stringtranslate.com

Большой додекаэдр

3D модель большого додекаэдра

В геометрии большой додекаэдр — один из четырёх многогранников Кеплера–Пуансо . Он состоит из 12 пятиугольных граней (шести пар параллельных пятиугольников), пересекающихся друг с другом, образуя пентаграммный путь, в каждой вершине которого сходятся пять пятиугольников.

Строительство

Один из способов построить большой додекаэдр — огранить правильный икосаэдр . Другими словами, он строится из правильного икосаэдра путем удаления его многоугольных граней без изменения или создания новых вершин. [1] Другой способ — сформировать правильный пятиугольник каждой из пяти вершин внутри правильного икосаэдра и двенадцатью правильными пятиугольниками, пересекающимися друг с другом, образуя пентаграмму в качестве вершинной фигуры . [2] [3]

Большой додекаэдр также может быть интерпретирован как вторая звёздчатая форма додекаэдра . Строительство началось с правильного додекаэдра путём присоединения 12 пятиугольных пирамид к каждой из его граней, известных как первая звёздчатая форма . Вторая звёздчатая форма появляется, когда к ней прикрепляются 30 клиньев . [4]

Формулы

Дан большой додекаэдр с длиной ребра . Радиус описанной окружности большого додекаэдра равен: Площадь его поверхности равна: Его объем равен: [5]

Появление

Исторически большой додекаэдр является одним из двух тел, открытых Луи Пуансо в 1810 году, и некоторые люди назвали его в его честь, тело Пуансо . Что касается предыстории, Пуансо заново открыл два других тела, которые уже были открыты Иоганном Кеплером — малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр . [3] Однако большой додекаэдр появился в Perspectiva Corporum Regularium 1568 года Венцеля Ямницера , хотя его рисунок несколько похож. [6]

Большой додекаэдр появился в популярной культуре и игрушках. Примером может служить головоломка «Звезда Александра» , кубик Рубика , основанный на большом додекаэдре. [7]

Связанные многогранники

Соединение малого звёздчатого додекаэдра и большого додекаэдра — это соединение многогранников , в котором большой додекаэдр является внутренним по отношению к своему двойственному , малому звёздчатому додекаэдру . Это можно рассматривать как один из двух трёхмерных эквивалентов соединения двух пентаграмм ({10/4} " декаграмма "); эта серия продолжается в четвёртом измерении как соединения звёздчатых 4-многогранников .

Процесс усечения , примененный к большому додекаэдру, производит ряд невыпуклых однородных многогранников . Усечение ребер до точек производит додекадодекаэдр как выпрямленный большой додекаэдр. Процесс завершается как биректификация, сводящая исходные грани к точкам и производящая малый звездчатый додекаэдр .

Он имеет такое же расположение ребер , как и выпуклый правильный икосаэдр ; соединение с ними обоими представляет собой малый сложный икосододекаэдр .

Ссылки

  1. ^ Инчбальд, Гай (2006). «Facetting Diagrams». The Mathematical Gazette . 90 (518): 253–261. JSTOR  40378613.
  2. ^ Пью, Энтони (1976). Многогранники: визуальный подход. Издательство Калифорнийского университета. стр. 85.
  3. ^ аб Барнс, Джон (2012). Жемчужины геометрии (2-е изд.). Спрингер. п. 46. ​​дои : 10.1007/978-3-642-30964-9. ISBN 978-3-642-30964-9.
  4. ^ Кромвель, Питер (1997). Многогранники. Cambridge University Press . стр. 265.
  5. ^ Френч, Дуг; Джордан, Дэвид (2010). «Додекаэдральные срезы и многогранные части». The Mathematical Gazette . 92 (529): 5–17. JSTOR  27821883.
  6. ^ Скриба, Кристоф; Шрайбер, Питер (2015). 5000 лет геометрии: математика в истории и культуре. Springer. стр. 305. doi :10.1007/978-3-0348-0898-9. ISBN 978-3-0348-0898-9.
  7. ^ "Звезда Александра". Игры . № 32. Октябрь 1982. С. 56.

Внешние ссылки