Корреляционная функция

Корреляция как функция расстояния

Визуальное сравнение свертки , кросс-корреляции и автокорреляции .

Корреляционная функция — это функция , которая дает статистическую корреляцию между случайными величинами , зависящую от пространственного или временного расстояния между этими переменными. ^[1] Если рассматривать корреляционную функцию между случайными величинами, представляющими одну и ту же величину, измеренную в двух разных точках, то ее часто называют автокорреляционной функцией , которая состоит из автокорреляций . Корреляционные функции различных случайных величин иногда называют кросс-корреляционными функциями , чтобы подчеркнуть, что рассматриваются различные переменные, и потому, что они состоят из кросс-корреляций .

Корреляционные функции являются полезным индикатором зависимостей как функции расстояния во времени или пространстве, и их можно использовать для оценки расстояния, необходимого между точками выборки для того, чтобы значения были эффективно некоррелированными. Кроме того, они могут стать основой правил интерполяции значений в точках, для которых нет наблюдений.

Корреляционные функции, используемые в астрономии , финансовом анализе , эконометрике и статистической механике, различаются только конкретными стохастическими процессами, к которым они применяются. В квантовой теории поля существуют корреляционные функции над квантовыми распределениями .

Определение

Для возможно различных случайных величин X ( s ) и Y ( t ) в различных точках s и t некоторого пространства корреляционная функция имеет вид

${\displaystyle C(s,t)=\operatorname {corr} (X(s),Y(t)),}$

где описано в статье о корреляции . В этом определении предполагалось, что стохастические переменные являются скалярными. Если это не так, то можно определить более сложные корреляционные функции. Например, если X ( s ) — случайный вектор с n элементами, а Y (t) — вектор с q элементами, то матрица корреляционных функций размером n × q определяется с элементом ${\displaystyle \operatorname {corr} }$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle C_{ij}(s,t)=\operatorname {corr} (X_{i}(s),Y_{j}(t)).}$

Когда n = q , иногда след этой матрицы фокусируется на. Если распределения вероятностей имеют какие-либо целевые пространственные симметрии, т. е. симметрии в пространстве значений стохастической переменной (также называемые внутренними симметриями ), то корреляционная матрица будет иметь индуцированные симметрии. Аналогично, если есть симметрии области пространства (или времени), в которой существуют случайные величины (также называемые симметриями пространства-времени ), то корреляционная функция будет иметь соответствующие пространственные или временные симметрии. Примерами важных симметрий пространства-времени являются —

• трансляционная симметрия дает C ( s , s ') = C ( s  −  s '), где s и s ' следует интерпретировать как векторы, задающие координаты точек
• вращательная симметрия в дополнение к вышесказанному дает C ( s , s ') = C (| s  −  s '|), где | x | обозначает норму вектора x (для реальных вращений это евклидова или 2-норма).

Часто определяются функции корреляции более высокого порядка. Типичная функция корреляции порядка n (угловые скобки представляют собой ожидаемое значение )

${\displaystyle C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .}$

Если случайный вектор имеет только одну компонентную переменную, то индексы избыточны. Если есть симметрии, то корреляционную функцию можно разбить на неприводимые представления симметрий — как внутренних, так и пространственно-временных. ${\displaystyle i,j}$

Свойства вероятностных распределений

С этими определениями изучение корреляционных функций похоже на изучение распределений вероятностей . Многие стохастические процессы могут быть полностью охарактеризованы их корреляционными функциями; наиболее ярким примером является класс гауссовских процессов .

Распределения вероятностей, определенные на конечном числе точек, всегда можно нормализовать, но когда они определены на непрерывных пространствах, то требуется особая осторожность. Изучение таких распределений началось с изучения случайных блужданий и привело к понятию исчисления Ито .

Интеграл по траекториям Фейнмана в евклидовом пространстве обобщает это на другие проблемы, представляющие интерес для статистической механики . Любое распределение вероятностей, которое подчиняется условию на корреляционные функции, называемому положительностью отражения, приводит к локальной квантовой теории поля после поворота Вика к пространству-времени Минковского (см. аксиомы Остервальдера-Шрадера ). Операция перенормировки представляет собой заданный набор отображений из пространства распределений вероятностей в себя. Квантовая теория поля называется перенормируемой, если это отображение имеет неподвижную точку, которая дает квантовую теорию поля.

Смотрите также

• Автокорреляция  – корреляция сигнала с его сдвинутой во времени копией, как функция сдвига
• Корреляция не подразумевает причинно-следственную связь  – Опровержение логической ошибки
• Коррелограмма  – Изображение статистики корреляции
• Функция ковариации  – Функция в теории вероятностей
• Коэффициент корреляции Пирсона  – мера линейной корреляцииPages displaying short descriptions of redirect targets
• Корреляционная функция (астрономия)  – Функция, описывающая распределение галактик во Вселенной.
• Корреляционная функция (статистическая механика)  – мера порядка системы.
• Корреляционная функция (квантовая теория поля)  – математическое ожидание упорядоченных по времени квантовых операторов
• Взаимная информация  – мера зависимости между двумя переменными
• Теория искажения скорости  — раздел теории информации, который обеспечивает теоретические основы сжатия данных с потерями.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Радиальная функция распределения  – Описание плотности частиц в статистической механике

Ссылки

1. Пал, Маноранджан; Бхарати, Премананда (2019). «Введение в корреляционный и линейный регрессионный анализ». Применение методов регрессии. Springer, Сингапур. стр. 1–18. doi :10.1007/978-981-13-9314-3_1 . Получено 14 декабря 2023 г. .