Двойственность Крамерса–Ванье

Дуальность Крамерса –Ванье — это симметрия в статистической физике . Она связывает свободную энергию двумерной модели Изинга с квадратной решеткой при низкой температуре с энергией другой модели Изинга при высокой температуре. Она была открыта Хендриком Крамерсом и Грегори Ванье в 1941 году. ^[1] С помощью этой дуальности Крамерс и Ванье нашли точное местоположение критической точки для модели Изинга на квадратной решетке.

Подобные дуальности устанавливают отношения между свободными энергиями других статистических моделей. Например, в 3 измерениях модель Изинга дуальна калибровочной модели Изинга.

Интуитивная идея

Двумерная модель Изинга существует на решетке, которая представляет собой набор квадратов в шахматном порядке. При конечной решетке ребра могут быть соединены, образуя тор. В теориях такого рода строится инволютивное преобразование . Например, Ларс Онсагер предположил, что преобразование «Звезда-Треугольник» может быть использовано для треугольной решетки. ^[2] Теперь дуал дискретного тора — это он сам . Более того, дуал сильно неупорядоченной системы (высокая температура) — это хорошо упорядоченная система (низкая температура). Это происходит потому, что преобразование Фурье переводит сигнал с высокой полосой пропускания (большее стандартное отклонение ) в сигнал с низкой полосой пропускания (меньшее стандартное отклонение). Таким образом, по сути, получается та же теория с обратной температурой.

Когда в одной теории повышают температуру, в другой понижают. Если есть только один фазовый переход , он будет в точке, в которой они пересекаются, в которой температуры равны. Поскольку 2D-модель Изинга переходит из неупорядоченного состояния в упорядоченное, существует почти однозначное отображение между неупорядоченной и упорядоченной фазами.

Теория была обобщена и теперь смешана со многими другими идеями. Например, квадратная решетка заменена кругом, ^[3] случайной решеткой, ^[4] неоднородным тором, ^[5] треугольной решеткой, ^[6] лабиринтом, ^[7] решетками с закрученными границами, ^[8] хиральной моделью Поттса, ^[9] и многими другими.

Одним из следствий дуальности Крамерса-Ванье является точное соответствие в спектре возбуждений по обе стороны от критической точки. Это было недавно продемонстрировано с помощью ТГц-спектроскопии в цепях Китаева . ^[10]

Вывод

Сначала определим переменные. В двумерной квадратной решеточной модели Изинга число горизонтальных и вертикальных связей принято равным. Связи спинов в двух направлениях различны, и один устанавливает и с . Низкотемпературное разложение функции статистической суммы спина для (K ^* ,L ^* ) получено из стандартного разложения ${\displaystyle J,J'}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle K^{*}=\beta J}$ ${\displaystyle L^{*}=\beta J'}$ ${\displaystyle \beta =1/kT}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Z_{N}}$

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2\sum _{P\subset \Lambda _{D}}e^{K^{*}(N-2s)}e^{L^{*}(N-2r)}}$

является

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2e^{N(K^{*}+L^{*})}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}(e^{-2L^{*}})^{r}(e^{-2K^{*}})^{s}}$,

фактор 2, происходящий из симметрии переворота спина для каждого . Здесь сумма по означает суммирование по замкнутым многоугольникам на решетке, что приводит к графическому соответствию из суммы по спинам со значениями . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pm 1}$

Используя следующее преобразование переменных , т.е. ${\displaystyle (K,L)}$

${\displaystyle \tanh K=e^{-2L^{*}},\ \tanh L=e^{-2K^{*}}}$

один получает

${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2(\tanh K\;\tanh L)^{-N/2}\sum _{P}v^{r}w^{s}}$

${\displaystyle =2(\sinh 2K\;\sinh 2L)^{-N/2}Z_{N}(K,L)}$

где и . Это дает соотношение отображения между низкотемпературным расширением и высокотемпературным расширением, описываемое как дуальность (здесь дуальность Крамерса-Ванье). С помощью соотношений ${\displaystyle v=\tanh K}$ ${\displaystyle w=\tanh L}$ ${\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})}$ ${\displaystyle Z_{N}(K,L)}$

${\displaystyle \tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}},\;\sinh 2x=2\sinh x\cosh x}$

приведенные выше гиперболические тангенсные соотношения, определяющие и, могут быть записаны более симметрично как ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \,\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1,\;\;\sinh 2L^{*}\sinh 2K=1.}$

При свободной энергии на узел в термодинамическом пределе

${\displaystyle f(K,L)=\lim _{N\rightarrow \infty }f_{N}(K,L)=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}(K,L)}$

двойственность Крамерса-Ванье дает

${\displaystyle f(K^{*},L^{*})=f(K,L)+{\frac {1}{2}}kT\log(\sinh 2K\sinh 2L)}$

В изотропном случае, когда K = L , если есть критическая точка при K = K _c , то есть и другая при K = K ^* _c . Следовательно, в случае существования единственной критической точки, она будет расположена при K = K ^* = K ^* _c , подразумевая sinh 2K _c = 1 , что дает

${\displaystyle kT_{c}=2.2692J}$.

Результат также может быть записан и получен ниже как

${\displaystyle e^{2K_{c}}=1+{\sqrt {2}}.}$

Двойственность Крамерса-Ванье в других контекстах

Двойственность Крамерса-Ванье проявляется также в других контекстах. ^{[11] [12] [13]} Мы рассматриваем здесь, в частности, двумерную теорию скалярного поля ^{[14] [15]} В этом случае более удобной переменной, чем ${\displaystyle \Phi .}$ ${\displaystyle \sinh(2K)}$

${\displaystyle s(K):=\exp(2K)\tanh(K).}$

С помощью этого выражения можно построить самодвойственную величину

${\displaystyle \xi ^{2}:={\frac {s(K)}{(1-s(K))^{2}}}={\frac {s(K^{*})}{(1-s(K^{*}))^{2}}}.}$

В контексте теории поля эта величина называется длиной корреляции . Следующий набор ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \beta (K):=\xi {\frac {dK}{d\xi }}={\frac {2s(K)(1-s(K))}{(1+s(K))[ds(K)/dK]}}.}$

Эта функция является бета-функцией теории перенормировки. Теперь предположим, что существует значение для которого , то есть . Нуль бета-функции обычно связан с симметрией, но только если нуль уникален. Решение дает (получено с помощью MAPLE) ${\displaystyle K^{*}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \beta (K^{*})=0}$ ${\displaystyle s(K^{*})=1}$ ${\displaystyle s(K^{*})=+1}$

${\displaystyle K^{*}=i\pi +{\frac {1}{2}}\ln(1+{\sqrt {2}}),\;\;{\frac {1}{2}}\ln(1+{\sqrt {2}}),\;\;\ln {\sqrt {1-{\sqrt {2}}}}}$.

Только второе решение является реальным и дает критическое значение Крамерса и Ванье как

${\displaystyle \exp(2K^{*})=1+{\sqrt {2}}}$.

Смотрите также

• модель Изинга
• S-дуальность
• модель ЗН

Ссылки

1. HA Kramers и GH Wannier, Phys. Rev. 60 (1941) 252
2. Сомендра М. Бхаттачарджи и Авинаш Кхаре, Пятьдесят лет точного решения двумерной модели Изинга Онсагера (1995) , arXiv :cond-mat/9511003
3. arXiv :cond-mat/9805301, Самодвойственное свойство модели Поттса в одном измерении , FY Wu
4. arXiv : hep-lat/0110063, Оператор Дирака и модель Изинга на компактной двумерной случайной решетке , Л.Богач, З.Бурда, Ю.Юркевич, А.Крживицкий, К.Петерсен, Б.Петерссон
5. arXiv :hep-th/9703037, Дуальность двумерной неоднородной модели Изинга на торе , А.И. Бугрий, В.Н. Шадура
6. arXiv :cond-mat/0402420, Самодуальность для связанных моделей Поттса на треугольной решетке , Жан-Франсуа Ришар, Йеспер Ликке Якобсен, Марко Пикко
7. arXiv :solv-int/9902009, Критическая модель Изинга в лабиринте , М. Бааке, У. Гримм , Р. Дж. Бакстер
8. arXiv :hep-th/0209048, Дуальность и конформные скрученные границы в модели Изинга , Уве Гримм
9. arXiv :0905.1924, Дуальность и симметрия в хиральной модели Поттса , Ши-шир Роан
10. Моррис, CM и др. «Двойственность и динамика доменных стенок в скрученной цепочке Китаева». Nature Physics 17.7 (2021): 832-836.
11. П. Севера, Квантовая дуальность Крамерса-Ванье и ее топология, hep-th/9803201
12. П. Севера, (Не)абелева двойственность Крамерса-Ванье и топологическая теория поля, hep-th/0206162
13. Б. Н. Шалаев, С. А. Антоненко и А. И. Соколов, Пятипетлевые разложения для случайной модели Изинга и предельная спиновая размерность для кубических систем, cond-mat/9803388 ${\displaystyle {\sqrt {\epsilon }}}$
14. Б. Н. Шалаев, Симметрия Крамерса-Ванье и дуальность сильной-слабой связи в двумерной полевой модели, cond.mat/0110205 ${\displaystyle \Phi ^{4}}$
15. Г. Джуг и Б. Н. Шалаев, Симметрия дуальности, сильное расширение связи и универсальные критические амплитуды в двумерных моделях поля, J. Phys. A32 (1999) 7249, cond-mat/9908068 ${\displaystyle \Phi ^{4}}$

Внешние ссылки

• HA Kramers и GH Wannier (1941). "Статистика двумерного ферромагнетика". Physical Review . 60 (3): 252–262. Bibcode : 1941PhRv...60..252K. doi : 10.1103/PhysRev.60.252.
• JB Kogut (1979). "Введение в решеточную калибровочную теорию и спиновые системы". Reviews of Modern Physics . 51 (4): 659–713. Bibcode : 1979RvMP...51..659K. doi : 10.1103/RevModPhys.51.659.