличии двух таких движений x и y можно определить композицию x ∘ y , как указано выше: сначала выполняется движение y , а затем движение x . В результате плита будет выглядеть так же, как и прежде.

Дело в том, что совокупность всех этих движений, с композицией в качестве операции, образует группу. Эта группа является наиболее кратким описанием симметрии квадрата. Химики используют группы симметрии этого типа для описания симметрии кристаллов и молекул .

Формирование группы

Давайте еще раз исследуем группу симметрии нашего квадрата. Сейчас у нас есть элементы a , b и e , но мы можем легко сформировать больше: например, a ∘ a , также записываемый как a ² , является поворотом на 180° градусов. a ³ является поворотом на 270° по часовой стрелке (или поворотом на 90° против часовой стрелки). Мы также видим, что b ² = e и также a ⁴ = e . Вот интересный пример: что делает a ∘ b ? Сначала переворачивает по горизонтали, затем поворачивает. Попробуйте представить, что a ∘ b = b ∘ a ³ . Кроме того, a ² ∘ b является вертикальным переворотом и равно b ∘ a ² .

Мы говорим, что элементы a и b порождают группу.

Эта группа порядка 8 имеет следующую таблицу Кэли :

Для любых двух элементов в группе таблица записывает их состав. Здесь мы написали " a ³b " как сокращение для a ³ ∘ b .

В математике эта группа известна как диэдральная группа порядка 8 и обозначается Dih ₄ , D ₄ или D ₈ , в зависимости от соглашения. Это был пример неабелевой группы: операция ∘ здесь не коммутативна , что можно увидеть из таблицы; таблица не симметрична относительно главной диагонали.

Нормальная подгруппа

Эта версия таблицы Кэли показывает, что эта группа имеет одну нормальную подгруппу, показанную на красном фоне. В этой таблице r означает вращения, а f означает перевороты. Поскольку подгруппа нормальная , левый смежный класс совпадает с правым смежным классом.

Бесплатная группа на двух генераторах

Свободная группа с двумя генераторами a и b состоит из всех конечных строк /слов, которые могут быть образованы из четырех символов a , a ⁻¹ , b и b ⁻¹ таким образом, что ни один a не появляется непосредственно рядом с a ⁻¹ и ни один b не появляется непосредственно рядом с a b ⁻¹ . Две такие строки могут быть объединены и преобразованы в строку этого типа путем многократной замены «запрещенных» подстрок пустой строкой. Например: « abab ⁻¹a ⁻¹ » объединенный с « abab ⁻¹a » дает « abab ⁻¹a ⁻¹abab ⁻¹a «, что сводится к « abaab ⁻¹a «. Можно проверить, что набор этих строк с помощью этой операции образует группу, в которой пустая строка ε := "" является единичным элементом (обычно кавычки опускаются, поэтому требуется символ ε).

Это еще одна бесконечная неабелева группа.

Свободные группы играют важную роль в алгебраической топологии ; свободная группа с двумя образующими также используется для доказательства парадокса Банаха –Тарского .

Набор карт

Наборы карт из набора в группу

Пусть G — группа, а S — множество. Множество отображений M ( S , G ) само по себе является группой; а именно, для двух отображений f , g из S в G мы определяем fg как отображение, такое что ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x ) для каждого x из S , а f ⁻¹ — как отображение, такое что f ⁻¹ ( x ) = f ( x ) ⁻¹ .

Возьмем отображения f , g и h в M ( S , G ). Для каждого x в S f ( x ) и g ( x ) оба находятся в G , и поэтому ( fg )( x ) тоже находится в M ( S , G ), т. е. M ( S , G ) замкнуто. M ( S , G ) ассоциативно, потому что (( fg ) h )( x ) = ( fg )( x ) h ( x ) = ( f ( x ) g ( x )) h ( x ) = f ( x )( g ( x ) h ( x )) = f ( x )( gh )( x ) = ( f ( gh ))( x ). И существует отображение i такое, что i ( x ) = e , где e — единичный элемент G . Отображение i таково, что для всех f в M ( S , G ) мы имеем fi = if = f , т.е. i является единичным элементом M ( S , G ). Таким образом, M ( S , G ) на самом деле является группой.

Если G абелева, то ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x ) = g ( x ) f ( x ) = ( gf )( x ), и, следовательно, то же самое относится и к M ( S , G ).

Группы автоморфизмов

Группы перестановок

Пусть G — множество биективных отображений множества S на себя. Тогда G образует группу относительно обычной композиции отображений. Эта группа называется симметрической группой и обычно обозначается , Σ _S или . Единичный элемент G — это тождественное отображение S . Для двух отображений f , g в G биективны, fg также биективно. Следовательно, G замкнуто. Композиция отображений ассоциативна; следовательно , G — группа. S может быть как конечным, так и бесконечным . $\operatorname {Симв} (С)$ ${\mathfrak {S}}_{S}$

Матричные группы

Если n — некоторое положительное целое число , мы можем рассмотреть множество всех обратимых матриц n на n с вещественными компонентами, скажем. Это группа с умножением матриц в качестве операции. Она называется общей линейной группой и обозначается GL _n ( R ) или GL( n , R ) (где R — множество вещественных чисел). Геометрически она содержит все комбинации вращений, отражений, растяжений и косых преобразований n -мерного евклидова пространства , которые фиксируют заданную точку (начало координат).

Если ограничиться матрицами с определителем 1, то получим другую группу, специальную линейную группу SL _n ( R ) или SL( n , R ). Геометрически она состоит из всех элементов GL _n ( R ), которые сохраняют как ориентацию, так и объем различных геометрических тел в евклидовом пространстве.

Если вместо этого мы ограничимся ортогональными матрицами , то получим ортогональную группу O _n ( R ) или O( n , R ). Геометрически это состоит из всех комбинаций вращений и отражений, которые фиксируют начало координат. Это как раз те преобразования, которые сохраняют длины и углы.

Наконец, если мы наложим оба ограничения, то получим специальную ортогональную группу SO _n ( R ) или SO( n , R ), которая состоит только из вращений.

Эти группы являются нашими первыми примерами бесконечных неабелевых групп. Они также являются группами Ли . Фактически, большинство важных групп Ли (но не все) могут быть выражены как матричные группы .

Если эту идею обобщить на матрицы с комплексными числами в качестве элементов, то мы получим дополнительные полезные группы Ли, такие как унитарная группа U( n ). Мы также можем рассматривать матрицы с кватернионами в качестве элементов; в этом случае нет четко определенного понятия определителя (и, следовательно, нет хорошего способа определить кватернионный «объем»), но мы все еще можем определить группу, аналогичную ортогональной группе, симплектическую группу Sp( n ).

Более того, эту идею можно трактовать чисто алгебраически с матрицами над любым полем , но тогда группы не будут группами Ли.