Длина веревки

Инвариант узла

В теории физических узлов каждая реализация звена или узла имеет связанную с ним длину веревки . Интуитивно это минимальная длина идеально гибкой веревки, которая необходима для связывания данного звена или узла. Узлы и звенья, которые минимизируют длину веревки, называются идеальными узлами и идеальными звеньями соответственно.

Численное приближение идеального трилистника .

Определение

Длина каната завязанной кривой определяется как отношение , где — длина , а — толщина узла . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L(C)=\operatorname {Len} (C)/\tau (C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Len} (C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \tau (C)}$ ${\displaystyle C}$

Длину веревки можно превратить в инвариант узла , определив длину веревки узла как минимальную длину веревки среди всех кривых, реализующих . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Минимизаторы длины веревки

Один из самых ранних вопросов теории узлов был сформулирован следующим образом:

Могу ли я завязать узел на веревке длиной в фут и толщиной в один дюйм?

В терминах длины веревки это спрашивает, существует ли узел с длиной веревки . Ответ — нет: аргумент с использованием квадрисекантов показывает, что длина веревки любого нетривиального узла должна быть не менее . ^[1] Однако поиск ответа подстегнул исследования как на теоретической, так и на вычислительной основе. Было показано, что для каждого типа связи существует минимизатор длины веревки, хотя он может иметь только класс дифференцируемости . ^{[2] [3]} Для простейшего нетривиального узла, узла-трилистника, компьютерное моделирование показало, что его минимальная длина веревки составляет не более 16,372. ^[1] ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 15.66}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Зависимость от числа пересечений

Обширный поиск был посвящен выявлению связей между длиной веревки и другими инвариантами узлов, такими как число пересечений узла. Для каждого узла длина веревки по крайней мере пропорциональна , где обозначает число пересечений. ^[4] Существуют узлы и связи, а именно торические узлы и - связи Хопфа , для которых эта нижняя граница является жесткой. То есть, для этих узлов (в нотации большого О ), ^[3] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Cr} (K)^{3/4}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cr} (K)}$ ${\displaystyle (k,k-1)}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)^{3/4}).}$$

С другой стороны, существуют также узлы, длина веревки которых больше и пропорциональна самому числу пересечений, а не его меньшей степени. ^[5] Это почти точно, как и для любого узла. Доказательство этой почти линейной верхней границы использует аргумент «разделяй и властвуй», чтобы показать, что минимальные проекции узлов могут быть встроены в качестве планарных графов в кубической решетке. ^[6] Однако никто еще не наблюдал семейство узлов с суперлинейной зависимостью длины от числа пересечений, и предполагается, что точная верхняя граница должна быть линейной. ^[7] $${\displaystyle L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)\log ^{5}(\operatorname {Cr} (K))).}$$

Ссылки

1. Denne, Elizabeth; Diao, Yuanan; Sullivan, John M. (2006), "Quadrisecants give new lower bounds for the ropelength of a knot", Geometry & Topology , 10 : 1–26, arXiv : math/0408026 , doi : 10.2140/gt.2006.10.1, MR  2207788
2. Гонсалес, О.; Мэддокс, Дж. Х.; Шурихт, Ф.; фон дер Мозель, Х. (2002), «Глобальная кривизна и самоконтакт нелинейно упругих кривых и стержней», Вариационное исчисление и уравнения в частных производных , 14 (1): 29–68, doi :10.1007/s005260100089, MR  1883599
3. Кантарелла, Джейсон; Каснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине веревки узлов и связей» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode :2002InMat.150..257C, doi :10.1007/s00222-002-0234-y, MR  1933586
4. Бак, Грегори; Саймон, Джонатан (1999), «Толщина и число пересечений узлов», Топология и ее приложения , 91 (3): 245–257, doi :10.1016/S0166-8641(97)00211-3, MR  1666650
5. Diao, Y.; Ernst, C.; Thistlethwaite, M. (2003), «Линейный рост длин семейства толстых узлов», Journal of Knot Theory and its Ramifications , 12 (5): 709–715, doi :10.1142/S0218216503002615, MR  1999639
6. Дяо, Юаньань; Эрнст, Клаус; Пор, Аттила; Циглер, Ута (2019), «Длины веревок узлов почти линейны с точки зрения их числа пересечений», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 28 (14): 1950085, doi :10.1142/S0218216519500858
7. Дяо, Юаньань; Эрнст, Клаус (2004), «Реализуемые мощности длин веревок нетривиальными семействами узлов» (PDF) , JP Journal of Geometry and Topology , 4 (2): 197–208, MR  2105812, архивировано из оригинала (PDF) 2005-02-15