Длина рассеяния

Длина рассеяния в квантовой механике описывает рассеяние при низких энергиях . Для потенциалов, которые затухают быстрее, чем as , он определяется как следующий низкоэнергетический предел : ${\displaystyle 1/r^{3}}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{k\to 0}k\cot \delta (k)=-{\frac {1}{a}}\;,}$

где – длина рассеяния, – волновое число , – фазовый сдвиг выходящей сферической волны. Сечение упругости , , при низких энергиях определяется исключительно длиной рассеяния: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \delta (k)}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$

${\displaystyle \lim _{k\to 0}\sigma _{e}=4\pi a^{2}\;.}$

Общая концепция

Когда медленная частица рассеивается от рассеивателя ближнего действия (например, примеси в твердом теле или тяжелой частицы), она не может определить структуру объекта, поскольку ее длина волны де Бройля очень велика. Идея состоит в том, что тогда не должно быть важно, какой именно потенциал рассеивается, а важно только то, как потенциал выглядит на больших масштабах. Формальный способ решить эту проблему — выполнить частичное волновое разложение (в некоторой степени аналогичное мультипольному разложению в классической электродинамике ), при котором происходит расширение по компонентам углового момента исходящей волны. При очень низкой энергии входящая частица не видит никакой структуры, поэтому в низшем порядке имеется только сферическая исходящая волна, называемая s-волной по аналогии с атомной орбиталью с квантовым числом углового момента l =0. При более высоких энергиях также необходимо учитывать p- и d-волновое рассеяние ( l =1,2) и так далее. ${\displaystyle V(r)}$

Идея описания низкоэнергетических свойств с помощью нескольких параметров и симметрий очень мощная и лежит в основе концепции перенормировки .

Понятие длины рассеяния можно распространить и на потенциалы, которые затухают медленнее, чем as . Известным примером, относящимся к протон-протонному рассеянию, является длина рассеяния с кулоновской модификацией. ${\displaystyle 1/r^{3}}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

Пример

В качестве примера расчета длины рассеяния s-волны (т.е. углового момента) для данного потенциала мы рассмотрим бесконечно отталкивающую сферическую потенциальную яму радиуса в трех измерениях. Радиальное уравнение Шредингера ( ) вне ямы точно такое же, как и для свободной частицы: ${\displaystyle l=0}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}u''(r)=Eu(r),}$

где потенциал жесткого ядра требует, чтобы волновая функция обращалась в нуль при , . Решение легко найти: ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle u(r_{0})=0}$

${\displaystyle u(r)=A\sin(kr+\delta _{s})}$.

Здесь и – фазовый сдвиг s-волны (разность фаз между приходящей и уходящей волной), который фиксируется граничным условием ; — произвольная константа нормализации. ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$ ${\displaystyle \delta _{s}=-k\cdot r_{0}}$ ${\displaystyle u(r_{0})=0}$ ${\displaystyle A}$

Можно показать это в общем случае при малом (т.е. рассеянии при низкой энергии). Параметр размерной длины определяется как длина рассеяния . Таким образом, для нашего потенциала мы имеем , другими словами, длина рассеяния для твердой сферы равна всего лишь радиусу. (В качестве альтернативы можно сказать, что произвольный потенциал с длиной рассеяния s-волны имеет те же свойства рассеяния при низкой энергии, что и твердая сфера радиусом .) Чтобы связать длину рассеяния с физическими наблюдаемыми, которые можно измерить в эксперименте по рассеянию, нам нужно вычислить поперечное сечение . В теории рассеяния асимптотическую волновую функцию записывают как (мы предполагаем, что в начале координат имеется рассеиватель с конечным диапазоном и вдоль оси - падающая плоская волна ): ${\displaystyle \delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle a=r_{0}}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi (r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

где – амплитуда рассеяния . Согласно вероятностной интерпретации квантовой механики, дифференциальное сечение определяется как (вероятность рассеяния в единицу времени в направлении ). Если рассматривать только рассеяние s-волн, то дифференциальное сечение не зависит от угла , а полное сечение рассеяния составляет всего . S-волновая часть волновой функции проецируется с использованием стандартного разложения плоской волны через сферические волны и полиномы Лежандра : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma =4\pi |f|^{2}}$ ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ ${\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$

${\displaystyle e^{ikz}\approx {\frac {1}{2ikr}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)P_{l}(\cos \theta )\left[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}\right]}$

Сопоставляя компонент с решением s-волны (где мы нормализуем так, чтобы входящая волна имела префактор единицы), получаем: ${\displaystyle l=0}$ ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ ${\displaystyle \psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{ikz}}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}(e^{2i\delta _{s}}-1)\approx \delta _{s}/k\approx -a_{s}}$

Это дает:

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sin ^{2}\delta _{s}=4\pi a_{s}^{2}}$

Смотрите также

• Псевдопотенциал Ферми
• Длина рассеяния нейтронов

Рекомендации

• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (2003). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Амстердам: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-3539-8.