Единичный вектор

Вектор длины один

В математике единичный вектор в нормированном векторном пространстве — это вектор (часто пространственный вектор ) длины 1. Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с циркумфлексом или «шляпой», как в (произносится как «v-»). шапка"). ${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$

Термин «вектор направления» , обычно обозначаемый как d , используется для описания единичного вектора, используемого для представления пространственного направления и относительного направления . Пространственные направления в 2D численно эквивалентны точкам на единичной окружности , а пространственные направления в 3D эквивалентны точкам на единичной сфере .

Примеры двух двумерных векторов направления

Примеры двух трехмерных векторов направления

Нормализованный вектор û ненулевого вектора u является единичным вектором в направлении u , т. е.

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}}$

где ‖ u ‖ — норма (или длина) u . ^{[1] [2]} Термин «нормализованный вектор» иногда используется как синоним единичного вектора .

Единичные векторы часто выбираются в качестве основы векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан как линейная комбинация единичных векторов.

Ортогональные координаты

Декартовы координаты

Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат . Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x , y и z трехмерной декартовой системы координат:

${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемый стандартным базисом в линейной алгебре .

Они часто обозначаются с использованием общепринятых векторных обозначений (например, x или ), а не стандартных обозначений единичных векторов (например, x̂ ). В большинстве контекстов можно предположить, что x , y и z (или и ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Обозначения ( î , ĵ , k̂ ), ( x̂ ₁ , x̂ ₂ , x̂ ₃ ), ( ê _x , ê _y , ê _z ) или ( ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ ), со шляпой или без нее , являются также используется, ^[1] особенно в контекстах, где i , j , k может привести к путанице с другой величиной (например, с индексными символами, такими как i , j , k , которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных). ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}},}$ ${\displaystyle {\vec {y}},}$ ${\displaystyle {\vec {z}}}$

Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовых обозначениях как линейная комбинация x , y , z , его три скалярные компоненты можно назвать направляющими косинусами . Значение каждой компоненты равно косинусу угла, образованного единичным вектором с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой, сегмента прямой, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси ( вектора ).

Цилиндрические координаты

Три ортогональных единичных вектора, соответствующие цилиндрической симметрии:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$(также обозначается или ), обозначающий направление, по которому измеряется расстояние точки от оси симметрии; ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$, представляющее направление движения, которое наблюдалось бы, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$, представляющий направление оси симметрии;

Они связаны с декартовым базисом , , соотношением: ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .}$

Векторы и являются функциями и не являются постоянными по направлению. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах необходимо также работать с самими единичными векторами. Производные по : ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ${\displaystyle \varphi ,}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .}$

Сферические координаты

Единичные векторы, соответствующие сферической симметрии: , направление, в котором увеличивается радиальное расстояние от начала координат; , направление, в котором увеличивается угол в плоскости x - y против часовой стрелки от положительной оси x ; и , направление, в котором угол от положительной оси z увеличивается. Чтобы свести к минимуму избыточность представлений, полярный угол обычно принимается в пределах от нуля до 180 градусов. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного триплета, записанного в сферических координатах , поскольку роли и часто меняются местами. Здесь используется американская «физическая» конвенция ^[3] . В результате азимутальный угол определяется так же, как и в цилиндрических координатах. Декартовы отношения : ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }$

Сферические единичные векторы зависят как от , так и от , и, следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Более полное описание см. в разделе « Матрица и определитель Якобиана» . Ненулевые производные: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

Общие единичные векторы

Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии : ^[4]

Криволинейные координаты

В общем, система координат может быть однозначно задана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов ^[1] (фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного трехмерного пространства эти векторы можно обозначить . Почти всегда удобно определить систему как ортонормированную и правую : ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}}$

где – дельта Кронекера (которая равна 1 для i = j и 0 в противном случае) и – символ Леви-Чивита (который равен 1 для перестановок, упорядоченных как ijk , и −1 для перестановок, упорядоченных как kji ). ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Правый вариант

Единичный вектор в был назван правым версором У. Р. Гамильтоном , когда он разработал свои кватернионы . Фактически, он был создателем термина вектор , поскольку каждый кватернион имеет скалярную часть s и векторную часть v . Если v является единичным вектором в , то квадрат v в кватернионах равен –1. Таким образом, по формуле Эйлера , является версором в 3-сфере . Когда θ является прямым углом , версор является прямым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle q=s+v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Смотрите также

• Декартова система координат
• Система координат
• Криволинейные координаты
• Четырехскоростной
• Матрица Якобиана и определитель
• Нормальный вектор
• Полярная система координат
• Стандартная основа
• Единичный интервал
• Единичный квадрат , куб , круг , сфера и гипербола.
• Векторные обозначения
• Вектор единиц
• Единичная матрица

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Единичный вектор». mathworld.wolfram.com . Проверено 19 августа 2020 г.
2. "Единичные векторы | Блестящая вики по математике и естественным наукам" . блестящий.орг . Проверено 19 августа 2020 г.
3. Тевиан Дрей и Корин А. Маноуг, Сферические координаты, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
4. Ф. Эйрес; Э. Мендельсон (2009). Исчисление (серия «Очерки Шаума») (5-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN 978-0-07-150861-2.
5. Г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (серия «Очерки Шаума») (2-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.

Рекомендации

• ГБ Арфкен и Х. Дж. Вебер (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Академическая пресса. ISBN 0-12-059825-6.
• Шпигель, Мюррей Р. (1998). Очерки Шаума: Математический справочник формул и таблиц (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-038203-4.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х.