Дробь единицы

Один больше целого числа

Кусочки примерно 1/8 пиццы.

Единичная дробь — это положительная дробь с единицей в числителе , 1/ n . Это мультипликативный обратный (обратный) знаменатель дроби , который должен быть положительным натуральным числом . Примеры: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и т. д. Когда объект делится на равные части, каждая часть представляет собой единичную долю целого.

Умножение двух единичных дробей дает еще одну единичную дробь, но другие арифметические операции не сохраняют единичные дроби. В модульной арифметике дробные единицы можно преобразовать в эквивалентные целые числа, что позволяет преобразовать модульное деление в умножение. Каждое рациональное число можно представить как сумму различных долей единицы; эти представления называются египетскими дробями на основании их использования в древнеегипетской математике . Многие бесконечные суммы единичных дробей имеют математический смысл.

В геометрии единичные дроби можно использовать для характеристики кривизны групп треугольников и касаний окружностей Форда . Единичные дроби обычно используются при справедливом делении , и это знакомое применение используется в математическом образовании как ранний шаг к пониманию других дробей. Единичные дроби широко распространены в теории вероятностей из-за принципа безразличия . Они также имеют применение в комбинаторной оптимизации и при анализе структуры частот в спектральном ряду водорода .

Арифметика

Единичные дроби – это рациональные числа , которые можно записать в виде

$${\displaystyle {\frac {1}{n}},}$$

натуральное числомультипликативными обратными числами^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

Элементарная арифметика

Умножение любых двух единичных дробей приводит к получению продукта, который представляет собой другую единичную дробь: ^[2]

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$$

сложение^[3] вычитание^[3]деление

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$$

Как показывает последняя из этих формул, каждую дробь можно выразить как частное двух единичных дробей. ^[4]

Модульная арифметика

В модульной арифметике любую единичную дробь можно преобразовать в эквивалентное целое число с помощью расширенного алгоритма Евклида . ^{[5] [6]} Это преобразование можно использовать для модульного деления: деление на число по модулю можно выполнить путем преобразования единичной дроби в эквивалентное целое число по модулю и последующего умножения на это число. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle y}$

Более подробно, предположим, что относительно просто ( в противном случае деление на не определено по модулю ). Расширенный алгоритм Евклида для определения наибольшего общего делителя можно использовать для поиска целых чисел и таких, чтобы удовлетворялось тождество Безу : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle \displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.}$$

${\displaystyle y}$ ${\displaystyle by}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.}$$

^{[5] [6]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$$

^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$

Комбинации

Некоторые конструкции в математике включают объединение нескольких дробных единиц вместе, часто путем их сложения.

Конечные суммы

Любое положительное рациональное число можно записать как сумму различных дробных единиц несколькими способами. Например,

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Эти суммы называются египетскими дробями , поскольку древние египетские цивилизации использовали их в качестве обозначения более общих рациональных чисел . Сегодня по-прежнему существует интерес к анализу методов, используемых древними для выбора среди возможных представлений дробного числа и вычислений с использованием таких представлений. ^[8] Тема египетских дробей также вызвала интерес в современной теории чисел ; например, гипотеза Эрдеша-Грэма ^[9] и гипотеза Эрдеша-Штрауса ^[10] касаются сумм единичных дробей, как и определение гармонических чисел Оре . ^[11]

Узор из сферических треугольников с симметрией отражения по каждому краю треугольника. Подобные сферические шаблоны отражения с , и треугольниками в каждой вершине (здесь ) существуют только тогда, когда . ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 2y}$ ${\displaystyle 2z}$ ${\displaystyle x,y,z=2,3,5}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}>1}$

В геометрической теории групп группы треугольников подразделяются на евклидовы, сферические и гиперболические случаи в зависимости от того, равна ли связанная сумма единичных дробей единице, больше единицы или меньше единицы соответственно. ^[12]

Бесконечная серия

Члены многих известных бесконечных рядов представляют собой доли единицы. К ним относятся:

• Гармонический ряд — сумма всех положительных единичных дробей. Эта сумма расходится, а ее частичные суммы
  $${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$$
  близко приближается к натуральному логарифму плюс константа Эйлера -Машерони . ^[13] Изменение каждого последующего сложения на вычитание дает чередующийся гармонический ряд, сумма которого равна натуральному логарифму 2 : ^[14] ${\displaystyle n}$
  $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• Формула Лейбница для π имеет вид ^[15]
  $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$
• Базельская задача касается суммы долей квадратных единиц: ^[16]
  $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$
  Точно так же константа Апери — это иррациональное число , сумма кубических дробей. ^[17]
• Бинарная геометрическая прогрессия — это ^[18]
  $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

Матрицы

Матрица Гильберта — это квадратная матрица , в которой все элементы на антидиагонали равны единице дроби . То есть в нем есть элементы ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1/i}$

$${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}}$$

обратной матрицы^[19]числа Фибоначчи

$${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$$

число^[20] ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Смежность и круги Форда

Дроби с касательными кругами Форда отличаются на единицу дроби

Две дроби и (в самых простых терминах) называются смежными , если ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$

$${\displaystyle ad-bc=\pm 1,}$$

$${\displaystyle \left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.}$$

^[21] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$ ${\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle ad-bc=3}$

Эта терминология возникла в результате изучения кругов Форда . Это система кругов, которые касаются числовой прямой в данной дроби и имеют диаметр в квадрате знаменателя дроби. Дроби и смежны тогда и только тогда, когда их окружности Форда являются касательными окружностями . ^[21] ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$

Приложения

Справедливое разделение и математическое образование

В математическом образовании единичные дроби часто вводятся раньше, чем другие виды дробей, из-за простоты визуального объяснения их как равных частей целого. ^{[22] [23]} Обычное практическое использование единичных дробей заключается в разделении еды поровну между несколькими людьми, а упражнения по выполнению такого рода справедливого деления являются стандартным примером в классе по обучению студентов работе с единичными дробями. ^[24]

Вероятность и статистика

Шестигранный кубик имеет вероятность выпадения 1/6 на каждой стороне.

При равномерном распределении в дискретном пространстве все вероятности равны долям единицы. Из-за принципа безразличия вероятности этой формы часто возникают в статистических расчетах. ^[25]

В законе Ципфа возникают неравные вероятности, связанные с долями единицы . Это означает, что для многих наблюдаемых явлений, связанных с выбором элементов из упорядоченной последовательности, вероятность того, что выбран элемент , пропорциональна доле единицы . ^[26] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

Комбинаторная оптимизация

При изучении задач комбинаторной оптимизации задачи упаковки корзин включают в себя входную последовательность предметов дробных размеров, которые необходимо поместить в корзины, емкость которых (общий размер предметов, помещенных в каждую корзину) равна единице. Исследование этих проблем включало изучение задач ограниченной упаковки в контейнеры, где размеры предметов представляют собой доли единицы. ^{[27] [28]}

Одной из причин этого является тестовый пример для более общих методов упаковки в контейнеры. Другой вариант включает в себя форму планирования «вертушки» , при которой набор сообщений одинаковой длины должен многократно транслироваться по ограниченному числу каналов связи, при этом каждое сообщение имеет максимальную задержку между моментами начала его повторных трансляций. Элемент, задержка которого в раз превышает длину сообщения, должен занимать по крайней мере часть временных интервалов на канале, которому он назначен, поэтому решение проблемы планирования может быть получено только путем решения проблемы упаковки контейнеров единичной доли. с каналами в качестве ячеек и фракциями в качестве размеров элементов. ^[27] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle 1/k}$

Даже в случае проблем с упаковкой в ​​корзину с предметами произвольных размеров может оказаться полезным округлить размер каждого предмета до следующей большей доли единицы, а затем применить алгоритм упаковки в корзину, специально предназначенный для размеров единичных фракций. В частности, метод упаковки гармонических ячеек делает именно это, а затем упаковывает каждую корзину, используя предметы только с размером одной округленной единицы. ^[28]

Физика

Спектральный ряд водорода в логарифмическом масштабе. Частоты эмиссионных линий пропорциональны разностям пар долей единицы.

Энергетические уровни фотонов , которые могут быть поглощены или испущены атомом водорода, согласно формуле Ридберга , пропорциональны разностям двух единичных долей. Объяснение этому явлению дает модель Бора , согласно которой энергетические уровни электронных орбиталей в атоме водорода обратно пропорциональны квадратным долям единицы, а энергия фотона квантуется разнице между двумя уровнями. ^[29]

Артур Эддингтон утверждал, что константа тонкой структуры представляет собой долю единицы. Сначала он думал, что это 1/136, но позже изменил свою теорию на 1/137. Это утверждение было опровергнуто, учитывая, что текущие оценки постоянной тонкой структуры составляют (с точностью до 6 значащих цифр) 1/137,036. ^[30]

Смотрите также

• Загадка о наследстве из 17 животных - головоломка , включающая справедливое разделение на отдельные дроби.
• Submultiple — число, которое дает единичную дробь при использовании в качестве числителя с заданным знаменателем.
• Суперчастичное отношение , единица плюс единичная дробь, важное для музыкальной гармонии.

Рекомендации

1. Кэви, Лори О.; Кинзел, Маргарет Т. (февраль 2014 г.), «От целых чисел к инвертированию и умножению», Teaching Children Mathematics , 20 (6): 374–383, doi : 10.5951/teacchilmath.20.6.0374, JSTOR  10.5951/teacchilmath.20.6. 0374
2. Соломон, Перл Голд (2007), Математика, которую нам нужно знать и выполнять в 6-9 классах: концепции, навыки, стандарты и оценки, Corwin Press, стр. 157, ISBN 978-1-4129-1726-1
3. Бетц, Уильям (1957), Алгебра сегодня, первый год , Джинн, стр. 370
4. Хуменбергер, Ганс (осень 2014 г.), «Египетские дроби - представления как суммы единичных дробей», Математика и компьютерное образование , 48 (3): 268–283, ProQuest  1622317875
5. Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Стейн, Клиффорд (2001) [1990], «31.4 Решение модульных линейных уравнений», Введение в алгоритмы (2-е изд.), MIT Press и McGraw-Hill, стр. 869–872, ISBN 0-262-03293-7
6. Гудрич, Майкл Т .; Тамассиа, Роберто (2015), «Раздел 24.2.2: Модульные мультипликативные инверсии», Разработка и применение алгоритмов , Wiley, стр. 697–698, ISBN 978-1-118-33591-8
7. Брент, Ричард П .; Циммерманн, Пол (2010), «2.5 Модульное деление и инверсия», Современная компьютерная арифметика (PDF) , Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, том. 18, Cambridge University Press, стр. 65–68, arXiv : 1004.4710 , doi : 10.1017/cbo9780511921698.001, ISBN. 978-1-139-49228-7, S2CID  441260
8. Гай, Ричард К. (2004), «D11. Египетские дроби», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag, стр. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2
9. Крут, Эрнест С. III (2003), «О гипотезе о раскраске единичных дробей», Annals of Mathematics , 157 (2): 545–556, arXiv : math.NT/0311421 , doi : 10.4007/annals.2003.157. 545, МР  1973054, S2CID  13514070
10. Эльшольц, Кристиан; Тао, Теренс (2013), «Подсчет количества решений уравнения Эрдеша – Штрауса в долях единицы» (PDF) , Журнал Австралийского математического общества , 94 (1): 50–105, arXiv : 1107.1010 , doi : 10.1017 /S1446788712000468, MR  3101397, S2CID  17233943
11. Оре, Эйстейн (1948), «О средних делителях числа», The American Mathematical Monthly , 55 (10): 615–619, doi : 10.2307/2305616, JSTOR  2305616
12. Магнус, Вильгельм (1974), Неевклидовы мозаики и их группы, Чистая и прикладная математика, том. 61, Академик Пресс, с. 65, ISBN 978-0-08-087377-0, МР  0352287
13. Боас, Р.П. младший ; Ренч, Дж. В. младший (1971), «Частичные суммы гармонического ряда», The American Mathematical Monthly , 78 (8): 864–870, doi : 10.1080/00029890.1971.11992881, JSTOR  2316476, MR  0289994
14. Френиче, Франциско Дж. (2010), «О теореме Римана о перестановке для знакопеременных гармонических рядов» (PDF) , The American Mathematical Monthly , 117 (5): 442–448, doi : 10.4169/000298910X485969, JSTOR  10.4169/000298910x48596 9, МР  2663251, S2CID  20575373
15. Рой, Ранджан (1990), «Открытие Лейбницем, Грегори и Нилакантой формулы ряда для π» (PDF) , Mathematics Magazine , 63 (5): 291–306, doi : 10.1080/0025570X.1990.11977541
16. Аюб, Раймонд (1974), «Эйлер и дзета-функция», The American Mathematical Monthly , 81 (10): 1067–86, doi : 10.2307/2319041, JSTOR  2319041
17. ван дер Поортен, Альфред (1979), «Доказательство, которое Эйлер пропустил ... Доказательство Апери иррациональности закона ζ ( 3 ) {\ displaystyle \ Zeta (3)}» ( PDF) , The Mathematical Intelligencer , 1 (4 ) ): 195–203, doi : 10.1007/BF03028234, S2CID  121589323, заархивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 г.
18. Эйлер, Леонхард (сентябрь 1983 г.), «Из элементов алгебры », Old Intelligencer, The Mathematical Intelligencer , 5 (3): 75–76, doi : 10.1007/bf03026580, S2CID  122191726
19. Чой, Ман Дуэн (1983), «Кошелек или угощение с матрицей Гильберта», The American Mathematical Monthly , 90 (5): 301–312, doi : 10.2307/2975779, JSTOR  2975779, MR  0701570
20. Ричардсон, Томас М. (2001), «Матрица Филберта» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 (3): 268–275, arXiv : math.RA/9905079 , Bibcode : 1999math...... 5079R
21. Ford, LR (1938), «Дроби», The American Mathematical Monthly , 45 (9): 586–601, doi : 10.1080/00029890.1938.11990863, JSTOR  2302799, MR  1524411
22. Полкингхорн, Ада Р. (май 1935), «Маленькие дети и фракции», Детское образование , 11 (8): 354–358, doi : 10.1080/00094056.1935.10725374
23. Эмпсон, Сьюзен Бейкер ; Джейкобс, Виктория Р.; Джессап, Наоми А.; Хьюитт, Эми; Пайнс, Д'Анна; Краузе, Глэдис (апрель 2020 г.), «Дроби единиц как супергерои для обучения», The Mathematics Teacher , 113 (4): 278–286, doi : 10.5951/mtlt.2018.0024, JSTOR  10.5951/mtlt.2018.0024, S2CID  216283105
24. Уилсон, П. Холт; Эджингтон, Синтия П.; Нгуен, Кенни Х.; Пескосолидо, Райан С.; Конфри, Джере (ноябрь 2011 г.), «Дроби: как справедливо разделить», Преподавание математики в средней школе , 17 (4): 230–236, doi : 10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230, JSTOR  10.5951/mathteacmiddscho.17.4. 0230
25. Уэлш, Алан Х. (1996), Аспекты статистического вывода , Серия Уайли по вероятности и статистике, том. 246, Джон Уайли и сыновья, с. 66, ISBN 978-0-471-11591-5
26. Саичев, Александр; Малевернь, Янник; Сорнетт, Дидье (2009), Теория закона Ципфа и не только , Конспекты лекций по экономике и математическим системам, том. 632, Шпрингер-Верлаг, ISBN 978-3-642-02945-5
27. Бар-Ной, Амоц; Ладнер, Ричард Э .; Тамир, Тами (2007), «Планирование Windows как ограниченная версия упаковки ячеек», Транзакции ACM в алгоритмах , 3 (3): A28:1–A28:22, doi :10.1145/1273340.1273344, MR  2344019, S2CID  2461059
28. ван Сти, Роб (июнь 2012 г.), «Колонка 20 онлайн-алгоритмов новостей SIGACT: Сила гармонии» (PDF) , ACM SIGACT News , 43 (2): 127–136, doi : 10.1145/2261417.2261440, S2CID  14805804
29. Ян, Фудзия ; Гамильтон, Джозеф Х. (2009), Современная атомная и ядерная физика , World Scientific, стр. 81–86, ISBN 978-981-283-678-6
30. Килмистер, Клайв Уильям (1994), Поиски Эддингтона фундаментальной теории: ключ к Вселенной , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37165-0