Термин «вектор направления» , обычно обозначаемый как d , используется для описания единичного вектора, используемого для представления пространственного направления и относительного направления . Пространственные направления в 2D численно эквивалентны точкам на единичной окружности
, а пространственные направления в 3D эквивалентны точкам на единичной сфере .
Нормализованный вектор û ненулевого вектора u является единичным вектором в направлении u , т. е.
где ‖ u ‖ — норма (или длина) u . [1] [2] Термин «нормализованный вектор» иногда используется как синоним единичного вектора .
Единичные векторы часто выбираются в качестве основы векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан как линейная комбинация единичных векторов.
Ортогональные координаты
Декартовы координаты
Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат . Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x , y и z трехмерной декартовой системы координат:
Они часто обозначаются с использованием общепринятых векторных обозначений (например, x или ), а не стандартных обозначений единичных векторов (например, x̂ ). В большинстве контекстов можно предположить, что x , y и z (или и ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Обозначения ( î , ĵ , k̂ ), ( x̂ 1 , x̂ 2 , x̂ 3 ), ( ê x , ê y , ê z ) или ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ), со шляпой или без нее , являются также используется, [1] особенно в контекстах, где i , j , k может привести к путанице с другой величиной (например, с индексными символами, такими как i , j , k , которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных).
Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовых обозначениях как линейная комбинация x , y , z , его три скалярные компоненты можно назвать направляющими косинусами . Значение каждой компоненты равно косинусу угла, образованного единичным вектором с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой, сегмента прямой, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси ( вектора ).
Цилиндрические координаты
Три ортогональных единичных вектора, соответствующие цилиндрической симметрии:
(также обозначается или ), обозначающий направление, по которому измеряется расстояние точки от оси симметрии;
, представляющее направление движения, которое наблюдалось бы, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
, представляющий направление оси симметрии;
Они связаны с декартовым базисом , , соотношением:
Векторы и являются функциями и не являются постоянными по направлению. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах необходимо также работать с самими единичными векторами. Производные по :
Сферические координаты
Единичные векторы, соответствующие сферической симметрии: , направление, в котором увеличивается радиальное расстояние от начала координат; , направление, в котором увеличивается угол в плоскости x - y против часовой стрелки от положительной оси x ; и , направление, в котором угол от положительной оси z увеличивается. Чтобы свести к минимуму избыточность представлений, полярный угол обычно принимается в пределах от нуля до 180 градусов. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного триплета, записанного в сферических координатах , поскольку роли и часто меняются местами. Здесь используется американская «физическая» конвенция [3] . В результате азимутальный угол определяется так же, как и в цилиндрических координатах. Декартовы отношения :
Сферические единичные векторы зависят как от , так и от , и, следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Более полное описание см. в разделе « Матрица и определитель Якобиана» . Ненулевые производные:
Общие единичные векторы
Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии : [4]
Криволинейные координаты
В общем, система координат может быть однозначно задана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов [1] (фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного трехмерного пространства эти векторы можно обозначить . Почти всегда удобно определить систему как ортонормированную и правую :
где – дельта Кронекера (которая равна 1 для i = j и 0 в противном случае) и – символ Леви-Чивита (который равен 1 для перестановок, упорядоченных как ijk , и −1 для перестановок, упорядоченных как kji ).
Правый вариант
Единичный вектор в был назван правым версором У. Р. Гамильтоном , когда он разработал свои кватернионы . Фактически, он был создателем термина вектор , поскольку каждый кватернион имеет скалярную часть s и векторную часть v . Если v является единичным вектором в , то квадрат v в кватернионах равен –1. Таким образом, по формуле Эйлера , является версором в 3-сфере . Когда θ является прямым углом , версор является прямым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в .
Смотрите также
Найдите единичный вектор в Викисловаре, бесплатном словаре.