Задача Ферми–Пасты–Улама–Цингу

Кажущийся парадокс в теории хаоса

В физике проблема Ферми –Паста–Улама–Цингоу (FPUT) или ранее проблема Ферми–Паста–Улама была очевидным парадоксом в теории хаоса , заключающимся в том, что многие достаточно сложные физические системы демонстрируют почти точно периодическое поведение – называемое повторением Ферми–Паста–Улама–Цингоу (или повторением Ферми–Паста–Улама ) – вместо ожидаемого эргодического поведения. Это стало неожиданностью, поскольку Энрико Ферми , безусловно, ожидал, что система термализуется за довольно короткое время. То есть ожидалось, что все колебательные моды в конечном итоге появятся с одинаковой силой, согласно теореме о равнораспределении или, в более общем смысле, эргодической гипотезе . Однако здесь была система, которая, казалось, уклонялась от эргодической гипотезы. Хотя повторение легко наблюдается, в конечном итоге стало очевидно, что в течение гораздо, гораздо более длительных периодов времени система в конечном итоге термализуется. Для объяснения поведения системы было предложено множество конкурирующих теорий, и она остается предметом активных исследований.

Первоначальной целью было найти физическую проблему, достойную численного моделирования на новом тогда компьютере MANIAC . Ферми чувствовал, что термализация создаст такую ​​проблему. Таким образом, она представляет собой одно из самых ранних применений цифровых компьютеров в математических исследованиях; одновременно неожиданные результаты положили начало изучению нелинейных систем .

Эксперимент FPUT

Если нелинейности нет (фиолетовый), вся амплитуда в моде останется в этой моде. Если в упругую цепь вводится квадратичная нелинейность, энергия может распространиться среди всех мод, но если вы подождете достаточно долго (две минуты, в этой анимации), вы увидите, что вся амплитуда вернется в исходную моду.

Летом 1953 года Энрико Ферми , Джон Паста , Станислав Улам и Мэри Цингоу провели компьютерное моделирование вибрирующей струны, которая включала нелинейный член (квадратичный в одном тесте, кубический в другом и кусочно-линейное приближение к кубическому в третьем). Они обнаружили, что поведение системы сильно отличалось от того, что интуиция заставила бы их ожидать. Энрико Ферми считал, что после многих итераций система продемонстрирует термализацию , эргодическое поведение, при котором влияние начальных мод вибрации затухает, и система становится более или менее случайной, при этом все моды возбуждаются более или менее одинаково . Вместо этого система продемонстрировала очень сложное квазипериодическое поведение. Они опубликовали свои результаты в техническом отчете в Лос-Аламосе в 1955 году. Энрико Ферми умер в 1954 году, так что этот технический отчет был опубликован после смерти Ферми.

В 2020 году журнал National Security Science опубликовал статью о Цингоу, включавшую ее комментарии и исторические размышления о проблеме FPUT. В статье Цингоу утверждает: «Я помню, как однажды сидела там с Пастой и Уламом», когда они придумывали «некоторые проблемы, которые мы могли бы решить на компьютере, некоторые действительно математические проблемы». Они пробовали разные вещи, но в конце концов «придумали эту вибрирующую струну». ^[1]

Эксперимент FPUT был важен как для демонстрации сложности поведения нелинейных систем, так и для демонстрации ценности компьютерного моделирования в анализе систем.

Изменение имени

В оригинальной статье авторами указаны Ферми, Паста и Улам (хотя Ферми умер до того, как отчет был написан), а также выражена благодарность Цингоу за ее работу по программированию симуляций MANIAC . Вклад Мэри Цингоу в задачу FPUT в значительной степени игнорировался сообществом, пока Тьерри Доксуа (2008) не опубликовал дополнительную информацию о разработке и не призвал переименовать задачу, чтобы также указать ее авторство.

Решетчатая система FPUT

Ферми, Паста, Улам и Цингоу смоделировали вибрирующую струну, решив следующую дискретную систему ближайших соседних связанных осцилляторов. Мы следуем объяснению, данному в статье Ричарда Пале . Пусть имеется N осцилляторов, представляющих струну длиной с положениями равновесия , где — шаг решетки. Тогда положение j -го осциллятора как функция времени равно , так что это дает смещение от положения равновесия. FPUT использовал следующие уравнения движения: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p_{j}=jh,\ j=0,\dots ,N-1}$ ${\displaystyle h=\ell /(N-1)}$ ${\displaystyle X_{j}(t)=p_{j}+x_{j}(t)}$ ${\displaystyle x_{j}(t)}$

${\displaystyle m{\ddot {x}}_{j}=k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Это просто второй закон Ньютона для j -й частицы. Первый фактор - это просто обычная форма закона Гука для силы. Фактор с - это нелинейная сила. Мы можем переписать это в терминах континуальных величин, определив как скорость волны, где - модуль Юнга для струны, а - плотность: ${\displaystyle k(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c={\sqrt {\kappa /\rho }}}$ ${\displaystyle \kappa =k/h}$ ${\displaystyle \rho =m/h^{3}}$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Связь с уравнением КдФ

Континуальный предел основных уравнений для струны (с квадратичным членом силы) — это уравнение Кортевега–де Фриза (уравнение КдФ). Открытие этой связи и солитонных решений уравнения КдФ Мартином Дэвидом Крускалом и Норманом Забуски в 1965 году стало важным шагом вперед в исследовании нелинейных систем. Ниже мы воспроизводим вывод этого предела, который довольно сложен, как найдено в статье Пале. Начиная с «континуальной формы» уравнений решетки выше, мы сначала определяем u ( x ,  t ) как смещение струны в позиции x и времени t . Затем нам понадобится соответствие, так что . ${\displaystyle u(p_{j},t)}$ ${\displaystyle x_{j}(t)}$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{j}={\frac {c^{2}}{h^{2}}}(x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j})[1+\alpha (x_{j+1}-x_{j-1})].}$

Мы можем использовать теорему Тейлора , чтобы переписать второй множитель для малых (индексы u обозначают частные производные): ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{j+1}+x_{j-1}-2x_{j}}{h^{2}}}\right)&={\frac {u(x+h,t)+u(x-h,t)-2u(x,t)}{h^{2}}}\\&=u_{xx}(x,t)+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}(x,t)+O(h^{4}).\end{aligned}}}$

Аналогично, второй член в третьем множителе равен

${\displaystyle \alpha (x_{j+1}-x_{j-1})=2\alpha hu_{x}(x,t)+\left({\frac {\alpha h^{3}}{3}}\right)u_{xxx}(x,t)+O(h^{5}).}$

Таким образом, система FPUT является

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}+O(\alpha h^{2},h^{4}).}$

Если бы кто-то сохранил члены вплоть до O ( h ) и предположил, что приближается к пределу, то полученное уравнение будет тем, которое развивает шоки , что не наблюдается. Таким образом, мы также сохраняем член O ( h ^{2 ):} ${\displaystyle 2\alpha h}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}-u_{xx}=(2\alpha h)u_{x}u_{xx}+\left({\frac {h^{2}}{12}}\right)u_{xxxx}.}$

Теперь сделаем следующие замены, мотивированные разложением решений бегущей волны (обычного волнового уравнения , к которому это сводится при исчезновении) на лево- и право-движущиеся волны, так что мы рассматриваем только право-движущуюся волну. Пусть . При этой замене координат уравнение становится ${\displaystyle \alpha ,h}$ ${\displaystyle \xi =x-ct,\ \tau =(\alpha h)ct,\ y(\xi ,\tau )=u(x,t)}$

${\displaystyle y_{\xi \tau }-\left({\frac {\alpha h}{2}}\right)y_{\tau \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\left({\frac {h}{24\alpha }}\right)y_{\xi \xi \xi \xi }.}$

Чтобы взять предел континуума, предположим, что стремится к константе, а стремится к нулю. Если мы возьмем , то ${\displaystyle \alpha /h}$ ${\displaystyle \alpha ,h}$ ${\displaystyle \delta =\lim _{h\to 0}{\sqrt {h/(24\alpha )}}}$

${\displaystyle y_{\xi \tau }=-y_{\xi }y_{\xi \xi }-\delta ^{2}y_{\xi \xi \xi \xi }.}$

Приводим результаты в уравнении КдФ: ${\displaystyle v=y_{\xi }}$

${\displaystyle v_{\tau }+vv_{\xi }+\delta ^{2}v_{\xi \xi \xi }=0.}$

Забуски и Крускал утверждали, что именно тот факт, что солитонные решения уравнения КдФ могут проходить друг сквозь друга, не влияя на асимптотические формы, объясняет квазипериодичность волн в эксперименте FPUT. Короче говоря, термализация не могла произойти из-за определенной «солитонной симметрии» в системе, которая нарушала эргодичность.

Похожий набор манипуляций (и приближений) приводит к решетке Тоды , которая также известна как полностью интегрируемая система . Она также имеет солитонные решения, пары Лакса , и поэтому также может быть использована для аргументации отсутствия эргодичности в модели FPUT. ^{[2] [3]}

Пути термализации

В 1966 году Феликс Израилев и Борис Чириков предположили, что система будет термализоваться, если будет предоставлено достаточное количество начальной энергии. ^[4] Идея здесь заключается в том, что нелинейность изменяет дисперсионное соотношение , позволяя происходить резонансным взаимодействиям , которые будут перекачивать энергию из одного режима в другой. Обзор таких моделей можно найти в работе Роберто Ливи и др . ^[5] Тем не менее, в 1970 году Джозеф Форд и Гэри Х. Лансфорд настаивали на том, что смешивание можно наблюдать даже при произвольно малых начальных энергиях. ^[6] Существует долгая и сложная история подходов к этой проблеме, см. Thierry Dauxois (2008) для (частичного) обзора. ^[7]

Недавняя работа Мигеля Онорато и др. демонстрирует очень интересный путь к термализации. ^[8] Переписывая модель FPUT в терминах нормальных мод , нелинейный член выражает себя как трехмодовое взаимодействие (используя язык статистической механики , это можно было бы назвать «трехфононным взаимодействием ».) Это, однако, не резонансное взаимодействие , ^[9] и, таким образом, не способно распространять энергию из одной моды в другую; оно может только генерировать повторение FPUT. Трехфононное взаимодействие не может термализовать систему.

Однако ключевое понимание заключается в том, что эти моды являются комбинациями «свободных» и «связанных» мод. То есть, высшие гармоники «связаны» с фундаментальной частотой, во многом так же, как высшие гармоники в решениях уравнения КдФ связаны с фундаментальной частотой. Они не имеют собственной динамики и вместо этого фазово-синхронизированы с фундаментальной частотой. Термализация, если она присутствует, может быть только среди свободных мод.

Чтобы получить свободные моды, можно применить каноническое преобразование , которое удаляет все моды, которые не являются свободными (которые не участвуют в резонансных взаимодействиях). Выполнение этого для системы FPUT приводит к модам осциллятора, которые имеют четырехволновое взаимодействие (трехволновое взаимодействие было удалено). Эти квартеты взаимодействуют резонансно, т. е. смешивают четыре моды одновременно. Однако, как ни странно , когда в цепочке FPUT всего 16, 32 или 64 узла, эти квартеты изолированы друг от друга. Любая заданная мода принадлежит только одному квартету, и энергия не может перетекать из одного квартета в другой. Продолжая к более высоким порядкам взаимодействия, существует шестиволновое взаимодействие, которое является резонансным; кроме того, каждая мода участвует по крайней мере в двух различных шестиволновых взаимодействиях. Другими словами, все моды становятся взаимосвязанными, и энергия будет передаваться между всеми различными модами.

Трехволновое взаимодействие имеет силу (такую ​​же, как в предыдущих разделах выше). Четырехволновое взаимодействие имеет силу , а шестиволновое взаимодействие имеет силу . На основе общих принципов корреляции взаимодействий (вытекающих из иерархии BBGKY ) можно ожидать, что время термализации будет пропорционально квадрату взаимодействия. Таким образом, исходная решетка FPUT (размером 16, 32 или 64) в конечном итоге термализуется в масштабе времени порядка : очевидно, что это становится очень долгим временем для слабых взаимодействий ; в то же время, повторение FPUT, по-видимому, будет продолжаться без ослабления. Этот конкретный результат справедлив для этих конкретных размеров решетки; резонансные четырехволновые или шестиволновые взаимодействия для разных размеров решетки могут смешивать или не смешивать моды (потому что зоны Бриллюэна имеют разный размер, и поэтому комбинаторика того, какие волновые векторы могут суммироваться с нулем, изменяется.) Общие процедуры для получения канонических преобразований, которые линеаризуют связанные моды, остаются темой активных исследований. ${\displaystyle 1/\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 1/\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle 1/\alpha ^{4}}$ ${\displaystyle 1/\alpha ^{8}}$ ${\displaystyle \alpha \ll 1}$

Однако недавнее исследование ^[10] обнаружило, что существуют расхождения в каноническом преобразовании, используемом для удаления трехволновых взаимодействий из-за наличия малых знаменателей. Эти малые знаменатели становятся более заметными, когда возбуждаются более низкие моды, и более значимыми по мере увеличения размера системы. Эти результаты также показывают указание на то, что в системе -Ферми–Паста–Улама–Цингоу может быть порог стохастичности. ${\displaystyle \alpha }$

Ссылки

1. Грант, Вирджиния (2020). «Мы благодарим мисс Мэри Цингоу». Национальная наука безопасности .
2. Бенеттин, Г.; Христодулиди, Х.; Понно, А. (2013). «Проблема Ферми-Паста-Улама и ее базовая интегрируемая динамика». Журнал статистической физики . 152 (2): 195–212. Bibcode : 2013JSP...152..195B. doi : 10.1007/s10955-013-0760-6. S2CID  120275594.
3. Казетти, Лапо; Черрути-Сола, Моника; Петтини, Марко; Коэн, EGD (1997). «Возвращение к проблеме Ферми-Пасты-Улама: пороги стохастичности в нелинейных гамильтоновых системах». Физический обзор E . 55 (6): 6566–6574. arXiv : чао-дин/9609017 . Бибкод : 1997PhRvE..55.6566C. doi : 10.1103/PhysRevE.55.6566. S2CID  123324018.
4. Израилев, Ф. М.; Чириков, Б. В. (1966). «Статистические свойства нелинейной струны». Доклады АН СССР . 11 : 30. Bibcode :1966SPhD...11...30I.
5. Ливи, Роберто; Петтини, Марко; Руффо, Стефано; Спарпальоне, Массимо; Вульпиани, Анджело (1985). «Порог равнораспределения в нелинейных больших гамильтоновых системах: модель Ферми-Пасты-Улама». Физический обзор А. 31 (2): 1039–1045. Бибкод : 1985PhRvA..31.1039L. doi :10.1103/PhysRevA.31.1039. ПМИД  9895584.
6. Форд, Джозеф; Лансфорд, Гэри Х. (1970). «Стохастическое поведение резонансных почти линейных систем осцилляторов в пределе нулевой нелинейной связи». Physical Review A. 1 ( 1): 59–70. Bibcode : 1970PhRvA...1...59F. doi : 10.1103/PhysRevA.1.59.
7. Руффо, Стефано; Даксуа, Тьерри (2008). «Нелинейные колебания решетки Ферми-Пасты-Улама». Схоларпедия . 3 (8): 5538. Бибкод : 2008SchpJ...3.5538D. doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
8. Онорато, Мигель; Возелла, Лара; Промент, Давиде; Львов, Юрий В. (2015). «Путь к термализации в системе α-Ферми–Паста–Улама». Труды Национальной академии наук . 112 (14): 4208–4213. arXiv : 1402.1603 . Bibcode : 2015PNAS..112.4208O. doi : 10.1073/pnas.1404397112 . PMC 4394280. PMID  25805822. S2CID  1823791 . 
9. Резонансное взаимодействие — это взаимодействие, при котором все волновые векторы добавляются/вычитаются до нуля по модулю зоны Бриллюэна , а также соответствующие частоты, полученные из дисперсионного соотношения . Поскольку они в сумме равны нулю, нет предпочтительного векторного базиса для соответствующего векторного пространства, и поэтому все амплитуды могут быть свободно переупорядочены. По сути, это помещает все моды в один и тот же эргодический компонент, где они могут смешиваться «мгновенно». В S-матрице и/или формализме Фейнмана это эквивалентно утверждению о сохранении энергии/импульса: сумма энергии/импульса для входящих состояний должна быть равна сумме энергии/импульса для исходящих состояний. Если это не выполняется, состояния не могут взаимодействовать.
10. Ганапа, Сантош (2023). « Повторный взгляд на квазипериодичность в проблеме Ферми–Паста–Улама–Цингоу: подход с использованием идей волновой турбулентности». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 33 (9). AIP Publishing. arXiv : 2303.10297 . doi : 10.1063/5.0154157. PMID  37656916. ${\displaystyle \alpha }$

Дальнейшее чтение

• Dauxois, Thierry (2008). «Ферми, Паста, Улам и таинственная дама». Physics Today . 6 (1): 55–57. arXiv : 0801.1590 . Bibcode : 2008PhT....61a..55D. doi : 10.1063/1.2835154. S2CID  118607235.
• Ферми, Э .; Паста, Дж . ; Улам, С. (1955). «Исследования нелинейных проблем» (PDF) . Документ ЛА-1940. Лос-Аламосская национальная лаборатория.
• Грант, Вирджиния (2020). «Мы благодарим мисс Мэри Цингоу». Национальная наука безопасности. Зима 2020: 36–43.
• Забуски, Н. Дж.; Крускал , М. Д. (1965). «Взаимодействие солитонов в бесстолкновительной плазме и повторение начальных состояний». Physical Review Letters . 15 (6): 240–243. Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.15.240 .
• Пале, Р. (1997). "Симметрии солитонов" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 34 (4): 339–403. arXiv : dg-ga/9708004 . doi :10.1090/S0273-0979-97-00732-5. MR  1462745. S2CID  14550937.
• Даксуа, Т.; Руффо, С. (2008). «Нелинейные колебания решетки Ферми – Пасты – Улама». Схоларпедия . 3 (8): 5538. Бибкод : 2008SchpJ...3.5538D. doi : 10.4249/scholarpedia.5538 .
• Галлавотти, Г. , ред. (2008). Проблема Ферми–Паста–Улама: отчет о состоянии . Конспект лекций по физике . Том 728. Springer . ISBN 978-3-540-72994-5.
• Портер, MA; Забуски, NJ ; Ху, Б.; Кэмпбелл, DK (2009). «Ферми, Паста, Улам и рождение экспериментальной математики» (PDF) . American Scientist . 97 (3): 214–221. doi :10.1511/2009.78.214.
• Онорато, М.; Возелла, Л.; Промент, Д.; Львов, Ю. (2015). «Путь к термализации в системе α-Ферми–Паста–Улама» (PDF) . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 112 (14): 4208–4213. arXiv : 1402.1603 . Bibcode :2015PNAS..112.4208O. doi : 10.1073/pnas.1404397112 . PMC  4394280 . PMID  25805822.
• Ганапа, Сантош (2023). «Повторный взгляд на квазипериодичность в проблеме α-Ферми–Паста–Улама–Цингоу: подход с использованием идей волновой турбулентности». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 33 (9). Издательство Американского института физики. arXiv : 2303.10297 . doi : 10.1063/5.0154157. PMID  37656916.

Внешние ссылки

• «Ферми Паста Улам: парадокс, положивший начало научным вычислениям».