В математическом или статистическом моделировании пороговая модель — это любая модель, в которой пороговое значение или набор пороговых значений используются для различения диапазонов значений, в которых поведение, предсказанное моделью, изменяется некоторым важным образом. Особенно важный пример возникает в токсикологии, где модель для эффекта препарата может заключаться в том, что существует нулевой эффект для дозы ниже критического или порогового значения, в то время как эффект некоторой значимости существует выше этого значения. [1] Некоторые типы регрессионных моделей могут включать пороговые эффекты. [1]
Пороговые модели часто используются для моделирования поведения групп — от общественных насекомых до стад животных и человеческого общества.
Классические пороговые модели были введены Сакодой [2] в его диссертации 1949 года и в журнале Journal of Mathematical Sociology (JMS vol 1 #1, 1971). [3] Впоследствии они были развиты Шеллингом, Аксельродом и Грановеттером для моделирования коллективного поведения . Шеллинг использовал особый случай модели Сакоды для описания динамики сегрегации, мотивированной индивидуальными взаимодействиями в Америке (JMS vol 1 #2, 1971) [4] , построив две имитационные модели. Шеллинг продемонстрировал, что «не существует простого соответствия индивидуального стимула коллективным результатам», и что динамика движения влияет на закономерности сегрегации. При этом Шеллинг подчеркнул значимость «общей теории «опрокидывания»».
Марк Грановеттер, следуя Шеллингу, предложил пороговую модель (Granovetter & Soong, 1983, 1986, 1988), которая предполагает, что поведение индивидов зависит от количества других индивидов, уже участвующих в этом поведении (и Шеллинг, и Грановеттер классифицируют свой термин «порог» как поведенческий порог). Он использовал пороговую модель для объяснения бунта, жилой сегрегации и спирали молчания . В духе пороговой модели Грановеттера «порог» — это «количество или доля других, которые должны принять одно решение, прежде чем это сделает данный субъект». Необходимо подчеркнуть детерминанты порога. У разных индивидов разные пороги. Пороги индивидов могут зависеть от многих факторов: социально-экономический статус, образование, возраст, личность и т. д. Кроме того, Грановеттер связывает «порог» с полезностью, которую человек получает от участия в коллективном поведении или нет, используя функцию полезности, каждый индивид будет рассчитывать свои издержки и выгоду от совершения действия. И ситуация может изменить стоимость и выгоду поведения, поэтому порог является ситуационно-специфичным. Распределение порогов определяет результат совокупного поведения (например, общественное мнение).
Модели, используемые в сегментированном регрессионном анализе, являются пороговыми моделями.
Было показано, что некоторые детерминированные рекурсивные многомерные модели, включающие пороговые эффекты, создают фрактальные эффекты. [5]
Несколько классов нелинейных авторегрессионных моделей, разработанных для приложений временных рядов , были пороговыми моделями. [5]
Пороговая модель, используемая в токсикологии, утверждает, что все, что выше определенной дозы токсина, является опасным, а все, что ниже, безопасно. Эта модель обычно применяется к неканцерогенным опасностям для здоровья.
Эдвард Дж. Калабрезе и Линда А. Болдуин писали:
Альтернативным типом модели в токсикологии является линейная беспороговая модель (ЛБПМ), в то время как гормезис соответствует существованию противоположных эффектов при низкой и высокой дозе, что обычно дает U-образную или перевернутую U-образную кривую зависимости реакции от дозы.
Модель порога ответственности — это пороговая модель категориальных (обычно бинарных) результатов, в которой большое количество переменных суммируется для получения общей оценки «ответственности»; наблюдаемый результат определяется тем, является ли скрытая оценка меньше или больше порога. Модель порога ответственности часто используется в медицине и генетике для моделирования факторов риска, способствующих заболеванию.
В генетическом контексте переменными являются все гены и различные условия окружающей среды, которые защищают от или увеличивают риск заболевания, а порог z является биологическим пределом, после которого развивается заболевание. Порог можно оценить по распространенности заболевания в популяции (которая обычно низкая). Поскольку порог определяется относительно популяции и окружающей среды, балл ответственности обычно рассматривается как нормально распределенная случайная величина N(0, 1) .
Ранние генетические модели были разработаны для борьбы с очень редкими генетическими заболеваниями, рассматривая их как менделевские заболевания, вызванные 1 или 2 генами: наличие или отсутствие гена соответствует наличию или отсутствию заболевания, и возникновение заболевания будет следовать предсказуемым закономерностям в семьях. Непрерывные признаки, такие как рост или интеллект, можно было бы смоделировать как нормальное распределение , на которое влияет большое количество генов, а наследуемость и эффекты отбора можно было бы легко проанализировать. Некоторые заболевания, такие как алкоголизм, эпилепсия или шизофрения , не могут быть менделевскими заболеваниями, потому что они распространены; не появляются в менделевских соотношениях; медленно реагируют на отбор против них; часто возникают в семьях, где ранее не было этой болезни; однако родственники и приемные дети кого-то с этой болезнью с гораздо большей вероятностью (но не обязательно) заболеют ею, что указывает на сильный генетический компонент. Модель порога ответственности была разработана для борьбы с этими неменделевскими бинарными случаями; Модель предполагает, что существует непрерывный нормально распределенный признак, выражающий риск, на который полигенно влияют многие гены, и что у всех людей, у которых значение параметра выше определенного, развивается заболевание, а у тех, у кого значение параметра ниже этого значения, — нет.
Первые пороговые модели в генетике были введены Сьюэллом Райтом , который исследовал склонность штаммов морских свинок иметь дополнительный задний палец, явление, которое нельзя было объяснить доминантным или рецессивным геном или непрерывным «ослепляющим наследованием». [7] [8] Современная модель порога ответственности была введена в исследования человека генетиком Дугласом Скоттом Фалконером в его учебнике [9] и двух статьях. [10] [11] Сирил Кларк, у которого был диабет , спросил Фалконера о теме моделирования «пороговых признаков» . [12]
Раннее применение моделей порога ответственности к шизофрении было осуществлено Ирвингом Готтесманом и Джеймсом Шилдсом , которые обнаружили значительную наследуемость и незначительное влияние общей среды [13] и разрушили теорию «холодной матери» шизофрении.
Предположение о том, что глобальная температура будет расти нелинейно, как только она пересечет гипотетическое пороговое значение, было высказано в нескольких исследованиях [14]. Недавняя пороговая модель [15] предсказывает, что в этом надпороговом состоянии рост температуры будет чрезвычайно резким и неравномерным.