В математике , в области теории категорий , забывающий функтор (также известный как функтор-обдиратель ) «забывает» или отбрасывает некоторые или все структуры или свойства входных данных «до» отображения на выход. Для алгебраической структуры заданной сигнатуры это может быть выражено путем сокращения сигнатуры: новая сигнатура является отредактированной формой старой. Если сигнатура остается в виде пустого списка, функтор просто берет базовый набор структуры. Поскольку многие структуры в математике состоят из набора с дополнительной добавленной структурой, забывающий функтор, который отображается на базовый набор, является наиболее распространенным случаем.
В качестве примера можно привести несколько забывающих функторов из категории коммутативных колец . ( Унитальное ) кольцо , описываемое на языке универсальной алгебры , представляет собой упорядоченный кортеж , удовлетворяющий некоторым аксиомам, где и — бинарные функции на множестве , — унарная операция, соответствующая аддитивной обратной, а 0 и 1 — нуль-арные операции, дающие тождества двух бинарных операций. Удаление 1 дает забывающий функтор в категорию колец без единицы ; он просто «забывает» единицу. Удаление и 1 дает функтор в категорию абелевых групп , который сопоставляет каждому кольцу базовую аддитивную абелеву группу . Каждому морфизму колец сопоставляется одна и та же функция, рассматриваемая просто как морфизм сложения между базовыми группами. Удаление всех операций дает функтор в базовое множество .
Полезно различать забывающие функторы, которые «забывают структуру», и те, которые «забывают свойства». Например, в приведенном выше примере коммутативных колец, в дополнение к тем функторам, которые удаляют некоторые операции, есть функторы, которые забывают некоторые аксиомы. Есть функтор из категории CRing to Ring , который забывает аксиому коммутативности, но сохраняет все операции. Иногда объект может включать дополнительные наборы, не определенные строго в терминах базового набора (в этом случае, какую часть считать базовым набором, является делом вкуса, хотя на практике это редко бывает неоднозначным). Для этих объектов есть забывающие функторы, которые забывают дополнительные наборы, которые являются более общими.
Наиболее распространенные объекты, изучаемые в математике, строятся как базовые множества вместе с дополнительными наборами структуры на этих множествах (операции на базовом множестве, привилегированные подмножества базового множества и т. д.), которые могут удовлетворять некоторым аксиомам. Для этих объектов обычно считающийся забывчивый функтор выглядит следующим образом. Пусть будет любой категорией, основанной на множествах , например, группы — множества элементов — или топологические пространства — множества «точек». Как обычно, запишем для объектов и запишем для морфизмов того же самого. Рассмотрим правило :
Тогда функтор является забывающим функтором из в Set , категорию множеств .
Забывающие функторы почти всегда верны . Конкретные категории имеют забывающие функторы для категории множеств — на самом деле их можно определить как категории, которые допускают верный функтор для этой категории.
Забывающие функторы, которые забывают только аксиомы, всегда полностью верны , поскольку каждый морфизм, который уважает структуру между объектами, которые удовлетворяют аксиомам, автоматически также уважает аксиомы. Забывающие функторы, которые забывают структуры, не обязательно должны быть полными; некоторые морфизмы не уважают структуру. Однако эти функторы все еще верны, поскольку различные морфизмы, которые уважают структуру, все еще различны, когда структура забыта. Функторы, которые забывают дополнительные множества, не обязательно должны быть верными, поскольку различные морфизмы, уважающие структуру этих дополнительных множеств, могут быть неразличимы на базовом множестве.
На языке формальной логики функтор первого рода удаляет аксиомы, функтор второго рода удаляет предикаты, а функтор третьего рода удаляет типы [ необходимо разъяснение ] . Примером первого рода является забывающий функтор Ab → Grp . Примером второго рода является забывающий функтор Ab → Set . Функтором третьего рода является функтор Mod → Ab , где Mod — расслоенная категория всех модулей над произвольными кольцами. Чтобы увидеть это, просто выберите гомоморфизм колец между базовыми кольцами, который не меняет действие кольца. Под забывающим функтором этот морфизм дает тождество. Обратите внимание, что объект в Mod — это кортеж, который включает кольцо и абелеву группу, поэтому что забыть — дело вкуса.
Забывчивые функторы, как правило, имеют левые сопряженные элементы , которые являются « свободными » конструкциями. Например:
Более подробный список см. в (Mac Lane 1997).
Поскольку это фундаментальный пример сопряженных объектов, поясним его: сопряженность означает, что для заданного множества X и объекта (скажем, R -модуля) M карты множеств соответствуют картам модулей : каждая карта множеств дает карту модулей, а каждая карта модулей получается из карты множеств.
В случае векторных пространств это можно резюмировать следующим образом: «Отображение между векторными пространствами определяется тем, куда оно отправляет базис, а базис может быть отображен во что угодно».
Символично:
Единицей свободно–забывчивого присоединения является «включение основы»: .
Fld , категория полей, дает пример забывчивого функтора без сопряженного. Не существует поля, удовлетворяющего свободному универсальному свойству для данного множества.
