В математической дисциплине теории порядка дополненная решетка — это ограниченная решетка (с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1), в которой каждый элемент a имеет дополнение , т. е. элемент b , удовлетворяющий соотношениям a ∨ b = 1 и a ∧ b = 0. Дополнения не обязательно должны быть уникальными.
Относительно дополненная решетка — это решетка, в которой каждый интервал [ c , d ], рассматриваемый как ограниченная решетка сама по себе, является дополненной решеткой.
Ортодополнение на дополненной решетке — это инволюция , которая обращает порядок и отображает каждый элемент в дополнение. Ортодополненная решетка, удовлетворяющая слабой форме модулярного закона, называется ортомодулярной решеткой .
В ограниченных дистрибутивных решетках дополнения уникальны. Каждая дополненная дистрибутивная решетка имеет уникальное ортодополнение и фактически является булевой алгеброй .
Дополняемая решетка — это ограниченная решетка (с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1), в которой каждый элемент a имеет дополнение , т.е. элемент b такой, что
В общем случае элемент может иметь более одного дополнения. Однако в (ограниченной) дистрибутивной решетке каждый элемент будет иметь не более одного дополнения. [1] Решетка, в которой каждый элемент имеет ровно одно дополнение, называется решеткой с уникальным дополнением [2]
Решетка со свойством, что каждый интервал (рассматриваемый как подрешетка) является дополняемым, называется относительно дополняемой решеткой . Другими словами, относительно дополняемая решетка характеризуется свойством, что для каждого элемента a в интервале [ c , d ] существует элемент b такой, что
Такой элемент b называется дополнением элемента a относительно интервала.
Дистрибутивная решетка является дополняемой тогда и только тогда, когда она ограничена и относительно дополняема. [3] [4] Решетка подпространств векторного пространства представляет собой пример дополняемой решетки, которая, вообще говоря, не является дистрибутивной.
Ортодополнение на ограниченной решетке — это функция, которая отображает каждый элемент a в «ортодополнение» a ⊥ таким образом, что выполняются следующие аксиомы: [ 5]
Ортодополненная решетка или орторешетка — это ограниченная решетка, снабженная ортодополнением. Решетка подпространств пространства внутреннего произведения и операция ортогонального дополнения дают пример ортодополненной решетки, которая, в общем случае, не является дистрибутивной. [6]
Булевы алгебры являются частным случаем ортодополняемых решеток, которые в свою очередь являются частным случаем дополняемых решеток (с дополнительной структурой). Орторешетки чаще всего используются в квантовой логике , где замкнутые подпространства сепарабельного гильбертова пространства представляют квантовые предложения и ведут себя как ортодополняемая решетка.
Ортодополненные решетки, подобно булевым алгебрам, удовлетворяют законам де Моргана :
Решетка называется модульной, если для всех элементов a , b и c выполняется импликация
выполняется. Это слабее, чем дистрибутивность ; например, показанная выше решетка M 3 является модулярной, но не дистрибутивной.
Естественное дальнейшее ослабление этого условия для ортодополненных решеток, необходимое для приложений в квантовой логике, состоит в том, чтобы требовать его только в особом случае b = a ⊥ . Ортомодулярная решетка поэтому определяется как ортодополненная решетка, такая что для любых двух элементов импликация
держится.
Решетки такого вида имеют решающее значение для изучения квантовой логики , поскольку они являются частью аксиомизации формулировки гильбертова пространства квантовой механики . Гаррет Биркгоф и Джон фон Нейман заметили, что исчисление высказываний в квантовой логике «формально неотличимо от исчисления линейных подпространств [гильбертова пространства] относительно произведений множеств , линейных сумм и ортогональных дополнений», соответствующих ролям и , или и не в булевых решетках. Это замечание подстегнуло интерес к замкнутым подпространствам гильбертова пространства, которые образуют ортомодулярную решетку. [7]