Распределение уверенности

В статистическом выводе понятие доверительного распределения ( CD ) часто свободно упоминается как функция распределения в пространстве параметров, которая может представлять доверительные интервалы всех уровней для интересующего параметра. Исторически, оно обычно строилось путем инвертирования верхних пределов нижних доверительных интервалов всех уровней, и оно также обычно ассоциировалось с фидуциальным ^[1] толкованием ( фидуциальным распределением ), хотя это чисто частотная концепция. ^[2] Доверительное распределение НЕ является функцией распределения вероятностей интересующего параметра, но все еще может быть функцией, полезной для выводов. ^[3]

В последние годы наблюдается всплеск возрожденного интереса к доверительным распределениям. ^[3] В более поздних разработках концепция доверительного распределения возникла как чисто частотная концепция, без какой-либо фидуциальной интерпретации или обоснования. Концептуально доверительное распределение ничем не отличается от точечной оценки или интервальной оценки ( доверительного интервала ), но оно использует зависящую от выборки функцию распределения в пространстве параметров (вместо точки или интервала) для оценки интересующего параметра.

Простым примером доверительного распределения, широко используемого в статистической практике, является распределение bootstrap . ^[4] Разработка и интерпретация распределения bootstrap не требуют никаких фидуциальных рассуждений; то же самое относится и к концепции распределения stake. Но понятие распределения trust гораздо шире, чем распределение bootstrap. В частности, недавние исследования показывают, что оно охватывает и объединяет широкий спектр примеров, от обычных параметрических случаев (включая большинство примеров классической разработки распределения fitucial Фишера) до распределений bootstrap, функций p-value , ^[5] нормализованных функций правдоподобия и, в некоторых случаях, байесовских априорных и байесовских апостериорных . ^[6]

Так же, как байесовское апостериорное распределение содержит массу информации для любого типа байесовского вывода , доверительное распределение содержит массу информации для построения почти всех типов частотных выводов, включая точечные оценки , доверительные интервалы , критические значения, статистическую мощность и p-значения, ^[7] среди прочего. Некоторые недавние разработки высветили многообещающий потенциал концепции CD как эффективного инструмента вывода. ^[3]

История

Нейман (1937) ^[8] ввел идею «уверенности» в своей основополагающей статье о доверительных интервалах, которая прояснила свойство частотного повторения. По словам Фрейзера ^[9] , семя (идея) распределения уверенности может быть прослежено даже до Байеса (1763) ^[10] и Фишера (1930). ^[1] Хотя эта фраза, кажется, впервые была использована у Кокса (1958). ^[11] Некоторые исследователи рассматривают распределение уверенности как «неймановскую интерпретацию фидуциальных распределений Фишера», ^[12] которая «яростно оспаривалась Фишером». ^[13] Также считается, что эти «непродуктивные споры» и «упрямая настойчивость» Фишера ^[13] могут быть причиной того, что концепция распределения уверенности долгое время неверно истолковывалась как фидуциальная концепция и не была полностью разработана в рамках частотной теории. ^{[6] [14]} Действительно, распределение уверенности является чисто частотной концепцией с чисто частотной интерпретацией, хотя оно также связано с байесовскими и фидуциарными концепциями вывода.

Определение

Классическое определение

Классически доверительное распределение определяется путем инвертирования верхних пределов ряда нижних доверительных интервалов. ^{[15] [16] [ нужна страница ]} В частности,

Для каждого α из (0, 1) пусть (−∞,  ξ _n ( α )] будет 100α% нижним доверительным интервалом для θ , где ξ _n ( α ) =  ξ _n ( X _n ,α) является непрерывным и возрастает по α для каждой выборки X _n . Тогда H _n (•) =  ξ _n ⁻¹ (•) является доверительным распределением для  θ .

Эфрон заявил, что это распределение «присваивает вероятность 0,05 значению θ, лежащему между верхними конечными точками доверительного интервала 0,90 и 0,95 и т. д .», и «оно имеет мощную интуитивную привлекательность». ^[16] В классической литературе ^[3] функция распределения доверия интерпретируется как функция распределения параметра θ , что невозможно, если не задействовано фидуциальное рассуждение, поскольку в частотной обстановке параметры фиксированы и неслучайны.

Интерпретировать функцию CD полностью с частотной точки зрения и не интерпретировать ее как функцию распределения (фиксированного/неслучайного) параметра является одним из основных отклонений недавнего развития по отношению к классическому подходу. Хорошая вещь в трактовке доверительных распределений как чисто частотной концепции (подобной точечной оценке) заключается в том, что теперь она свободна от тех ограничительных, если не спорных, ограничений, установленных Фишером для фидуциальных распределений. ^{[6] [14]}

Современное определение

Применяется следующее определение; ^{[12] [17] [18]} Θ — это параметрическое пространство неизвестного интересующего параметра θ , а χ — это выборочное пространство, соответствующее данным X _n ={ X ₁ , ..., X _n }:

Функция H _n (•) = H _n ( X _n , •) от χ  ×  Θ  → [0, 1] называется доверительным распределением (КР) для параметра θ , если она удовлетворяет двум требованиям:

• (R1) Для каждого заданного X _n ∈ χ , H _n (•) = H _n ( X _n , •) является непрерывной кумулятивной функцией распределения на Θ ;
• (R2) При истинном значении параметра θ  =  θ ₀ , H _n ( θ ₀ ) ≡  H _n ( X _n , θ ₀ ), как функция выборки X _n , следует равномерному распределению U [0, 1].

Кроме того, функция H является асимптотическим CD ( aCD ), если требование U [0, 1] выполняется только асимптотически, а требование непрерывности для H _n (•) опускается.

В нетехнических терминах доверительное распределение является функцией как параметра, так и случайной выборки с двумя требованиями. Первое требование (R1) просто требует, чтобы CD было распределением в пространстве параметров. Второе требование (R2) устанавливает ограничение на функцию, чтобы выводы (точечные оценщики, доверительные интервалы и проверка гипотез и т. д.), основанные на доверительном распределении, имели желаемые частотные свойства. Это похоже на ограничения в точечной оценке для обеспечения определенных желаемых свойств, таких как беспристрастность, согласованность, эффективность и т. д. ^{[6] [19]}

Распределение доверительности, полученное путем инвертирования верхних границ доверительных интервалов (классическое определение), также удовлетворяет требованиям приведенного выше определения, и эта версия определения согласуется с классическим определением. ^[18]

В отличие от классического фидуциального вывода, для оценки параметра при любой конкретной настройке может быть доступно более одного распределения доверия. Кроме того, в отличие от классического фидуциального вывода, оптимальность не является частью требования. В зависимости от настройки и используемого критерия иногда существует уникальное «лучшее» (с точки зрения оптимальности) распределение доверия. Но иногда оптимального распределения доверия не существует или, в некоторых крайних случаях, мы даже не сможем найти осмысленное распределение доверия. Это не отличается от практики точечной оценки.

Определение с измеримыми пространствами

Распределение доверия ^[20] для параметра в измеримом пространстве является оценщиком распределения с для семейства областей доверия для с уровнем для всех уровней . Семейство областей доверия не является уникальным. ^[21] Если существует только для , то является распределением доверия с набором уровней . Оба и все являются измеримыми функциями данных. Это означает, что является случайной мерой и является случайным множеством. Если определяющее требование выполняется с равенством, то распределение доверия по определению является точным. Если, кроме того, является действительным параметром, то определение теории меры совпадает с приведенным выше классическим определением. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle C(A_{p})=p}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle p\in I\subset (0,1)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle P(\gamma \in A_{p})\geq p}$ ${\displaystyle \gamma }$

Примеры

Пример 1: Нормальное среднее и дисперсия

Предположим, что дана нормальная выборка X _i  ~  N ( μ ,  σ ² ), i  = 1, 2, ...,  n .

(1) Дисперсия σ ² известна .

Пусть Φ — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения, а кумулятивная функция распределения Стьюдента . Обе функции и заданы как ${\displaystyle F_{t_{n-1}}}$ ${\displaystyle t_{n-1}}$ ${\displaystyle H_{\mathit {\Phi }}(\mu )}$ ${\displaystyle H_{t}(\mu )}$

${\displaystyle H_{\Phi }(\mu )={\mathit {\Phi }}\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{\sigma }}\right),\quad {\text{and}}\quad H_{t}(\mu )=F_{t_{n-1}}\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{s}}\right),}$

удовлетворяют двум требованиям в определении CD, и они являются функциями распределения уверенности для  μ . ^[3] Кроме того,

${\displaystyle H_{A}(\mu )={\mathit {\Phi }}\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{s}}\right)}$

удовлетворяет определению асимптотического распределения доверия при n →∞, и это асимптотическое распределение доверия для μ . Использование и эквивалентно утверждению, что мы используем и для оценки , соответственно. ${\displaystyle H_{t}(\mu )}$ ${\displaystyle H_{A}(\mu )}$ ${\displaystyle N({\bar {X}},\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle N({\bar {X}},s^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$

(2) Дисперсия σ ² неизвестна.

Для параметра μ , поскольку включает неизвестный параметр σ и нарушает два требования в определении CD, он больше не является «оценщиком распределения» или доверительным распределением для  μ . ^[3] Однако, по-прежнему является CD для μ и является aCD для  μ . ${\displaystyle H_{\mathit {\Phi }}(\mu )}$ ${\displaystyle H_{t}(\mu )}$ ${\displaystyle H_{A}(\mu )}$

Для параметра σ ² кумулятивная функция распределения, зависящая от выборки,

${\displaystyle H_{\chi ^{2}}(\theta )=1-F_{\chi _{n-1}^{2}}((n-1)s^{2}/\theta )}$

— доверительная функция распределения для σ ² . ^[6] Здесь — кумулятивная функция распределения распределения . ${\displaystyle F_{\chi _{n-1}^{2}}}$ ${\displaystyle \chi _{n-1}^{2}}$

В случае, когда дисперсия σ ² известна, является оптимальным с точки зрения получения кратчайших доверительных интервалов на любом заданном уровне. В случае, когда дисперсия σ ² неизвестна, является оптимальным доверительным распределением для μ . ${\displaystyle H_{\mathit {\Phi }}(\mu )={\mathit {\Phi }}\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{\sigma }}\right)}$ ${\displaystyle H_{t}(\mu )=F_{t_{n-1}}\left({\frac {{\sqrt {n}}(\mu -{\bar {X}})}{s}}\right)}$

Пример 2: Двумерная нормальная корреляция

Пусть ρ обозначает коэффициент корреляции двумерной нормальной совокупности. Хорошо известно, что z Фишера определяется преобразованием Фишера :

${\displaystyle z={1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}}$

имеет предельное распределение с быстрой скоростью сходимости, где r — выборочная корреляция, а n — размер выборки. ${\displaystyle N({1 \over 2}\ln {{1+\rho } \over {1-\rho }},{1 \over n-3})}$

Функция

${\displaystyle H_{n}(\rho )=1-{\mathit {\Phi }}\left({\sqrt {n-3}}\left({1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}-{1 \over 2}\ln {{1+\rho } \over {1-\rho }}\right)\right)}$

является асимптотическим доверительным распределением для ρ . ^[22]

Точная плотность доверия для ρ равна ^{[23] [24]}

${\displaystyle \pi (\rho |r)={\frac {\nu (\nu -1)\Gamma (\nu -1)}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}(1-r^{2})^{\frac {\nu -1}{2}}\cdot (1-\rho ^{2})^{\frac {\nu -2}{2}}\cdot (1-r\rho )^{\frac {1-2\nu }{2}}F({\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}};\nu +{\frac {1}{2}};{\frac {1+r\rho }{2}})}$

где — гауссова гипергеометрическая функция и . Это также апостериорная плотность байесовского соответствия для пяти параметров в бинормальном распределении. ^[25] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \nu =n-1>1}$

Самая последняя формула в классической книге Фишера дает

${\displaystyle \pi (\rho |r)={\frac {(1-r^{2})^{\frac {\nu -1}{2}}\cdot (1-\rho ^{2})^{\frac {\nu -2}{2}}}{\pi (\nu -2)!}}\partial _{\rho r}^{\nu -2}\left\{{\frac {\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta }{\sin ^{3}\theta }}\right\}}$

где и . Эта формула была выведена CR Rao . ^[26] ${\displaystyle \cos \theta =-\rho r}$ ${\displaystyle 0<\theta <\pi }$

Пример 3: Бинормальное среднее

Пусть данные генерируются с помощью , где — неизвестный вектор на плоскости и имеет бинормальное и известное распределение на плоскости. Распределение определяет распределение доверия для . Области доверия могут быть выбраны как внутренняя часть эллипсов с центром в и осями, заданными собственными векторами ковариационной матрицы . Распределение доверия в этом случае является бинормальным со средним , и области доверия могут быть выбраны многими другими способами. ^[21] Распределение доверия совпадает в этом случае с байесовским апостериорным распределением с использованием правого априорного распределения Хаара. ^[27] Аргумент обобщается на случай неизвестного среднего в бесконечномерном гильбертовом пространстве , но в этом случае распределение доверия не является байесовским апостериорным распределением. ^[28] ${\displaystyle Y=\gamma +U}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Gamma ^{y}=y-U}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle A_{p}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{y}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Использование доверительных распределений для вывода

Доверительный интервал

Из определения CD очевидно, что интервал и обеспечивает 100(1 −  α )%-ный доверительный интервал различных видов для θ для любого α  ∈ (0, 1). Также есть уровень 100(1 −  α ₁  −  α ₂ )% доверительный интервал для параметра θ для любого α ₁  > 0, α ₂  > 0 и α ₁  +  α ₂  < 1. Здесь есть 100 β % квантиль или он решает для θ в уравнении . То же самое справедливо для CD, где уровень доверия достигается в пределе. Некоторые авторы предложили использовать их для графического просмотра того, какие значения параметров согласуются с данными, вместо целей покрытия или производительности. ^{[29] [30]} ${\displaystyle (-\infty ,H_{n}^{-1}(1-\alpha )],[H_{n}^{-1}(\alpha ),\infty )}$ ${\displaystyle [H_{n}^{-1}(\alpha /2),H_{n}^{-1}(1-\alpha /2)]}$ ${\displaystyle [H_{n}^{-1}(\alpha _{1}),H_{n}^{-1}(1-\alpha _{2})]}$ ${\displaystyle H_{n}^{-1}(\beta )}$ ${\displaystyle H_{n}(\theta )}$ ${\displaystyle H_{n}(\theta )=\beta }$

Оценка точки

Точечные оценщики также могут быть построены с учетом доверительного распределения оценки для интересующего параметра. Например, если задано H _n ( θ ) CD для параметра θ , естественный выбор точечных оценщиков включает медиану M _n  =  H _n ⁻¹ (1/2), среднее значение и максимальную точку плотности CD ${\displaystyle {\bar {\theta }}_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }t\,\mathrm {d} H_{n}(t)}$

${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{n}=\arg \max _{\theta }h_{n}(\theta ),h_{n}(\theta )=H'_{n}(\theta ).}$

При некоторых скромных условиях, среди прочих свойств, можно доказать, что все эти точечные оценки являются согласованными. ^{[6] [22]} Определенные распределения доверия могут дать оптимальные частотные оценки. ^[28]

Проверка гипотез

Можно вывести p-значение для теста, как одностороннего, так и двустороннего, относительно параметра  θ , из его распределения уверенности H _n ( θ ). ^{[6] [22]} Обозначим через массу вероятности множества C под функцией распределения уверенности Это p _s (C) называется «поддержкой» в выводе CD и также известно как «убеждение» в фидуциальной литературе. ^[31] Мы имеем ${\displaystyle p_{s}(C)=H_{n}(C)=\int _{C}\mathrm {d} H(\theta ).}$

(1) Для одностороннего теста K ₀ : θ  ∈  C против K ₁ : θ  ∈  C ^c , где C имеет тип (−∞,  b ] или [ b , ∞), можно показать из определения CD, что sup _{θ  ∈  C} P _θ ( p _s ( C ) ≤  α ) =  α . Таким образом, p _s ( C ) =  H _n ( C ) является соответствующим p-значением теста.

(2) Для теста синглтона K ₀ : θ  =  b против K ₁ : θ  ≠  b , P _{{ K 0 : θ  =  b }} (2 min{ p _s ( C _lo ), можно показать из определения CD, что p _s ( C _up )} ≤  α ) =  α . Таким образом, 2 min{ p _s ( C _lo ),  p _s ( C _up )} = 2 min{ H _n ( b ), 1 −  H _n ( b )} является соответствующим p-значением теста. Здесь C _lo = (−∞,  b ] и C _up  = [ b , ∞).

Графическую иллюстрацию вывода CD см. на рисунке 1 из работы Се и Сингха (2011) ^[6].

Реализации

В нескольких статистических программах реализована возможность построения и графического отображения доверительных распределений.

R , через пакеты concurve, ^{[32] [33]} pvaluefunctions , ^[34] и episheet^[35]

Excel , через episheet^[36]

Стата , через concurve^[32]

Смотрите также

• Вероятность покрытия

Ссылки

1. Фишер, РА (1930). «Обратная вероятность». Proc. cambridge Pilos. Soc. 26 , 528–535.
2. Кокс, DR (1958). "Некоторые проблемы, связанные со статистическим выводом", " Анналы математической статистики ", "29" 357-372 (Раздел 4, Страница 363) doi :10.1214/aoms/1177706618
3. Xie, M. (2013). "Reactionder of Confidence Distribution, the Frequentist Distribution Estimator of a Parameter – a Review". International Statistical Review , 81 , 68-77. doi :10.1111/insr.12001
4. Эфрон, Б. (1998). «RAFisher в 21 веке» Статистическая наука. 13 95–122. JSTOR  2290557
5. Фрейзер, DAS (1991). "Статистический вывод: Вероятность значимости". Журнал Американской статистической ассоциации , 86 , 258–265. JSTOR  2290557
6. Xie, M. и Singh, K. (2013). "Распределение доверия, оценка частотного распределения параметра – обзор (с обсуждением)". International Statistical Review , 81 , 3-39. doi :10.1111/insr.12000
7. Фрейзер, DAS (2019-03-29). «Функция p-значения и статистический вывод». The American Statistician . 73 (sup1): 135–147. doi : 10.1080/00031305.2018.1556735 . ISSN  0003-1305.
8. Нейман, Дж. (1937). «Очерк теории статистической оценки, основанной на классической теории вероятности». Phil. Trans. Roy. Soc A237 333–380
9. Фрейзер, DAS (2011). «Является ли апостериорная оценка Байеса просто быстрой и грязной уверенностью?» Статистическая наука 26 , 299-316. JSTOR  23059129
10. Байес, Т. (1763). « Опыт решения проблемы в учении о шансах ». Фил. Перевод. Королевское общество , Лондон 53 370–418 54 296–325. Перепечатано в Biometrika 45 (1958) 293–315.
11. Кокс, DR (июнь 1958 г.). «Некоторые проблемы, связанные со статистическим выводом». Анналы математической статистики . 29 (2): 357–372. doi : 10.1214/aoms/1177706618 . ISSN  0003-4851.
12. Шведер, Т. и Хьорт, Н. Л. (2002). «Уверенность и вероятность», Scandinavian Journal of Statistics. 29 309–332. doi :10.1111/1467-9469.00285
13. Zabell, SL (1992). "RAFisher и фидуциальный аргумент", Stat. Sci. , 7 , 369–387
14. Singh, K. и Xie, M. (2011). "Обсуждения "Является ли апостериорная оценка Байеса просто быстрой и грязной уверенностью?" DAS Fraser". Статистическая наука. Т. 26, 319-321. JSTOR  23059131
15. Кокс, DR (2006). Принципы статистического вывода , CUP. ISBN 0-521-68567-2 . (стр. 66) 
16. Эфрон, Б. (1993). «Байес и расчеты правдоподобия из доверительных интервалов». Биометрика , 80 3–26.
17. Сингх, К. Кси, М. и Страудерман, У. Э. (2001). «Распределения уверенности — концепция, теория и приложения». Технический отчет, Департамент статистики, Ратгерский университет. Пересмотрено в 2004 году.
18. Singh, K. Xie, M. и Strawderman, WE (2005). «Объединение информации из независимых источников посредством распределения достоверности» Annals of Statistics , 33 , 159–183. JSTOR  3448660
19. Xie, M., Liu, R., Daramuju, CV, Olsan, W. (2012). «Включение экспертных мнений в информацию из биномиальных клинических испытаний». Annals of Applied Statistics. В печати.
20. Таралдсен, Гуннар (2021). «Совместные доверительные распределения». doi : 10.13140/RG.2.2.33079.85920. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
21. Liu, Dungang; Liu, Regina Y.; Xie, Min-ge (2021-04-30). «Непараметрическое слияние обучения для многопараметрических данных: синтез выводов из различных источников с использованием глубины данных и распределения достоверности». Журнал Американской статистической ассоциации . 117 (540): 2086–2104. doi : 10.1080/01621459.2021.1902817. ISSN  0162-1459. S2CID  233657455.
22. Singh, K. Xie, M. и Strawderman, WE (2007). "Распределение доверия (CD)-оценщик распределения параметра", в Complex Datasets and Inverse Problems IMS Lecture Notes—Monograph Series , 54 , (редакторы R. Liu и др.) 132–150. JSTOR  20461464
23. Таралдсен, Гуннар (2021). «Плотность уверенности для корреляции». Санкхья А. 85 : 600–616. doi : 10.1007/s13171-021-00267-y . ISSN  0976-8378. S2CID  244594067.
24. Таральдсен, Гуннар (2020). «Уверенность в корреляции». дои : 10.13140/RG.2.2.23673.49769. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
25. Бергер, Джеймс О.; Сан, Донгчу (2008-04-01). "Объективные априорные данные для двумерной нормальной модели". Анналы статистики . 36 (2). arXiv : 0804.0987 . doi : 10.1214/07-AOS501 . ISSN  0090-5364. S2CID  14703802.
26. Фишер, Рональд Эйлмер, сэр (1973). Статистические методы и научный вывод ([3-е изд., перераб. и прим. ред.]). Нью-Йорк: Hafner Press. ISBN 0-02-844740-9. OCLC  785822.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
27. Итон, Моррис Л.; Саддерт, Уильям Д. (2012). «Инвариантность, сопоставление моделей и сопоставление вероятностей». Санкхья: Индийский журнал статистики, серия A (2008-) . 74 (2): 170–193. doi :10.1007/s13171-012-0018-4. ISSN  0976-836X. JSTOR  42003718. S2CID  120705955.
28. Taraldsen, Gunnar; Lindqvist, Bo Henry (2013-02-01). "Теория доверительных отношений и оптимальный вывод". Анналы статистики . 41 (1). arXiv : 1301.1717 . doi : 10.1214/13-AOS1083 . ISSN  0090-5364. S2CID  88520957.
29. Кокс, DR; Хинкли, DV (1979-09-06). Теоретическая статистика. Chapman and Hall/CRC. doi :10.1201/b14832. ISBN 978-0-429-17021-8.
30. Рафи, Зад; Гринланд, Сандер (30.09.2020). «Семантические и когнитивные инструменты для помощи статистической науке: замените уверенность и значимость на совместимость и неожиданность». BMC Medical Research Methodology . 20 (1): 244. arXiv : 1909.08579 . doi : 10.1186/s12874-020-01105-9 . ISSN  1471-2288. PMC 7528258. PMID 32998683  . 
31. Кендалл, М. и Стюарт, А. (1974). Продвинутая теория статистики , том ?. (Глава 21). Wiley.
32. Rafi [aut, Zad; cre; Vigotsky, Andrew D. (2020-04-20), concurve: Computes and Plots Compatibility (Confidence) Intervals, P-Values, S-Values, & Likelihood Intervals to Form Consonance, Surprisal, & Likelihood Functions , получено 2020-05-05
33. "Concurve строит кривые консонанса, функции p-значения и функции S-значения «Статистическое моделирование, причинно-следственные связи и социальные науки". statmodeling.stat.columbia.edu . Получено 15.04.2020 .
34. Инфангер, Денис (29.11.2019), pvaluefunctions: создает и строит графики функций P-значения, функций S-значения, доверительных распределений и плотностей доверительных распределений , получено 15.04.2020
35. Блэк, Джеймс; Ротман, Кен; Телуолл, Саймон (2019-01-23), эпиграф: Эпиграф Ротмана , получено 2020-04-15
36. "Modern Epidemiology, 2nd Edition". www.krothman.org . Архивировано из оригинала 2020-01-29 . Получено 2020-04-15 .

Библиография

• Xie, M. и Singh, K. (2013). [1] «Распределение уверенности, оценка частотного распределения параметра: обзор». International Statistical Review , 81 , 3–39.
• Шведер, Т. и Хьорт, Н. Л. (2016). [2] Уверенность, правдоподобие, вероятность: статистический вывод с доверительными распределениями . Лондон: Cambridge University Press. ISBN 9781139046671 
• Фишер, Р. А. (1956). Статистические методы и научный вывод . Нью-Йорк: Hafner. ISBN 0-02-844740-9 . 
• Фишер, РА (1955). «Статистические методы и научная индукция» Дж. Рой. Statist. Soc. Ser. B. 17, 69—78. (критика статистических теорий Ежи Неймана и Абрахама Вальда с точки зрения доверия)
• Ханниг, Дж. (2009). «Об обобщенном фидуциальном выводе». Statistica Sinica , 19 , 491–544.
• Лоулесс, Ф. и Фредетт, М. (2005). «Частотные интервалы прогнозирования и предсказательные распределения». Biometrika. 92(3) 529–542.
• Леманн, Э. Л. (1993). «Теории проверки гипотез Фишера, Неймана–Пирсона: одна теория или две?» Журнал Американской статистической ассоциации 88 1242–1249.
• Нейман, Ежи (1956). «Заметка о статье сэра Рональда Фишера». Журнал Королевского статистического общества . Серия B (Методологическая) 18 (2): 288–294. JSTOR  2983716. (ответ Фишеру 1955, который диагностирует ошибку «фидуциального вывода»)
• Шведер Т., Садыкова Д., Руф Д. и Коски В. (2010) «Оценки популяции по данным аэрофотосъемки гренландских китов с естественными и изменчивыми метками» Журнал сельскохозяйственной биологической и экологической статистики 2010 15: 1–19
• Битюков С., Красников Н., Надараджа С. и Смирнова В. (2010) «Распределения доверия в статистических выводах». Труды конференции AIP, 1305 , 346-353.
• Сингх, К. и Кси, М. (2012). «CD-постериорная --- объединение априорных и данных посредством доверительных распределений». Современные разработки в байесовском анализе и статистической теории принятия решений: юбилейный сборник для Уильяма Э. Страудермана. (Д. Фурдринье и др., ред.). Коллекция IMS, том 8, 200-214.