Дробная часть

Превышение неотрицательного действительного числа за его целую часть

График дробной части действительных чисел

Дробная часть или десятичная часть ^[1] неотрицательного действительного числа — это превышение целой части этого числа . Последнее определяется как наибольшее целое число, не превышающее x , называемое полом x или . Тогда дробную часть можно сформулировать как разность : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0}$.

Следовательно, для положительного числа , записанного в обычной позиционной системе счисления (например, двоичной или десятичной ), его дробная часть соответствует цифрам, появляющимся после точки счисления . Результатом является действительное число в полуоткрытом интервале [0, 1).

Для отрицательных чисел

Однако в случае отрицательных чисел существуют различные противоречивые способы распространить на них функцию дробной части: она либо определяется так же, как и для положительных чисел, то есть (Грэм, Кнут и Паташник 1992), ^[2] или как часть числа справа от точки счисления (Daintith 2004), ^[3] или как нечетная функция : ^[4] ${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}}$

наименьшее целое число не меньше x , также называемое потолком x . В результате мы можем получить, например, три разных значения дробной части всего лишь одного x : пусть это будет -1,3, его дробная часть будет равна 0,7 по первому определению, 0,3 по второму определению и -0,3. согласно третьему определению, результат которого также можно получить непосредственным путем, ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$.

Определения и «нечетная функция» допускают уникальное разложение любого действительного числа x на сумму его целой и дробной частей, где «целая часть» относится к или соответственно. Эти два определения функции дробной части также обеспечивают идемпотентность . ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$

Дробная часть, определяемая отличием от ⌊ ⌋ , обычно обозначается фигурными скобками :

${\displaystyle \{x\}:=x-\lfloor x\rfloor .}$

Отношение к цепным дробям

Каждое действительное число может быть по существу однозначно представлено в виде непрерывной дроби , а именно как сумма его целой части и обратной его дробной части, которая записывается как сумма его целой части и обратной его дробной части, и так далее.

Смотрите также

• Группа кругов
• Равнораспределенная последовательность
• Однопараметрическая группа
• Число Писо – Виджаярагавана
• Значение

Рекомендации

1. «Десятичная часть». OxfordDictionaries.com . Архивировано из оригинала 15 февраля 2018 года . Проверено 15 февраля 2018 г.
2. Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1992), Конкретная математика: основа информатики , Аддисон-Уэсли, с. 70, ISBN 0-201-14236-8
3. Дэйнтит, Джон (2004), Компьютерный словарь , Oxford University Press
4. Вайсштейн, Эрик В. «Дробная часть». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram