Вектор длины один
В математике единичный вектор в нормированном векторном пространстве — это вектор (часто пространственный вектор ) длины 1. Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с циркумфлексом , или «шляпкой», как в (произносится как «в-хэт»).
Нормализованный вектор û ненулевого вектора u является единичным вектором в направлении u , т.е.
где ‖ u ‖ — норма (или длина) u . [1] [2] Термин нормализованный вектор иногда используется как синоним единичного вектора .
Единичный вектор часто используется для представления направлений , таких как нормальные направления . Единичные векторы часто выбираются для формирования основы векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан в виде линейной комбинации единичных векторов.
Ортогональные координаты
Декартовы координаты
Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат . Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x , y и z трехмерной декартовой системы координат:
Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемый стандартным базисом в линейной алгебре .
Они часто обозначаются с использованием общей векторной нотации (например, x или ), а не стандартной единичной векторной нотации (например, x̂ ). В большинстве контекстов можно предположить, что x , y , и z , (или и ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Также используются нотации ( î , ĵ , k̂ ), ( x̂ 1 , x̂ 2 , x̂ 3 ), ( ê x , ê y , ê z ) или ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ), с или без шляпы [1], особенно в контекстах, где i , j , k могут привести к путанице с другой величиной (например, с индексными символами, такими как i , j , k , которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных).
Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовой системе координат как линейная комбинация x , y , z , его три скалярных компонента можно назвать направляющими косинусами . Значение каждого компонента равно косинусу угла, образованного единичным вектором с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой линии, сегмента прямой линии, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси ( вектора ).
Цилиндрические координаты
Три ортогональных единичных вектора, соответствующих цилиндрической симметрии, следующие:
- (также обозначается или ), представляющий направление, вдоль которого измеряется расстояние точки от оси симметрии;
- , представляющее направление движения, которое наблюдалось бы, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
- , представляющая направление оси симметрии;
Они связаны с декартовым базисом следующим образом :
Векторы и являются функциями и не являются постоянными по направлению. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах эти единичные векторы сами должны быть задействованы. Производные по имеют вид :
Сферические координаты
Единичные векторы, соответствующие сферической симметрии, следующие: , направление, в котором радиальное расстояние от начала координат увеличивается; , направление, в котором угол в плоскости x - y против часовой стрелки от положительной оси x увеличивается; и , направление, в котором угол от положительной оси z увеличивается. Чтобы минимизировать избыточность представлений, полярный угол обычно принимается лежащим между нулем и 180 градусами. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного триплета, записанного в сферических координатах , поскольку роли и часто меняются местами. Здесь используется американское «физическое» соглашение [3] . Это оставляет азимутальный угол определенным так же, как в цилиндрических координатах. Декартовы соотношения таковы:
Сферические единичные векторы зависят от обоих и , и, следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Для более полного описания см. Якобиева матрица и определитель . Ненулевые производные:
Общие единичные векторы
Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии : [4]
Криволинейные координаты
В общем случае система координат может быть однозначно задана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов [1] (фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного 3-мерного пространства эти векторы могут быть обозначены . Почти всегда удобно определить систему как ортонормальную и правостороннюю :
где — символ Кронекера (равный 1 для i = j и 0 в противном случае), а — символ Леви-Чивиты (равный 1 для перестановок, упорядоченных как ijk , и −1 для перестановок, упорядоченных как kji ).
Правый версор
Единичный вектор в был назван правым версором У. Р. Гамильтоном , когда он разработал свои кватернионы . Фактически, он был создателем термина вектор , поскольку каждый кватернион имеет скалярную часть s и векторную часть v . Если v является единичным вектором в , то квадрат v в кватернионах равен –1. Таким образом, по формуле Эйлера , является версором в 3-сфере . Когда θ является прямым углом , версор является правым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в .
Таким образом, правые версоры расширяют понятие мнимых единиц, обнаруженных в комплексной плоскости , где правые версоры теперь охватывают 2-сферу, а не пару {i, –i} в комплексной плоскости.
В более широком смысле, правый кватернион является действительным кратным правого версора.
Смотрите также
Найдите понятие единичного вектора в Викисловаре, бесплатном словаре.
Примечания
- ^ abc Weisstein, Eric W. "Единичный вектор". Wolfram MathWorld . Получено 2020-08-19 .
- ^ "Единичные векторы". Brilliant Math & Science Wiki . Получено 2020-08-19 .
- ^ Тевиан Дрей и Коринн А. Маног, Сферические координаты, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
- ^ Ф. Айрес; Э. Мендельсон (2009). Исчисление (серия набросков Шаума) (5-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
- ^ MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Векторный анализ (серия Schaum's Outlines) (2-е изд.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
Ссылки
- GB Arfken & HJ Weber (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
- Шпигель, Мюррей Р. (1998). Очерки Шаума: Математический справочник формул и таблиц (2-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
- Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.