.stl/1280px-Dodecadodecahedron_(fixed_geometry).stl.png)
В геометрии додекадодекаэдр — невыпуклый однородный многогранник , индексируемый как U 36 . [1] Это выпрямление большого додекаэдра (и его двойственного, малого звёздчатого додекаэдра ). Он был открыт независимо Гессом (1878), Бадуро (1881) и Питчем (1882) .
Грани этой модели образуют 10 центральных шестиугольников , которые, спроецированные на сферу , становятся 10 большими окружностями . Эти 10, вместе с большими окружностями проекций двух других многогранников, образуют 31 большую окружность сферического икосаэдра, используемого при строительстве геодезических куполов .
Он имеет четыре конструкции Витхоффа между четырьмя семействами треугольников Шварца : 2 | 5 5/2 , 2 | 5 5/3 , 2 | 5/2 5/4 , 2 | 5/3 5/4 , но представляет идентичные результаты. Аналогично ему можно дать четыре расширенных символа Шлефли : r{5/2,5}, r{5/3,5}, r{5/2,5/4} и r{5/3,5/4} или как диаграммы Коксетера-Дынкина :
,
,
, и.
Фигуру с таким же внешним видом, как у додекадодекаэдра, можно построить, сложив эти развертки:
Необходимо 12 пентаграмм и 20 ромбических кластеров. Однако эта конструкция заменяет пересекающиеся пятиугольные грани додекадодекаэдра непересекающимися наборами ромбов, поэтому она не создает ту же самую внутреннюю структуру.
Его выпуклая оболочка — икосододекаэдр . Он также разделяет расположение ребер с малым додекагемикосаэдром (имеющим общие пентаграммные грани) и с большим додекагемикосаэдром (имеющим общие пятиугольные грани).
Этот многогранник можно считать выпрямленным большим додекаэдром . Он является центром усеченной последовательности между малым звездчатым додекаэдром и большим додекаэдром :
Усеченный малый звездчатый додекаэдр выглядит как додекаэдр на поверхности, но у него 24 грани: 12 пятиугольников из усеченных вершин и 12 перекрывающихся как (усеченные пентаграммы). Усечение самого додекадодекаэдра не является однородным, и попытка сделать его однородным приводит к вырожденному многограннику (который выглядит как небольшой ромбододекаэдр с {10/2} полигонами, заполняющими додекаэдрический набор отверстий), но у него есть однородное квазиусечение, усеченный додекадодекаэдр .
Топологически он эквивалентен факторпространству пятиугольной мозаики гиперболического порядка 4 , искажая пентаграммы обратно в правильные пятиугольники . Таким образом, он является топологически правильным многогранником индекса два: [2] [ 3 ]
Медиальный ромбический триаконтаэдр является двойственным к додекадодекаэдру. Он имеет 30 пересекающихся ромбических граней.
Топологически он эквивалентен факторпространству гиперболической квадратной мозаики порядка 5 , путем искажения ромбов в квадраты . Таким образом, он является топологически правильным многогранником индекса два: [4]
Обратите внимание, что квадратная мозаика порядка 5 является двойственной пятиугольной мозаике порядка 4 , а фактор-пространство пятиугольной мозаики порядка 4 топологически эквивалентно двойственному пространству срединного ромбического триаконтаэдра — додекадодекаэдру.