Матричный блок

Понятие в математике

В линейной алгебре матричная единица — это матрица с единственным ненулевым элементом со значением 1. ^{[1] [2]} Матричная единица с 1 в i -й строке и j -м столбце обозначается как . Например, матричная единица 3 на 3 с i = 1 и j = 2 — это Векторная единица — это стандартный единичный вектор . ${\displaystyle E_{ij}}$ $${\displaystyle E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

Матрица с одним элементом обобщает матричную единицу для матриц, имеющих только один ненулевой элемент любого значения, не обязательно значения 1.

Характеристики

Набор матричных единиц размером m на n является базисом пространства матриц размером m на n . ^[2]

Произведение двух матричных единиц одинаковой квадратной формы удовлетворяет соотношению, где — символ Кронекера . ^[2] ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\delta _{jk}E_{il},}$$ ${\displaystyle \delta _{jk}}$

Группа скалярных матриц размера n на n над кольцом R является централизатором подмножества матричных единиц размера n на n в множестве матриц размера n на n над кольцом R. ^[2 ]

Матричная норма (индуцированная теми же двумя векторными нормами) матричного блока равна 1.

При умножении на другую матрицу она изолирует определенную строку или столбец в произвольном положении. Например, для любой матрицы A размером 3 на 3 : ^[3]

${\displaystyle E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right].}$

${\displaystyle AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].}$

Ссылки

1. Артин, Майкл. Алгебра . Prentice Hall. стр. 9.
2. Lam, Tsit-Yuen (1999). "Глава 17: Матричные кольца". Лекции по модулям и кольцам . Тексты для аспирантов по математике . Том 189. Springer Science+Business Media . С. 461–479.
3. Марсель Блаттнер (2009). «B-Rank: A top N Recommendation Algorithm». arXiv : 0908.2741 [physics.data-an].