Потенциальная завихренность

Упрощенный подход к пониманию движения жидкости во вращающейся системе

В механике жидкости потенциальная завихренность (PV) — это величина, пропорциональная скалярному произведению завихренности и стратификации . Эта величина, следуя за порцией воздуха или воды, может быть изменена только диабатически или фрикционными процессами. Это полезная концепция для понимания генерации завихренности в циклогенезе (зарождение и развитие циклона), особенно вдоль полярного фронта , и для анализа течения в океане.

Потенциальная завихренность (ПВ) рассматривается как один из важных теоретических успехов современной метеорологии. Это упрощенный подход к пониманию движений жидкости во вращающейся системе, такой как атмосфера и океан Земли. Его развитие восходит к теореме о циркуляции Бьеркнеса 1898 года ^[1], которая является специализированной формой теоремы Кельвина о циркуляции . Начиная с Хоскинса и др., 1985, ^[2] ПВ чаще использовалась в оперативной диагностике погоды, такой как отслеживание динамики воздушных пакетов и инвертирование для полного поля потока. Даже после того, как подробные численные прогнозы погоды в более мелких масштабах стали возможны благодаря увеличению вычислительной мощности, представление ПВ все еще используется в академических кругах и обычных прогнозах погоды, проливая свет на особенности синоптического масштаба для прогнозистов и исследователей. ^[3]

Бароклинная неустойчивость требует наличия потенциального градиента завихренности, вдоль которого волны усиливаются во время циклогенеза.

Теорема циркуляции Бьеркнеса

Вильгельм Бьеркнес обобщил уравнение вихреобразования Гельмгольца (1858) и теорему Кельвина о циркуляции (1869) на невязкие, геострофические и бароклинные жидкости, ^[1] т. е. жидкости переменной плотности во вращающейся системе отсчета, которая имеет постоянную угловую скорость. Если мы определим циркуляцию как интеграл касательной составляющей скорости по замкнутому контуру жидкости и возьмем интеграл замкнутой цепи участков жидкости, мы получим

${\displaystyle {\frac {DC}{Dt}}=-\oint {\frac {1}{\rho }}\nabla p\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},}$(1)

где - производная по времени в системе вращения (не инерциальной системе), - относительная циркуляция, - проекция области, окруженной петлей жидкости, на экваториальную плоскость, - плотность, - давление, - угловая скорость системы. С помощью теоремы Стокса первый член в правой части можно переписать как ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {DC}{Dt}}=\int _{A}{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho ^{2}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} -2\Omega {\frac {DA_{e}}{Dt}},}$(2)

которая гласит, что скорость изменения циркуляции регулируется изменением плотности в координатах давления и экваториальной проекцией ее площади, соответствующей первому и второму членам в правой части. Первый член также называется « соленоидным членом ». При условии баротропной жидкости с постоянной площадью проекции теорема Бьеркнеса о циркуляции сводится к теореме Кельвина. Однако в контексте динамики атмосферы такие условия не являются хорошим приближением: если контур жидкости движется из экваториальной области во внетропическую, не сохраняется. Кроме того, сложная геометрия подхода материального контура не идеальна для аргументации о движениях жидкости. ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle A_{e}}$

Мелководье Россби PV

Карл Россби в 1939 году ^[4] предположил , что вместо полного трехмерного вектора завихренности локальная вертикальная составляющая абсолютной завихренности является наиболее важным компонентом для крупномасштабного атмосферного потока, и что крупномасштабную структуру двумерного нерасходящегося баротропного потока можно смоделировать, предположив, что сохраняется. Его более поздняя работа в 1940 году ^[5] ослабила эту теорию от двумерного потока до квазидвумерных уравнений мелкой воды на бета-плоскости . В этой системе атмосфера разделена на несколько несжимаемых слоев, наложенных друг на друга, и вертикальная скорость может быть выведена из интегрирования конвергенции горизонтального потока. Для однослойной мелководной системы без внешних сил или диабатического нагрева Россби показал, что ${\displaystyle \zeta _{a}}$ ${\displaystyle \zeta _{a}}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta +f}{h}}\right)=0}$, (3)

где — относительная завихренность, — глубина слоя, — параметр Кориолиса. Сохраняемая величина в скобках в уравнении (3) была позже названа потенциальной завихренностью мелкой воды . Для атмосферы с несколькими слоями, где каждый слой имеет постоянную потенциальную температуру, приведенное выше уравнение принимает вид ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\zeta _{\theta }+f}{\Delta }}\right)=0,}$(4)

где — относительная завихренность на изэнтропической поверхности — поверхности постоянной потенциальной температуры , а — мера веса единицы поперечного сечения отдельного столба воздуха внутри слоя. ${\displaystyle \zeta _{\theta }}$ ${\displaystyle \Delta =-\delta p/g}$

Интерпретация

Схождение и расхождение воздушной посылки

Уравнение (3) является атмосферным эквивалентом сохранения углового момента . Например, вращающаяся фигуристка с разведенными в стороны руками может ускорить скорость вращения, сжимая руки. Аналогично, когда вихрь воздуха расширяется, он, в свою очередь, вращается медленнее. Когда воздух сходится горизонтально, скорость воздуха увеличивается, чтобы поддерживать потенциальную завихренность, а вертикальная протяженность увеличивается, чтобы сохранить массу. С другой стороны, расхождение заставляет вихрь расширяться, замедляя скорость вращения.

Потенциальная завихренность Эртеля

Ганс Эртель обобщил работу Россби в независимой статье, опубликованной в 1942 году. ^{[6] [7]} Определив сохраняющуюся величину, следующую за движением воздушной порции, можно доказать, что определенная величина, называемая потенциальной завихренностью Эртеля, также сохраняется для идеализированной непрерывной жидкости. Мы рассмотрим уравнение импульса и уравнение непрерывности массы идеализированной сжимаемой жидкости в декартовых координатах:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {v^{2}} -\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {v} =-\nabla \Phi -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}$(5)

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,}$(6)

где - геопотенциальная высота. Записывая абсолютную завихренность как , как , а затем беря ротор полного уравнения импульса (5), имеем ${\displaystyle \Phi }$ ${\textstyle \mathbf {\zeta _{a}} =\nabla \times \mathbf {v} +2\mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle 1/\rho }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} -\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )=\nabla p\times \nabla \alpha .}$(7)

Рассмотрим гидродинамический инвариант, то есть равный нулю, следуя рассматриваемому движению жидкости. Скалярное умножение уравнения (7) на , и отметим, что , мы имеем ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}}$ ${\displaystyle \nabla \psi }$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} ={\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle \nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} -\nabla \psi \cdot [\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]=\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).}$(8)

Второй член в левой части уравнения (8) равен , в котором второй член равен нулю. Из формулы тройного векторного произведения имеем ${\textstyle \nabla \cdot [\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )]-(\mathbf {v} \times \zeta _{a})\cdot (\nabla \times \nabla \psi )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi \times (\mathbf {v} \times \mathbf {\zeta _{a}} )&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )-\mathbf {\zeta _{a}} (\mathbf {v} \cdot \nabla \psi )\\&=\mathbf {v} (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+\mathbf {\zeta _{a}} {\frac {\partial \psi }{\partial t}},\end{aligned}}}$(9)

где вторая строка обусловлена ​​тем, что сохраняется после движения, . Подставляя уравнение (9) в уравнение (8) выше, ${\displaystyle \psi }$ ${\textstyle {\frac {D\psi }{Dt}}=0}$

${\displaystyle \nabla \psi \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\zeta _{a}} +\mathbf {v} \cdot \nabla (\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {\zeta _{a}} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \psi =\nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha ).}$(10)

Объединение первого, второго и четвертого членов в уравнении (10) может дать . Разделив на и используя вариантную форму уравнения непрерывности массы, , уравнение (10) дает ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )}$ ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot \mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {D\alpha }{Dt}}}$

${\displaystyle \alpha {\frac {D}{Dt}}(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi )+(\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \psi ){\frac {D\alpha }{Dt}}=\alpha \nabla \psi \cdot (\nabla p\times \nabla \alpha )}$(11)

Если инвариант является только функцией давления и плотности , то его градиент перпендикулярен векторному произведению и , что означает, что правая часть уравнения (11) равна нулю. Конкретно для атмосферы потенциальная температура выбирается в качестве инварианта для безфрикционных и адиабатических движений. Поэтому закон сохранения потенциальной завихренности Эртеля задается выражением ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \nabla p}$ ${\textstyle \nabla \rho }$

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}PV=0.}$(12)

потенциальная завихренность определяется как

${\displaystyle PV={\frac {\mathbf {\zeta _{a}} \cdot \nabla \theta }{\rho }},}$(13)

где — плотность жидкости , — абсолютная завихренность , — градиент потенциальной температуры . С помощью комбинации первого закона термодинамики и сохранения импульса можно показать, что потенциальная завихренность может быть изменена только посредством диабатического нагрева (например, скрытого тепла, выделяющегося при конденсации) или процессов трения. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {\zeta _{a}} }$ ${\displaystyle \nabla \theta }$

Если атмосфера устойчиво стратифицирована так, что потенциальная температура монотонно увеличивается с высотой, можно использовать в качестве вертикальной координаты вместо . В системе координат «плотность» определяется как . Тогда, если начать вывод из уравнения горизонтального импульса в изэнтропических координатах, то Ertel PV принимает гораздо более простую форму ^[8] ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle (x,y,\theta )}$ ${\textstyle \sigma \equiv -g^{-1}\partial p/\partial \theta }$

${\displaystyle PV_{\theta }={\frac {f+\mathbf {k} \cdot (\nabla _{\theta }\times \mathbf {v} )}{\sigma }}}$(14)

где — локальный вертикальный вектор единичной длины, а — трехмерный оператор градиента в изэнтропических координатах. Видно, что эта форма потенциальной завихренности — это просто непрерывная форма изэнтропического многослойного ФВ Россби в уравнении (4). ${\textstyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle \nabla _{\theta }}$

Интерпретация

Теорема сохранения PV Эртеля, уравнение (12), утверждает, что для сухой атмосферы, если воздушная частица сохраняет свою потенциальную температуру, ее потенциальная завихренность также сохраняется после ее полных трехмерных движений. Другими словами, при адиабатическом движении воздушные частицы сохраняют PV Эртеля на изэнтропической поверхности. Примечательно, что эта величина может служить лагранжевым трассером, который связывает поля ветра и температуры. Использование теоремы сохранения PV Эртеля привело к различным достижениям в понимании общей циркуляции. Одним из них был процесс «складывания тропопаузы», описанный в работе Рида и др. (1950). ^[9] Для верхней тропосферы и стратосферы воздушные частицы следуют адиабатическим движениям в течение синоптического периода времени. Во внетропической области изэнтропические поверхности в стратосфере могут проникать в тропопаузу, и, таким образом, воздушные частицы могут перемещаться между стратосферой и тропосферой, хотя сильный градиент PV вблизи тропопаузы обычно препятствует этому движению. Однако в области фронта вблизи струйных полос, которая является концентрированной областью внутри струйного течения , где скорости ветра самые сильные, контур PV может значительно простираться вниз в тропосферу, что похоже на изэнтропические поверхности. Поэтому стратосферный воздух может адвектироваться, следуя как постоянным PV, так и изэнтропическим поверхностям, вниз глубоко в тропосферу. Использование карт PV также оказалось точным в различении воздушных участков недавнего стратосферного происхождения даже при субсиноптических возмущениях. (Иллюстрацию можно найти в Holton, 2004, рисунок 6.4)

Ertel PV также действует как трассер потока в океане и может быть использован для объяснения того, как горная цепь, такая как Анды , может заставить верхние западные ветры отклоняться к экватору и обратно. Карты, изображающие Ertel PV, обычно используются в метеорологическом анализе, в котором потенциальная единица вихреобразования (PVU) определяется как . ${\textstyle {10^{-6}\cdot \mathrm {K} \cdot \mathrm {m} ^{2} \over \mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} }\equiv 1\ \mathrm {PVU} }$

Квази-геострофическая фотоэлектрическая система

Одно из самых простых, но тем не менее проницательных условий балансировки представлено в форме квазигеострофических уравнений . Это приближение в основном утверждает, что для трехмерных атмосферных движений, которые являются почти гидростатическими и геострофическими , их геострофическая часть может быть приблизительно определена полем давления, тогда как агеострофическая часть управляет эволюцией геострофического потока. Потенциальная завихренность в квазигеострофическом пределе (QGPV) была впервые сформулирована Чарни и Стерном в 1960 году. ^[10] Подобно главе 6.3 в Holton 2004, ^[8] мы начинаем с уравнений горизонтального импульса (15), непрерывности массы (16), гидростатики (17) и термодинамики (18) на бета-плоскости , при этом предполагая, что поток является невязким и гидростатическим ,

${\displaystyle {\frac {D_{g}\mathbf {u_{g}} }{Dt}}+f_{0}\mathbf {k} \times \mathbf {u_{a}} +\beta y\mathbf {k} \times \mathbf {u_{g}} =0}$(15)

${\displaystyle \nabla _{hp}\cdot \mathbf {u_{a}} +{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0}$(16)

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial p}}=-{\frac {R\pi }{p}}\theta }$(17)

${\displaystyle {\frac {D_{g}\theta }{Dt}}+\omega {\frac {d\theta _{0}}{dp}}={\frac {J}{c_{p}\pi }}}$(18)

где представляет геострофическую эволюцию, , - диабатический нагревательный член в , - геопотенциальная высота, - геострофическая составляющая горизонтальной скорости, - агеострофическая скорость, - оператор горизонтального градиента в координатах (x, y, p). С помощью некоторых манипуляций (см. квазигеострофические уравнения или Holton 2004, Глава 6 для подробностей) можно прийти к закону сохранения ${\textstyle {\frac {D_{g}}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{g}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{g}{\frac {\partial }{\partial y}}}$ ${\textstyle \pi =(p/ps)^{R/c_{p}}}$ ${\textstyle J}$ ${\textstyle Js^{-1}kg^{-1}}$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \mathbf {u_{g}} }$ ${\textstyle \mathbf {u_{a}} }$ ${\textstyle \nabla _{hp}}$

${\displaystyle {\frac {D_{g}}{Dt}}q=-f_{0}{\frac {\partial }{\partial p}}\left(\sigma {\frac {\kappa J}{p}}\right),}$(19)

где - пространственно усредненная сухая статическая устойчивость. Предполагая, что поток адиабатический, что означает , мы имеем сохранение QGPV. Сохраняющаяся величина принимает вид ${\textstyle \sigma =-{\frac {R\pi }{p}}{\frac {d\theta _{0}}{dp}}}$ ${\textstyle J=0}$ ${\textstyle q}$

${\displaystyle {q={{{1 \over f_{o}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{o} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}},}$(20)

что является QGPV, и он также известен как псевдопотенциал-вихревой. Помимо члена диабатического нагрева в правой части уравнения (19), можно также показать, что QGPV может быть изменен силами трения.

Ertel PV сводится к QGPV, если расширить Ertel PV до ведущего порядка и предположить, что уравнение эволюции является квазигеострофическим, т. е . . ^[3] Из-за этого фактора следует также отметить, что Ertel PV сохраняет следующую воздушную порцию на изэнтропической поверхности и, следовательно, является хорошим лагранжевым трассером, тогда как QGPV сохраняется, следуя крупномасштабному геострофическому потоку. QGPV широко использовался для изображения крупномасштабных структур атмосферного потока, как обсуждалось в разделе Принцип обратимости PV; ${\textstyle {\frac {D}{Dt}}\approx {\frac {D_{g}}{Dt}}}$

Принцип обратимости фотоэлектрических систем

Помимо того, что потенциальная завихренность является трассером Лагранжа, она также дает динамические импликации через принцип обратимости. Для 2-мерной идеальной жидкости распределение завихренности управляет функцией потока с помощью оператора Лапласа,

${\displaystyle {\zeta ={\nabla ^{2}\Psi }},}$(21)

где — относительная завихренность, а — функция потока. Следовательно, зная поле завихренности, оператор можно инвертировать и вычислить функцию потока. В этом конкретном случае (уравнение 21) завихренность дает всю информацию, необходимую для выведения движений или функции потока, таким образом, можно мыслить в терминах завихренности, чтобы понять динамику жидкости. Похожий принцип был первоначально введен для потенциальной завихренности в трехмерной жидкости в 1940-х годах Кляйншмитом и был развит Чарни и Стерном в их квазигеострофической теории. ^[11] ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \Psi }$

Несмотря на теоретическую элегантность потенциальной завихренности Эртеля, ранние применения Ertel PV ограничиваются трассерными исследованиями с использованием специальных изэнтропических карт. Обычно недостаточно вывести другие переменные только из знания полей Ertel PV, поскольку это продукт полей ветра ( ) и температуры ( и ). Однако крупномасштабные атмосферные движения по своей сути квазистатичны; поля ветра и массы регулируются и уравновешиваются друг с другом (например, градиентный баланс, геострофический баланс). Поэтому можно сделать другие предположения, чтобы сформировать замыкание и вывести полную структуру рассматриваемого потока: ^[2] ${\textstyle \zeta _{a}}$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \rho }$

(1) ввести условия балансировки определенной формы. Эти условия должны быть физически реализуемыми и стабильными без нестабильностей, таких как статическая неустойчивость. Также пространственные и временные масштабы движения должны быть совместимы с предполагаемым балансом;

(2) указать определенное исходное состояние, такое как распределение температуры, потенциальная температура или геопотенциальная высота;

(3) установить правильные граничные условия и инвертировать фотоэлектрическое поле в глобальном масштабе.

Первое и второе предположения явно выражены при выводе квазигеострофического PV. В качестве условия балансировки используется геострофический баланс ведущего порядка. Члены второго порядка, такие как агеострофические ветры, возмущения потенциальной температуры и возмущения геострофической высоты, должны иметь согласованную величину, т. е. порядка числа Россби . Исходным состоянием является зонально усредненная потенциальная температура и геопотенциальная высота. Третье предположение очевидно даже для двумерной инверсии вихреобразования, поскольку обращение оператора Лапласа в уравнении (21), который является эллиптическим оператором второго порядка , требует знания граничных условий .

Например, в уравнении (20) обратимость подразумевает, что, зная , оператор типа Лапласа может быть инвертирован для получения геопотенциальной высоты . также пропорционален функции потока QG при квазигеострофическом предположении. Затем геострофическое поле ветра можно легко вывести из . Наконец, температурное поле задается путем подстановки в гидростатическое уравнение (17). ${\textstyle q}$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \Phi }$ ${\textstyle \Psi }$ ${\textstyle \Psi }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle \Phi }$

Смотрите также

• Вихревость
• Циркуляция (гидродинамика)

Ссылки

1. Thorpe, AJ; Volkert, H.; Ziemianski, MJ (2003). «Теорема Бьеркнеса о циркуляции: историческая перспектива» (PDF) . Bull. Am. Meteorol. Soc . 84 (4): 471–480. Bibcode :2003BAMS...84..471T. doi :10.1175/BAMS-84-4-471.
2. Хоскинс, Б. Дж.; Макинтайр, М. Э.; Робертсон, АВ (1985). «Об использовании и значении карт изоэнтропической потенциальной завихренности». QJR Meteorol. Soc . 111 (470): 877–946. Bibcode : 1985QJRMS.111..877H. doi : 10.1002/qj.49711147002.
3. Nielsen-Gammon, JW; Gold, DA (2006). "Динамическая диагностика: сравнение квазигеострофии и потенциальной завихренности Эртеля". Meteorol. Monogr . 55 (55): 183–202. Bibcode :2008MetMo..33..183N. doi : 10.1175/0065-9401-33.55.183 .
4. Россби, К. Г.; Соавторы (1939). «Связь между изменениями интенсивности зональной циркуляции атмосферы и смещениями полупостоянных центров действия». Журнал морских исследований . 2 (1): 38–55. doi :10.1357/002224039806649023. S2CID  27148455. {{cite journal}}: |last2=имеет общее название ( помощь )
5. Россби, К. Г. (1940). «Планетарные потоки в атмосфере». QJR Meteorol. Soc . 66 : 68–87.
6. Эртель, Х. (1942). «Новая гидродинамическая деятельность». Метеорол. З.​ 59 (9): 277–281.
7. Шуберт, В.; Рупрехт, Э.; Хертенштейн, Р.; Нието-Феррейра, Р.; Тафт, Р.; Розофф, К. (2004). «Английские переводы двадцати одной статьи Эртеля по геофизической гидродинамике». Meteorol. Z. 13 ( 6): 527–576. Bibcode : 2004MetZe..13..527S. doi : 10.1127/0941-2948/2004/0013-0527. S2CID  123321030.
8. Holton, JR (2004). Введение в динамическую метеорологию . Elsevier academic press. ISBN 9780123540157.
9. Рид, Р. Дж.; Даниельсен, Э. Ф. (1950). «Фронты в окрестностях тропопаузы». Arch. Met. Geophys. Biokl . A11 (1): 1–17. Bibcode : 1958AMGBA..11....1R. doi : 10.1007/BF02247637. S2CID  122804225.
10. Чарни, Дж. Г.; Стерн, М. Э. (1962). «Об устойчивости внутренних бароклинных струй во вращающейся атмосфере». J. Atmos. Sci . 19 (2): 159–172. Bibcode :1962JAtS...19..159C. doi : 10.1175/1520-0469(1962)019<0159:OTSOIB>2.0.CO;2 .
11. Торп, А. Дж.; Фолькерт, Х. (1997). «Потенциальная завихренность: краткая история ее определений и использования». Meteorol. Z. 6 ( 6): 275–280. Bibcode :1997MetZe...6..275T. doi :10.1127/metz/6/1997/275.

Дальнейшее чтение

Роулстоун, Ян; Норбери, Джон (2013). Невидимый в шторме: роль математики в понимании погоды . Принстон: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15272-1.

Внешние ссылки

• Запись в глоссарии AMS
• Статья в энциклопедии о потенциальной завихренности Майкла Э. Макинтайра