Кривая дракона

Фрактальная конструкция с помощью L-систем

Кривая дракона на шоссе

Кривая дракона — это любой член семейства самоподобных фрактальных кривых , которые можно аппроксимировать рекурсивными методами, такими как системы Линденмайера . Кривую дракона, вероятно, чаще всего рассматривают как форму, которая получается в результате многократного сгибания полоски бумаги пополам, хотя существуют и другие кривые, называемые кривыми дракона, которые генерируются по-другому.

Шоссейный дракон

Дракон Хайвея (также известный как дракон Хартера-Хайвея или дракон Парка Юрского периода ) был впервые исследован физиками НАСА Джоном Хейвеем, Брюсом Бэнксом и Уильямом Хартером. Он был описан Мартином Гарднером в его колонке «Математические игры» в Scientific American в 1967 году. Многие из его свойств были впервые опубликованы Чендлером Дэвисом и Дональдом Кнутом . Оно появилось на титульных страницах романа Майкла Крайтона «Парк Юрского периода» . ^[1]

Строительство

Рекурсивное построение кривой

Рекурсивное построение кривой

Дракон шоссе может быть построен из сегмента базовой линии путем многократной замены каждого сегмента двумя сегментами под прямым углом и с поворотом на 45 ° попеременно вправо и влево: ^[2]

Первые 5 итераций и 9-я

Дракон шоссе также является предельным набором следующей итерированной системы функций в комплексной плоскости:

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}}$

с начальным набором точек . ${\displaystyle S_{0}=\{0,1\}}$

Если вместо этого использовать пары действительных чисел, это то же самое, что и две функции, состоящие из

${\displaystyle f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

Складывание дракона

Кривую дракона на шоссе можно построить, сложив полоску бумаги , именно так она была первоначально обнаружена. ^[1] Возьмите полоску бумаги и согните ее пополам вправо. Сложите его еще раз пополам вправо. Если бы полосу развернули сейчас, разгибая каждую складку и превращая ее в поворот на 90 градусов, последовательность поворотов была бы RRL, то есть второй итерацией Дракона Хайвея. Снова согните полоску пополам вправо, и последовательность поворотов развернутой полоски теперь будет RRLRRLL — третья итерация шоссейного дракона. Продолжаем сгибать полосу пополам вправо, чтобы создать дальнейшие итерации шоссейного дракона (на практике полоса становится слишком толстой, чтобы резко сложить ее после четырех или пяти итераций).

Схемы складывания этой последовательности бумажных полосок в виде последовательности правых (R) и левых (L) складок:

• 1-я итерация: Р
• 2-я итерация: Р Р Л
• 3-я итерация: Р Р Л Р Р Л Л
• 4-я итерация: R R L R R L L R R R L L R L L .

Каждую итерацию можно найти, скопировав предыдущую итерацию, затем букву R, а затем вторую копию предыдущей итерации в обратном порядке, поменяв местами буквы L и R. ^[1]

Характеристики

• В кривой дракона на шоссе можно увидеть множество самоподобий . Наиболее очевидным является повторение одной и той же схемы под углом 45° и с коэффициентом уменьшения . Основываясь на этом самоподобии, многие из его длин представляют собой простые рациональные числа. ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$

Замощение плоскости кривыми дракона

• Кривая дракона может замостить плоскость . Одна из возможных мозаик заменяет каждый край квадратной мозаики кривой дракона, используя рекурсивное определение дракона, начиная с отрезка линии. Начальное направление расширения каждого сегмента можно определить по раскраске квадратной плитки в шахматном порядке, расширению вертикальных сегментов на черные плитки и из белых плиток, а также расширению горизонтальных сегментов на белые плитки и из черных. ^[3]
• Как несамопересекающаяся кривая, заполняющая пространство , кривая дракона имеет фрактальную размерность ровно 2. Для кривой дракона с начальной длиной сегмента 1 ее площадь равна 1/2, как видно из мозаики плоскости. ^[1]
• Граница множества, покрытого кривой дракона, имеет бесконечную длину и фрактальную размерность.
  $${\displaystyle 2\log _{2}\lambda \approx 1.523627086202492,}$$
  где
  $${\displaystyle \lambda ={\frac {1+(28-3{\sqrt {87}})^{1/3}+(28+3{\sqrt {87}})^{1/3}}{3}}\approx 1.69562076956}$$
  является действительным решением уравнения ^[4] ${\displaystyle \lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.}$

Двойной дракон

Кривая Twindragon, построенная из двух драконов шоссе.

Дракон -близнец (также известный как дракон Дэвиса-Кнута ) может быть построен путем размещения двух кривых дракона Шоссе друг за другом. Это также предельный набор следующей итерируемой системы функций:

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}}}$

где исходная форма определяется следующим набором . ${\displaystyle S_{0}=\{0,1,1-i\}}$

Ее также можно записать как систему Линденмайера – нужно только добавить еще один раздел в исходную строку:

• угол 90°
• начальная строка FX+FX+
• правила перезаписи строк
  • Икс ↦ Х + YF
  • Y ↦ FX - Y .

Это также геометрическое место точек на комплексной плоскости с одной и той же целой частью при записи в базовом формате ${\displaystyle (-1\pm i)}$ . ^[5]

Тердрагон

Кривая Тердрагона.

Скульптура, изображающая несколько итераций системы Линденмайера, генерирующей кривую тердрагона.
Генри Сегерман

Тердрагона можно записать в виде системы Линденмайера :

• угол 120°
• начальная строка F
• правила перезаписи строк
  • F ↦ F+F−F .

Это предельный набор следующей итерируемой системы функций:

${\displaystyle f_{1}(z)=\lambda z}$

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda }$

${\displaystyle f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}}$

${\displaystyle {\mbox{where }}\lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ and }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.}$

Леви дракон

Кривую C Леви иногда называют драконом Леви . ^[6]

Варианты

Кривая единорога

Львиная кривая

Кривая дракона принадлежит к базовому набору итерационных функций, состоящему из двух линий с четырьмя возможными ориентациями под перпендикулярными углами:

Возможно изменение угла поворота с 90° на другие углы. Изменение угла на 120° дает структуру треугольников, а угол 60° дает следующую кривую:

Кривая дракона, вариант 60°. Самоподобие отчетливо видно.

Дискретную кривую дракона можно преобразовать в полимино дракона , как показано. Подобно дискретным кривым дракона, полимино дракона приближаются к фрактальной кривой дракона как к пределу.

Дракон Полимино

Появление кривой дракона в наборах решений

Получив набор решений линейного дифференциального уравнения, любая линейная комбинация решений в силу принципа суперпозиции также будет подчиняться исходному уравнению. Другими словами, новые решения получаются путем применения функции к множеству существующих решений. Это похоже на то, как итерированная система функций создает новые точки в наборе, хотя не все IFS являются линейными функциями. Аналогично, набор полиномов Литтлвуда может быть получен путем такого повторного применения набора функций.

Полином Литтлвуда — это полином: где все . ${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,}$ ${\displaystyle a_{i}=\pm 1}$

Для некоторых мы определяем следующие функции: ${\displaystyle |w|<1}$

${\displaystyle f_{+}(z)=1+wz}$

${\displaystyle f_{-}(z)=1-wz}$

Начиная с z=0, мы можем сгенерировать все полиномы Литтлвуда степени d, используя эти функции итеративно d+1 раз. ^[7] Например: ${\displaystyle f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}}$

Можно видеть, что для приведенная выше пара функций эквивалентна формулировке IFS для шоссейного дракона. То есть дракон Хайвея, итерированный до определенной итерации, описывает набор всех полиномов Литтлвуда до определенной степени, оцененных в точке . Действительно, при построении достаточно большого числа корней полиномов Литтлвуда в точках, близких к этим координатам, появляются структуры, подобные кривой дракона. ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle w=(1+i)/2}$ ${\displaystyle w=(1+i)/2}$

Смотрите также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Комплексно-базовая система

Рекомендации

1. Табачников, Сергей (2014), «Возвращение к кривым Дракона», The Mathematical Intelligencer , 36 (1): 13–17, doi : 10.1007/s00283-013-9428-y, MR  3166985, S2CID  14420269
2. Эдгар, Джеральд (2008), «Дракон шоссе», в Эдгаре, Джеральд (редактор), « Мера, топология и фрактальная геометрия» , «Тексты для студентов по математике» (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, стр. 20–22. , doi : 10.1007/978-0-387-74749-1, ISBN 978-0-387-74748-4, МР  2356043
3. Эдгар (2008), «Дракон на шоссе облицовывает самолет плиткой», стр. 74–75.
4. Эдгар (2008), «Граница шоссе Дракона», стр. 194–195.
5. Кнут, Дональд (1998). «Позиционные системы счисления». Искусство компьютерного программирования . Том. 2 (3-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. п. 206. ИСБН 0-201-89684-2. ОСЛК  48246681.
6. Бейли, Скотт; Ким, Теодор; Стрихарц, Роберт С. (2002), «Внутри дракона Леви», The American Mathematical Monthly , 109 (8): 689–703, номер документа : 10.2307/3072395, JSTOR  3072395, MR  1927621.
7. "Кафе n-категории".
8. "Неделя285".
9. «Красота корней». 11 декабря 2011 г.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Кривая Дракона», MathWorld
• Кнут на Кривой Дракона