проблема n-тела

Задача по физике и небесной механике

В физике проблема n -тел — это проблема предсказания отдельных движений группы небесных объектов, взаимодействующих друг с другом гравитационно . ^[1] Решение этой проблемы было мотивировано желанием понять движения Солнца , Луны , планет и видимых звезд . В 20 веке понимание динамики шаровых звездных скоплений стало важной проблемой n -тел. ^[2] Проблема n -тел в общей теории относительности значительно сложнее для решения из-за дополнительных факторов, таких как искажения времени и пространства.

Классическую физическую задачу можно неформально сформулировать следующим образом:

Учитывая квазиустойчивые орбитальные свойства (мгновенное положение, скорость и время) ^[3] группы небесных тел, предсказать их силы взаимодействия; и, следовательно, предсказать их истинные орбитальные движения для всех будущих моментов времени. ^[4]

Задача двух тел полностью решена и обсуждается ниже, как и известная ограниченная задача трех тел . ^[5]

История

Зная три орбитальных положения орбиты планеты – положения, полученные сэром Исааком Ньютоном от астронома Джона Флемстида ^[6] – Ньютон смог составить уравнение с помощью простой аналитической геометрии, чтобы предсказать движение планеты; т. е. задать ее орбитальные свойства: положение, диаметр орбиты, период и орбитальную скорость. ^[7] Сделав это, он и другие вскоре обнаружили в течение нескольких лет, что эти уравнения движения не предсказывали некоторые орбиты правильно или даже не очень хорошо. ^[8] Ньютон понял, что это было потому, что гравитационные силы взаимодействия между всеми планетами влияли на все их орбиты.

Вышеупомянутое откровение напрямую затрагивает суть того, чем физически является проблема n-тел: как понимал Ньютон, недостаточно просто указать начальное местоположение и скорость или даже три орбитальных положения, чтобы установить фактическую орбиту планеты; необходимо также знать о силах гравитационного взаимодействия. Так в начале 17 века пришло осознание и возникновение «проблемы» n -тел. Эти гравитационные силы притяжения соответствуют законам движения Ньютона и его закону всемирного тяготения, но многочисленные множественные ( n -тел) взаимодействия исторически сделали любое точное решение неразрешимым. По иронии судьбы, это соответствие привело к неправильному подходу.

После Ньютона проблема n -тел исторически не была сформулирована правильно, поскольку не включала ссылку на эти гравитационные силы взаимодействия. Ньютон не говорит об этом прямо, но подразумевает в своих Principia, что проблема n -тел неразрешима из-за этих гравитационных сил взаимодействия. ^[9] Ньютон сказал ^[10] в своих Principia , параграф 21:

И, следовательно, сила притяжения обнаруживается в обоих телах. Солнце притягивает Юпитер и другие планеты, Юпитер притягивает свои спутники, и подобным образом спутники действуют друг на друга. И хотя действия каждой из пары планет друг на друга можно отличить друг от друга и можно рассматривать как два действия, посредством которых каждая притягивает другую, тем не менее, поскольку они находятся между одними и теми же двумя телами, они не являются двумя, а представляют собой простую операцию между двумя концами. Два тела могут быть притянуты друг к другу сокращением веревки между ними. Причина действия двояка, а именно расположение каждого из двух тел; действие также двояко, поскольку оно направлено на два тела; но поскольку оно направлено между двумя телами, оно едино и одно...

Ньютон пришел к выводу с помощью своего третьего закона движения , что «согласно этому закону все тела должны притягиваться друг к другу». Это последнее утверждение, подразумевающее существование гравитационных взаимодействующих сил, является ключевым.

Как показано ниже, задача также соответствует неньютоновским первому и второму принципам Жана Лерона Д'Аламбера и нелинейному алгоритму задачи n тел, причем последний допускает решение в замкнутой форме для расчета этих взаимодействующих сил.

Проблема поиска общего решения задачи n -тел считалась очень важной и сложной. Действительно, в конце 19 века король Швеции Оскар II , по совету Йёсты Миттаг-Леффлера , учредил премию для того, кто сможет найти решение задачи. Объявление было весьма конкретным:

Дана система из произвольного числа материальных точек, которые притягиваются друг к другу согласно закону Ньютона, и предполагается, что никакие две точки никогда не сталкиваются. Попробуйте найти представление координат каждой точки в виде ряда по переменной, которая является некоторой известной функцией времени и для всех значений которой ряд сходится равномерно .

В случае, если проблема не могла быть решена, любой другой важный вклад в классическую механику считался бы достойным награды. Премия была присуждена Пуанкаре , даже несмотря на то, что он не решил исходную проблему. (Первая версия его вклада даже содержала серьезную ошибку. ^[11] ) Версия, которая была окончательно напечатана, содержала много важных идей, которые привели к развитию теории хаоса . Проблема, как она была сформулирована изначально, была окончательно решена Карлом Фритьофом Сундманом для n = 3 и обобщена до n > 3 Л. К. Бабадзаньянцем ^{[12] [13]} и Цюдуном Ваном . ^[14]

Общая формулировка

Задача n тел рассматривает n точечных масс m _i , i = 1, 2, …, n в инерциальной системе отсчета в трехмерном пространстве ℝ ^{3 ,} движущихся под действием взаимного гравитационного притяжения. Каждая масса m _i имеет радиус-вектор q _i . Второй закон Ньютона гласит, что масса, умноженная на ускорение m _i ⁠д ² q _i/дт ²⁠ равна сумме сил, действующих на массу. Закон тяготения Ньютона гласит, что гравитационная сила, действующая на массу m _i со стороны одной массы m _j, определяется выражением ^[15] , где G — гравитационная постоянная , а ‖ q _j − q _i ‖ — величина расстояния между q _i и q _j ( метрика , индуцируемая нормой l 2 ). $${\displaystyle \mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},}$$

Суммирование по всем массам дает уравнения движения n -тел :

${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}}$

где U — собственная потенциальная энергия

$${\displaystyle U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.}$$

Определяя импульс как p _i = m _i ⁠д _ц я/дт⁠ , уравнения движения Гамильтона для задачи n тел становятся ^[16] где функция Гамильтона равна , а T — кинетическая энергия $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},}$$ $${\displaystyle H=T+U}$$ $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.}$$

Уравнения Гамильтона показывают, что задача n тел представляет собой систему из 6 n дифференциальных уравнений первого порядка с 6 n начальными условиями в виде 3 n начальных координат положения и 3 n начальных значений импульса.

Симметрии в задаче n тел дают глобальные интегралы движения , которые упрощают задачу. ^[17] Трансляционная симметрия задачи приводит к тому, что центр масс движется с постоянной скоростью, так что C = L ₀ t + C ₀ , где L ₀ — линейная скорость, а C ₀ — начальное положение. Константы движения L ₀ и C ₀ представляют шесть интегралов движения. Вращательная симметрия приводит к тому, что полный угловой момент постоянен , где × — векторное произведение . Три компонента полного углового момента A дают еще три константы движения. Последняя общая константа движения задается законом сохранения энергии H . Следовательно, каждая задача n тел имеет десять интегралов движения. $${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},}$$

Поскольку T и U являются однородными функциями степени 2 и −1 соответственно, уравнения движения обладают масштабной инвариантностью : если q _i ( t ) является решением, то таковым является и λ ^−2/3 q _i ( λt ) для любого λ > 0. [ ^18]

Момент инерции системы из n тел определяется как , а вириал определяется как Q = ⁠ $${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}\cdot \mathbf {q} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left\|\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}$$1/2⁠ ⁠дИ/дт⁠ . Тогда формула Лагранжа–Якоби утверждает, что ^[19] $${\displaystyle {\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T-U.}$$

Для систем в динамическом равновесии долгосрочное среднее значение ⟨ ⁠д ² я/дт ²⁠ ⟩ равно нулю. Тогда в среднем полная кинетическая энергия составляет половину полной потенциальной энергии, ⟨ T ⟩ = ⁠1/2⁠ ⟨ U ⟩ , что является примером теоремы вириала для гравитационных систем. ^[20] Если M — полная масса, а R — характерный размер системы (например, радиус, содержащий половину массы системы), то критическое время для установления системы в динамическое равновесие равно ^[21] $${\displaystyle t_{\mathrm {cr} }={\sqrt {\frac {GM}{R^{3}}}}.}$$

Особые случаи

Задача двух тел

Любое обсуждение планетарных взаимодействующих сил исторически всегда начиналось с задачи двух тел . Цель этого раздела — связать реальную сложность расчета любых планетарных сил. Обратите внимание, что в этом разделе также несколько тем, таких как гравитация , барицентр , законы Кеплера и т. д.; и в следующем разделе также ( задача трех тел ) обсуждаются на других страницах Википедии. Здесь же эти темы обсуждаются с точки зрения задачи n тел.

Задача двух тел ( n = 2 ) была полностью решена Иоганном Бернулли (1667–1748) с помощью классической теории (а не Ньютоном), предполагая, что основная точечная масса неподвижна; это изложено здесь. ^[22] Рассмотрим затем движение двух тел, скажем, Солнца и Земли, при неподвижном Солнце, тогда: $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}}$$

Уравнение, описывающее движение массы m ₂ относительно массы m _1, легко получается из разностей этих двух уравнений и после исключения общих членов дает: Где $${\displaystyle \mathbf {\alpha } +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} }$$

• r = r ₂ − r ₁ — положение вектора m ₂ относительно m ₁ ;
• α — ускорение Эйлера ⁠д ² р/дт ²⁠ ;
• η = G ( m ₁ + m ₂ ) .

Уравнение α + ⁠η/г ³⁠ r = 0 — фундаментальное дифференциальное уравнение для задачи двух тел, решенной Бернулли в 1734 году. Обратите внимание, что для этого подхода сначала необходимо определить силы, а затем решить уравнение движения. Это дифференциальное уравнение имеет эллиптические, параболические или гиперболические решения. ^{[23] [24] [25]}

Неправильно думать, что m ₁ (Солнце) неподвижно в пространстве при применении закона всемирного тяготения Ньютона, и это приводит к ошибочным результатам. Неподвижной точкой для двух изолированных гравитационно взаимодействующих тел является их общий барицентр , и эта задача двух тел может быть решена точно, например, с использованием координат Якоби относительно барицентра.

Доктор Кларенс Клеминшоу вычислил приблизительное положение барицентра Солнечной системы, результат, достигнутый в основном путем объединения только масс Юпитера и Солнца. Science Program заявила в отношении его работы:

Солнце содержит 98 процентов массы в Солнечной системе, а высшие планеты за Марсом составляют большую часть оставшейся массы. В среднем центр масс системы Солнце-Юпитер, когда два самых массивных объекта рассматриваются по отдельности, находится в 462 000 милях от центра Солнца или примерно в 30 000 милях над солнечной поверхностью! Однако другие крупные планеты также влияют на центр масс Солнечной системы. Например, в 1951 году центр масс системы находился недалеко от центра Солнца, потому что Юпитер находился на противоположной стороне от Сатурна, Урана и Нептуна. В конце 1950-х годов, когда все четыре из этих планет находились на одной стороне от Солнца, центр масс системы находился более чем в 330 000 милях от солнечной поверхности, подсчитал доктор К. Х. Клеминшоу из обсерватории Гриффита в Лос-Анджелесе. ^[26]

Реальное движение против кажущегося движения Кеплера

Солнце колеблется, вращаясь вокруг Галактического центра , увлекая за собой Солнечную систему и Землю. Математик Кеплер , придя к своим трем знаменитым уравнениям, подогнал кривые к видимым движениям планет, используя данные Тихо Браге , а не подогнал кривые к их истинным круговым движениям вокруг Солнца (см. рисунок). И Роберт Гук , и Ньютон прекрасно знали, что закон всемирного тяготения Ньютона не распространяется на силы, связанные с эллиптическими орбитами. ^[10] Фактически, закон всемирного тяготения Ньютона не учитывает орбиту Меркурия, гравитационное поведение пояса астероидов или кольца Сатурна . ^[27] Ньютон заявил (в разделе 11 « Начал» ), что главной причиной, однако, неудачи в предсказании сил для эллиптических орбит, было то, что его математическая модель была для тела, ограниченного ситуацией, которая едва ли существовала в реальном мире, а именно движениями тел, притягиваемых к неподвижному центру. Некоторые современные учебники физики и астрономии не подчеркивают отрицательное значение предположения Ньютона и в конечном итоге учат, что его математическая модель на самом деле является реальностью. Следует понимать, что классическое решение задачи двух тел выше является математической идеализацией. См. также первый закон Кеплера о движении планет .

Задача трех тел

В этом разделе рассматривается исторически важное решение задачи n тел после принятия упрощающих предположений.

В прошлом было мало что известно о задаче n тел при n ≥ 3. [ ^28] Случай n = 3 был наиболее изучен. Многие ранние попытки понять задачу трех тел были количественными и были направлены на поиск явных решений для особых ситуаций.

• В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал в « Началах» первые шаги в изучении проблемы движения трех тел, подверженных взаимному гравитационному притяжению, но его усилия привели к словесным описаниям и геометрическим рисункам; см. особенно Книгу 1, Предложение 66 и его следствия (Ньютон, 1687 и 1999 (перевод), см. также Тиссеран, 1894).
• В 1767 году Эйлер обнаружил коллинеарные движения, в которых три тела любых масс движутся пропорционально вдоль фиксированной прямой линии. Задача трех тел Эйлера является частным случаем, в котором два тела зафиксированы в пространстве (ее не следует путать с круговой ограниченной задачей трех тел , в которой два массивных тела описывают круговую орбиту и зафиксированы только в синодической системе отсчета).
• В 1772 году Лагранж открыл два класса периодических решений, каждое для трёх тел любых масс. В одном классе тела лежат на вращающейся прямой. В другом классе тела лежат в вершинах вращающегося равностороннего треугольника. В любом случае траектории тел будут коническими сечениями. Эти решения привели к изучению центральных конфигураций , для которых q̈ = kq для некоторой постоянной k > 0 .
• Крупное исследование системы Земля–Луна–Солнце было предпринято Шарлем-Эженом Делоне , который опубликовал два тома по этой теме, каждый объемом 900 страниц, в 1860 и 1867 годах. Среди многих других достижений работа уже намекает на хаос и ясно демонстрирует проблему так называемых «малых знаменателей» в теории возмущений .
• В 1917 году Форест Рэй Молтон опубликовал свою ныне классическую работу «Введение в небесную механику» (см. ссылки) с графиком решения ограниченной задачи трех тел (см. рисунок ниже). ^[29] Кстати, см. книгу Мейровича, страницы 413–414, где он описывает решение ограниченной задачи трех тел. ^[30]

Движение трех частиц под действием гравитации, демонстрирующее хаотическое поведение

Решение Моултона может быть проще визуализировать (и определенно проще решить), если считать, что более массивное тело (такое как Солнце ) неподвижно в пространстве, а менее массивное тело (такое как Юпитер ) вращается вокруг него, при этом точки равновесия ( точки Лагранжа ) сохраняют интервал в 60° впереди и позади менее массивного тела, почти находящегося на его орбите (хотя в действительности ни одно из тел не является по-настоящему неподвижным, поскольку они оба вращаются вокруг центра масс всей системы — вокруг барицентра). При достаточно малом соотношении масс основных частиц эти треугольные точки равновесия устойчивы, так что (почти) безмассовые частицы будут вращаться вокруг этих точек, когда они вращаются вокруг большего основного тела (Солнца). Пять точек равновесия круговой задачи известны как точки Лагранжа. Смотрите рисунок ниже:

Ограниченная задача трех тел

В ограниченной математической модели задачи трех тел, представленной выше (по Моултону), точки Лагранжа L ₄ и L ₅ — это места, где находились троянские планетоиды (см. Точка Лагранжа ); m ₁ — это Солнце, а m ₂ — это Юпитер. L ₂ — это точка внутри пояса астероидов. Для этой модели необходимо понять, что вся эта диаграмма Солнце-Юпитер вращается вокруг своего барицентра. Решение ограниченной задачи трех тел предсказало троянские планетоиды до того, как они были впервые обнаружены. Круги h и замкнутые петли отражают электромагнитные потоки, исходящие от Солнца и Юпитера. Предполагается, вопреки предположению Ричарда Х. Батина (см. Ссылки), что две точки h ₁ — это гравитационные стоки, в которых гравитационные силы равны нулю, и причина, по которой троянские планетоиды оказались там в ловушке. Общая масса планетоидов неизвестна.

Ограниченная задача трех тел предполагает, что масса одного из тел пренебрежимо мала. ^{[ требуется ссылка ]} Для обсуждения случая, когда пренебрежимо малое тело является спутником тела меньшей массы, см. сфера Хилла ; для двойных систем см. полость Роша . Конкретные решения задачи трех тел приводят к хаотическому движению без явных признаков повторяющегося пути. ^{[ требуется ссылка ]}

Ограниченная задача (как круговая, так и эллиптическая) активно разрабатывалась многими известными математиками и физиками, в частности Пуанкаре в конце 19 века. Работа Пуанкаре по ограниченной задаче трех тел легла в основу теории детерминированного хаоса . ^{[ требуется ссылка ]} В ограниченной задаче существует пять точек равновесия . Три из них коллинеарны массам (во вращающейся системе отсчета) и неустойчивы. Оставшиеся две расположены в третьих вершинах обоих равносторонних треугольников, из которых два тела являются первой и второй вершинами.

Задача четырех тел

Вдохновленная круговой ограниченной задачей трех тел, задача четырех тел может быть значительно упрощена, если рассматривать меньшее тело как имеющее малую массу по сравнению с другими тремя массивными телами, которые, в свою очередь, аппроксимируются для описания круговых орбит. Это известно как бициклическая ограниченная задача четырех тел (также известная как бициклическая модель), и ее можно проследить до 1960 года в отчете NASA, написанном Су-Шу Хуангом. ^[31] Эта формулировка была весьма актуальна в астродинамике , в основном для моделирования траекторий космических аппаратов в системе Земля-Луна с добавлением гравитационного притяжения Солнца. Прежняя формулировка бициклической ограниченной задачи четырех тел может быть проблематичной при моделировании других систем, кроме Земли-Луны-Солнца, поэтому формулировка была обобщена Негри и Прадо ^[32] для расширения области применения и повышения точности без потери простоты.

Планетарная проблема

Планетарная задача — это задача n тел в случае, когда одна из масс намного больше всех остальных. Прототипическим примером планетарной задачи является система Солнце– Юпитер – Сатурн , где масса Солнца примерно в 1000 раз больше масс Юпитера или Сатурна. ^[18] Приближенное решение задачи — разложить ее на n − 1 пар задач Кеплера звезда–планета , рассматривая взаимодействия между планетами как возмущения. Пертурбативное приближение работает хорошо, пока в системе нет орбитальных резонансов , то есть ни одно из отношений невозмущенных частот Кеплера не является рациональным числом. Резонансы появляются как малые знаменатели в разложении.

Существование резонансов и малых знаменателей привело к важному вопросу устойчивости в планетарной задаче: остаются ли планеты, находящиеся на почти круговых орбитах вокруг звезды, на устойчивых или ограниченных орбитах с течением времени? ^{[18] [33]} В 1963 году Владимир Арнольд доказал с помощью теории КАМ своего рода устойчивость планетарной задачи: существует множество положительной меры квазипериодических орбит в случае планетарной задачи, ограниченной плоскостью. ^[33] В теории КАМ хаотические планетарные орбиты были бы ограничены квазипериодическими торами КАМ. Результат Арнольда был расширен до более общей теоремы Фейозом и Германом в 2004 году. ^[34]

Центральные конфигурации

Центральная конфигурация q ₁ (0), …, q _N (0) — это начальная конфигурация, такая, что если бы все частицы были выпущены с нулевой скоростью, они все бы схлопнулись к центру масс C . ^[33] Такое движение называется гомотетическим . Центральные конфигурации могут также приводить к гомографическим движениям , в которых все массы движутся по кеплеровским траекториям (эллиптической, круговой, параболической или гиперболической), причем все траектории имеют одинаковый эксцентриситет e . Для эллиптических траекторий e = 1 соответствует гомотетическому движению, а e = 0 дает относительное равновесное движение , в котором конфигурация остается изометрией начальной конфигурации, как если бы конфигурация была твердым телом. ^[35] Центральные конфигурации сыграли важную роль в понимании топологии инвариантных многообразий, созданных путем фиксации первых интегралов системы.

н-хореография тела

Решения, в которых все массы движутся по одной и той же кривой без столкновений, называются хореографиями. ^[36] Хореография для n = 3 была открыта Лагранжем в 1772 году, в которой три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника во вращающейся системе отсчета. Хореография в виде восьмерки для n = 3 была найдена численно К. Муром в 1993 году ^[37] и обобщена и доказана А. Ченчинером и Р. Монтгомери в 2000 году. ^[38] С тех пор было найдено много других хореографий для n ≥ 3 .

Аналитические подходы

Для каждого решения задачи не только применение изометрии или сдвига во времени, но и обращение времени (в отличие от случая трения) также дает решение. ^{[ необходима цитата ]}

В физической литературе, посвященной задаче n тел ( n ≥ 3 ), иногда упоминается «невозможность решения задачи n тел» (с использованием указанного выше подхода). ^{[ требуется ссылка ]} Однако следует проявлять осторожность при обсуждении «невозможности» решения, поскольку это относится только к методу первых интегралов (сравните теоремы Абеля и Галуа о невозможности решения алгебраических уравнений пятой степени и выше с помощью формул, содержащих только корни).

Решение серии Power

Одним из способов решения классической задачи n тел является « задача n тел с помощью рядов Тейлора ».

Начнем с определения системы дифференциальных уравнений : ^{[ требуется ссылка ]} $${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}},}$$

Как x _i ( t ₀ ) и ⁠д икс _я ( т ₀ )/дт⁠ даны в качестве начальных условий, каждый ⁠д ² х _я ( т )/дт ²⁠ известно. Дифференцирование ⁠д ² х _я ( т )/дт ²⁠ результаты в ⁠д ³ х _я ( т )/дт ³⁠ который при t ₀ также известен, и ряд Тейлора строится итеративно. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Обобщенное глобальное решение Сундмана

Чтобы обобщить результат Сундмана на случай n > 3 (или n = 3 и c = 0 ^{[ необходимо разъяснение ]} ), придется столкнуться с двумя препятствиями:

1. Как показал Зигель, столкновения, в которых участвует более двух тел, не могут быть регуляризированы аналитически, поэтому регуляризация Сундмана не может быть обобщена. ^{[ необходима цитата ]}
2. Структура особенностей в этом случае более сложная: могут встречаться и другие типы особенностей (см. ниже).

Наконец, результат Сундмана был обобщен на случай n > 3 тел Цюдонгом Ваном в 1990-х годах. ^[39] Поскольку структура сингулярностей более сложна, Вану пришлось полностью оставить вопросы сингулярностей. Центральным моментом его подхода является преобразование соответствующим образом уравнений в новую систему, так что интервал существования решений этой новой системы равен [0,∞) .

Особенностин-проблема с телом

В задаче n тел могут быть два типа особенностей :

• столкновения двух или более тел, но при которых q ( t ) (положения тел) остаются конечными. (В этом математическом смысле «столкновение» означает, что два точечных тела имеют одинаковые положения в пространстве.)
• сингулярности, в которых столкновение не происходит, но q ( t ) не остается конечным. В этом сценарии тела расходятся до бесконечности за конечное время, одновременно стремясь к нулевому разделению (воображаемое столкновение происходит «на бесконечности»).

Последние называются гипотезой Пенлеве (сингулярности без столкновений). Их существование было предположено для n > 3 Пенлеве (см. гипотеза Пенлеве ). Примеры такого поведения для n = 5 были построены Ся ^[40] , а эвристическая модель для n = 4 — Жервером. ^[41] Дональд Г. Саари показал, что для 4 или менее тел набор начальных данных, порождающих сингулярности, имеет меру ноль. ^[42]

Моделирование

Хотя для классической (т.е. нерелятивистской) задачи двух тел и для выбранных конфигураций с n > 2 имеются аналитические решения , в общем случае задачи n тел должны решаться или моделироваться с использованием численных методов. ^[21]

Несколько тел

Для небольшого числа тел задача n -тел может быть решена с помощью прямых методов , также называемых методами частица-частица . Эти методы численно интегрируют дифференциальные уравнения движения. Численное интегрирование для этой задачи может быть сложной задачей по нескольким причинам. Во-первых, гравитационный потенциал сингулярен; он стремится к бесконечности, когда расстояние между двумя частицами стремится к нулю. Гравитационный потенциал может быть «смягчен», чтобы устранить сингулярность на малых расстояниях: ^[21] Во-вторых, в общем случае при n > 2 задача n -тел является хаотичной , ^[43] что означает, что даже небольшие ошибки в интегрировании могут экспоненциально расти со временем. В-третьих, моделирование может проводиться на больших отрезках модельного времени (например, миллионы лет), и численные ошибки накапливаются по мере увеличения времени интегрирования. $${\displaystyle U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}}$$

Существует ряд методов уменьшения ошибок в численном интегрировании. ^[21] Локальные системы координат используются для работы с сильно различающимися масштабами в некоторых задачах, например, система координат Земля-Луна в контексте моделирования солнечной системы. Вариационные методы и теория возмущений могут дать приблизительные аналитические траектории, на которых численное интегрирование может быть коррекцией. Использование симплектического интегратора гарантирует, что моделирование подчиняется уравнениям Гамильтона с высокой степенью точности и, в частности, что энергия сохраняется.

Множество тел

Прямые методы, использующие численное интегрирование, требуют порядка ⁠1/2⁠ n ² вычислений для оценки потенциальной энергии по всем парам частиц, и, таким образом, имеют временную сложность O ( n ² ) . Для моделирования со многими частицами фактор O ( n ² ) делает крупномасштабные вычисления особенно трудоемкими. ^[21]

Разработан ряд приближенных методов, которые уменьшают временную сложность по сравнению с прямыми методами: ^[21]

• Методы древовидного кода , такие как моделирование Барнса–Хата , являются пространственно-иерархическими методами, используемыми, когда нет необходимости вычислять вклады удаленных частиц с высокой точностью. Потенциал удаленной группы частиц вычисляется с использованием мультипольного расширения или другого приближения потенциала. Это позволяет снизить сложность до O ( n log n ) .
• Быстрые мультипольные методы используют тот факт, что мультипольно-расширенные силы от удаленных частиц подобны для частиц, близких друг к другу, и используют локальные расширения сил дальнего поля для уменьшения вычислительных усилий. Утверждается, что это дальнейшее приближение снижает сложность до O ( n ) . ^[21]
• Методы сетки частиц делят пространство моделирования на трехмерную сетку, на которую интерполируется плотность массы частиц. Затем вычисление потенциала становится вопросом решения уравнения Пуассона на сетке, которое может быть вычислено за время O ( n log n ) с использованием быстрого преобразования Фурье или за время O ( n ) с использованием многосеточных методов. Это может обеспечить быстрые решения ценой более высокой ошибки для короткодействующих сил. Адаптивное уточнение сетки может использоваться для повышения точности в областях с большим количеством частиц.
• Методы P ³ M и PM-tree являются гибридными методами, которые используют приближение сетки частиц для удаленных частиц, но используют более точные методы для близких частиц (в пределах нескольких интервалов сетки). P ³ M означает частица–частица, частица–сетка и использует прямые методы со смягченными потенциалами на близком расстоянии. Методы PM-tree вместо этого используют коды дерева на близком расстоянии. Как и методы сетки частиц, адаптивные сетки могут повысить вычислительную эффективность.
• Методы среднего поля аппроксимируют систему частиц с помощью зависящего от времени уравнения Больцмана, представляющего плотность массы, которая связана с самосогласованным уравнением Пуассона, представляющим потенциал. Это тип приближения гидродинамики сглаженных частиц, подходящий для больших систем.

Сильная гравитация

В астрофизических системах с сильными гравитационными полями, например, вблизи горизонта событий черной дыры , моделирование n тел должно учитывать общую теорию относительности ; такое моделирование является областью численной теории относительности . Численное моделирование уравнений поля Эйнштейна является чрезвычайно сложной задачей ^[21], и по возможности используется параметризованный постньютоновский формализм (PPN), такой как уравнения Эйнштейна–Инфельда–Гоффмана . Задача двух тел в общей теории относительности аналитически разрешима только для задачи Кеплера, в которой предполагается, что одна масса намного больше другой. ^[44]

Другойн-проблемы с телом

Большая часть работы по проблеме n -тел была посвящена проблеме гравитации. Но существуют и другие системы, для которых математика n -тел и методы моделирования оказались полезными.

В крупномасштабных электростатических задачах, таких как моделирование белков и клеточных сборок в структурной биологии , кулоновский потенциал имеет ту же форму, что и гравитационный потенциал, за исключением того, что заряды могут быть положительными или отрицательными, что приводит как к отталкивающим, так и к притягивающим силам. ^[45] Быстрые кулоновские решатели являются электростатическим аналогом быстрых мультипольных симуляторов. Они часто используются с периодическими граничными условиями в моделируемой области, а методы суммирования Эвальда используются для ускорения вычислений. ^[46]

В статистике и машинном обучении некоторые модели имеют функции потерь формы, схожей с функцией гравитационного потенциала: сумма функций ядра по всем парам объектов, где функция ядра зависит от расстояния между объектами в пространстве параметров. ^[47] Примеры задач, которые вписываются в эту форму, включают все ближайшие соседи в многообразном обучении , оценку плотности ядра и машины ядра . Были разработаны альтернативные оптимизации для снижения временной сложности O ( n ² ) до O ( n ) , такие как алгоритмы двойного дерева , которые также применимы к гравитационной задаче n тел.

Метод в вычислительной гидродинамике, называемый вихревыми методами, рассматривает вихреобразование в области жидкости, дискретизированное на частицы, которые затем переносятся со скоростью в их центрах. Поскольку скорость жидкости и вихреобразование связаны через уравнение Пуассона , скорость может быть решена таким же образом, как гравитация и электростатика: как суммирование n тел по всем частицам, содержащим вихреобразование. Суммирование использует закон Био-Савара , при этом вихреобразование занимает место электрического тока. ^[48] В контексте турбулентных многофазных потоков, нагруженных частицами, определение общего поля возмущения, создаваемого всеми частицами, является проблемой n тел. Если частицы, перемещающиеся в потоке, намного меньше колмогоровского масштаба потока, их линейные поля возмущения Стокса могут быть наложены, что дает систему из 3 n уравнений для 3 компонентов скоростей возмущения в месте расположения n частиц. ^{[49] [50]}

Смотрите также

• Небесная механика
• Гравитационная задача двух тел
• интеграл Якоби
• Лунная теория
• Натуральные единицы
• Численная модель Солнечной системы
• Устойчивость Солнечной системы
• Системы с малым числом тел
• Моделирование N-тел , метод численного получения траекторий тел в системе N-тел.

Примечания

1. Лейманис и Минорски: Нас интересует Лейманис, который первым обсуждает некоторую историю о задаче n тел, особенно двадцатилетний подход комплексных переменных госпожи Ковалевской 1868–1888 гг., неудача; Раздел 1: «Динамика твердых тел и математическая внешняя баллистика» (Глава 1, «Движение твердого тела вокруг неподвижной точки (уравнения Эйлера и Пуассона)»; Глава 2, «Математическая внешняя баллистика»), хороший предшественник задачи n тел; Раздел 2: «Небесная механика» (Глава 1, «Униформизация задачи трех тел (ограниченная задача трех тел)»; Глава 2, «Захват в задаче трех тел»; Глава 3, «Обобщенная задача n тел»).
2. См. ссылки, цитируемые для Heggie и Hut.
3. Квазистационарные нагрузки — это мгновенные инерционные нагрузки, создаваемые мгновенными угловыми скоростями и ускорениями, а также поступательными ускорениями (9 переменных). Это как если бы кто-то сделал фотографию, которая также зафиксировала мгновенное положение и свойства движения. Напротив, в стационарном состоянии состояние системы инвариантно ко времени; в противном случае первые производные и все высшие производные равны нулю.
4. Р. М. Розенберг формулирует проблему n тел аналогичным образом (см. Ссылки): «Каждая частица в системе из конечного числа частиц подвергается ньютоновскому гравитационному притяжению со стороны всех других частиц и никаким другим силам. Если начальное состояние системы задано, как будут двигаться частицы?» Розенберг не понял, как и все остальные, что необходимо сначала определить силы, прежде чем можно будет определить движения.
5. Общее классическое решение в терминах первых интегралов, как известно, невозможно. Точное теоретическое решение для произвольного n можно аппроксимировать с помощью ряда Тейлора , но на практике такой бесконечный ряд должен быть усечен, давая в лучшем случае только приближенное решение; и этот подход теперь устарел. Кроме того, задачу n тел можно решить с помощью численного интегрирования , но они также являются приближенными решениями; и снова устарели. См. книгу Сверре Дж. Аарсета Gravitational n -Body Simulations, указанную в списке литературы.
6. Кларк, Дэвид Х.; Кларк, Стивен П. Х. (2001). Подавленные научные открытия Стивена Грея и Джона Флемстида, тирания Ньютона . W. H. Freeman and Co.. Популяризация исторических событий и препирательств между этими сторонами, но, что еще важнее, результатов, к которым они привели.
7. См. Brewster, David (1905). «Открытие гравитации, 1666 г. н. э.». В Johnson, Rossiter (ред.). Великие события известных историков . Т. XII. The National Alumni. С. 51–65.
8. Рудольф Курт подробно обсуждает в своей книге (см. Ссылки) планетарные возмущения. Отступление: эти математически неопределенные планетарные возмущения (колебания) все еще существуют неопределенными даже сегодня, и планетарные орбиты должны постоянно обновляться, как правило, ежегодно. См. Astronomical Ephemeris и American Ephemeris and Nautical Almanac, подготовленные совместно Nautical Almanac Offices of the United Kingdom and the United States of America.
9. См. Principia , Книга третья, Система мира , "Общая схолия", страница 372, последний абзац. Ньютон прекрасно понимал, что его математическая модель не отражает физическую реальность. Это издание, на которое ссылаются, взято из Great Books of the Western World , Том 34, который был переведен Эндрю Моттом и отредактирован Флорианом Каджори . ^{[ полная ссылка ]} Этот же абзац находится на странице 1160 в Stephen Hawkins , On the Shoulders of Giants , издание 2002 года; ^{[ полная ссылка ]} является копией из дополнения Дэниела Эйди 1848 года. Коэн также перевел новые издания: Introduction to Newton's Principia , 1970; и Isaac Newton's Principia, with Variant Readings , 1972. Каджори также написал History of Science , которая доступна онлайн. ^{[ полная ссылка ]}
10. См. статью Бернарда Коэна в журнале Scientific American .
11. Подробности серьезной ошибки в первом представлении Пуанкаре см. в статье Диаку.
12. Бабадзаньянц, Л. К. (1979), «Существование продолжений в задаче N тел», Небесная механика , 20 (1): 43–57, Bibcode : 1979CeMec..20...43B, doi : 10.1007/BF01236607, MR  0538663, S2CID  120358878.
13. Бабадзаньянц, Л. К. (1993), «О глобальном решении проблемы N тел», Небесная механика и динамическая астрономия , 56 (3): 427–449, Bibcode : 1993CeMDA..56..427B, doi : 10.1007/BF00691812, MR  1225892, S2CID  120617936.
14. Ван, Цю Дун (1991), «Глобальное решение проблемы n тел», Небесная механика и динамическая астрономия , 50 (1): 73–88, Bibcode : 1991CeMDA..50...73W, doi : 10.1007/BF00048987, MR  1117788, S2CID  118132097.
15. Мейер 2009, стр. 27–28.
16. Мейер 2009, стр. 28
17. Мейер 2009, стр. 28–29
18. Ченчинер 2007
19. Мейер 2009, стр. 34
20. "AST1100 Lecture Notes: 5 Теорема вириала" (PDF) . Университет Осло . Получено 25 марта 2014 г. .
21. Тренти 2008
22. См. Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp. 1–49. Эти авторы были из Департамента астронавтики и компьютерных наук, Военно-воздушной академии США. Их учебник не переполнен продвинутой математикой.
23. Для классического подхода, если общий центр масс (т. е. барицентр) двух тел считается покоящимся, то каждое тело движется по коническому сечению , фокус которого находится в барицентре системы. В случае гиперболы ветвь находится сбоку от этого фокуса. Два коника будут находиться в одной плоскости. Тип коники (окружность , эллипс , парабола или гипербола ) определяется путем нахождения суммы объединенной кинетической энергии двух тел и потенциальной энергии , когда тела находятся далеко друг от друга. (Эта потенциальная энергия всегда имеет отрицательное значение; энергия вращения тел вокруг своих осей здесь не учитывается)
    • Если сумма энергий отрицательна, то они обе описывают эллипсы.
    • Если сумма обеих энергий равна нулю, то они обе описывают параболы. По мере того, как расстояние между телами стремится к бесконечности, их относительная скорость стремится к нулю.
    • Если сумма обеих энергий положительна, то они обе описывают гиперболы. По мере того, как расстояние между телами стремится к бесконечности, их относительная скорость стремится к некоторому положительному числу.
24. Физическую механику Линдсея , Глава 3: «Криволинейное движение в плоскости», и в частности параграфы 3–9, «Планетное движение»; стр. 83–96. Презентация Линдсея во многом объясняет эти последние комментарии для задачи двух неподвижных тел; т. е. когда Солнце предполагается неподвижным.
25. Примечание: Тот факт, что параболическая орбита имеет нулевую энергию, возникает из предположения, что гравитационная потенциальная энергия стремится к нулю, когда тела становятся бесконечно далеко друг от друга. Можно присвоить любое значение потенциальной энергии в состоянии бесконечного разделения. Это состояние по соглашению считается имеющим нулевую потенциальную энергию.
26. статье «Природа Вселенной» научной программы говорится, что Кларенс Клеминшоу (1902–1985) был помощником директора обсерватории Гриффита с 1938 по 1958 год и директором с 1958 по 1969 год. Некоторые публикации Клеминшоу:
    • Клеминшоу, К. Х.: «Небесные скорости», 4 1953, уравнение, Кеплер, орбита, комета, Сатурн, Марс, скорость. ^{[ необходима полная цитата ]}
    • Клеминшоу, К. Х.: «Грядущее соединение Юпитера и Сатурна», 7 1960, Сатурн, Юпитер, наблюдение, соединение. ^{[ необходима полная цитата ]}
    • Клеминшоу, К. Х.: «Масштаб Солнечной системы», 7 1959, Солнечная система, масштаб, Юпитер, солнце, размер, свет. ^{[ необходима полная цитата ]}
27. Браш, Стивен Г., ред. (1983). Максвелл о кольцах Сатурна . MIT Press.
28. См. исторические комментарии Лейманиса и Минорского.
29. Аналитическое и графическое решение см. в Ограниченной задаче трех тел Моултона .
30. См. книгу Мейровича: Главы 11: «Проблемы небесной механики»; 12: «Проблемы динамики космических аппаратов»; и Приложение A: «Диадики».
31. Хуан, Су-Шу (1960). "Очень ограниченная задача четырех тел". NASA TND-501 . 65 : 347. Bibcode : 1960AJ.....65S.347H. doi : 10.1086/108151. hdl : 2060/19890068606 .
32. Негри, Родольфо Б.; Прадо, Антонио Ф. Б. А. (2020). «Обобщение бициркулярной ограниченной задачи четырех тел». Журнал руководства, управления и динамики . 43 (6): 1173–1179. Bibcode : 2020JGCD...43.1173N. doi : 10.2514/1.G004848. S2CID  213600592.
33. Кьеркия 2010
34. Фейос 2004
35. См. Chierchia 2010 для анимаций, иллюстрирующих гомографические движения.
36. Челлетти 2008
37. Мур, Кристофер (1993-06-14). «Косы в классической динамике». Physical Review Letters . 70 (24): 3675–3679. Bibcode : 1993PhRvL..70.3675M. doi : 10.1103/PhysRevLett.70.3675. PMID  10053934.
38. Ченчинер, Ален; Монтгомери, Ричард (ноябрь 2000 г.). «Замечательное периодическое решение задачи трех тел в случае равных масс». Анналы математики . 152 (3): 881. arXiv : math/0011268 . Bibcode :2000math.....11268C. doi :10.2307/2661357. JSTOR  2661357. S2CID  10024592.
39. Qiu-Dong, Wang (1990-03-01). «Глобальное решение проблемы N тел». Небесная механика и динамическая астрономия . 50 (1): 73–88. Bibcode : 1990CeMDA..50...73W. doi : 10.1007/BF00048987. ISSN  0923-2958. S2CID  118132097.
40. Ся, Чжихун (май 1992 г.). «Существование неколлизионных особенностей в ньютоновских системах». Ann. Math . Вторая серия. 135 (3): 411–468. doi :10.2307/2946572. JSTOR  2946572.
41. Джервер, Джозеф Л. (2003). «Нестолкновительные особенности: достаточно ли четырех тел?». Exp. Math . 12 (2): 187–198. doi :10.1080/10586458.2003.10504491. S2CID  23816314.
42. Саари, Дональд Г. (1977). "Глобальная теорема существования для задачи четырех тел ньютоновской механики". J. Differential Equations . 26 (1): 80–111. Bibcode :1977JDE....26...80S. doi : 10.1016/0022-0396(77)90100-0 .
43. Аллигуд 1996
44. Бланше 2001
45. Крумшайд 2010
46. Правление 1999
47. Рам 2010
48. Котте, Жорж-Анри; Кумутсакос, Петрос Д. (2000). Методы вихрей: теория и практика . Кембридж, Великобритания: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-62186-0.
49. Ayala, Orlando; Grabowski, Wojciech W.; Wang, Lian-Ping (2007-07-01). «Гибридный подход к моделированию турбулентных столкновений гидродинамически взаимодействующих частиц». Journal of Computational Physics . 225 (1): 51–73. Bibcode : 2007JCoPh.225...51A. doi : 10.1016/j.jcp.2006.11.016. ISSN  0021-9991.
50. Torres, C. E.; Parishani, H.; Ayala, O.; Rossi, L. F.; Wang, L.-P. (2013-07-15). «Анализ и параллельная реализация принудительной задачи N-тел». Journal of Computational Physics . 245 : 235–258. Bibcode : 2013JCoPh.245..235T. doi : 10.1016/j.jcp.2013.03.008. ISSN  0021-9991.

Ссылки

• Aarseth, Sverre J. (2003). Гравитационное моделирование n -тел, инструменты и алгоритмы . Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-43272-6.
• Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (1996). Хаос: Введение в динамические системы . Нью-Йорк: Springer. С. 46–48. ISBN 978-0-387-94677-1.
• Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри (1971). Основы астродинамики . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-60061-1.
• Бланше, Люк (2001). «О задаче двух тел в общей теории относительности». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série IV . 2 (9): 1343–1352. arXiv : gr-qc/0108086 . Бибкод : 2001CRASP...2.1343B. дои : 10.1016/s1296-2147(01)01267-7. S2CID  119101016.
• Board, John A. Jr.; Humphres, Christopher W.; Lambert, Christophe G.; Rankin, William T.; Toukmaji, Abdulnour Y. (1999). "Ewald and Multipole Methods for Periodic n -Body Problems". В Deuflhard, Peter; Hermans, Jan; Leimkuhler, Benedict; Mark, Alan E.; Reich, Sebastian; Skeel, Robert D. (ред.). Computational Molecular Dynamics: Challenges, Methods, Ideas . Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Vol. 4. Berlin & Heidelberg: Springer. pp. 459–471. CiteSeerX  10.1.1.15.9501 . doi :10.1007/978-3-642-58360-5_27. ISBN 978-3-540-63242-9.
• Броновски, Якоб; Мазлиш, Брюс (1986) [1960]. Западная интеллектуальная традиция, от Леонардо до Гегеля . Нью-Йорк: Dorset Press. ISBN 978-0-88029-069-2.
• Челлетти, Алессандра (2008). "Вычислительная небесная механика". Scholarpedia . 3 (9): 4079. Bibcode :2008SchpJ...3.4079C. doi : 10.4249/scholarpedia.4079 .
• Шенчинер, Ален (2007). "Задача трех тел". Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode :2007SchpJ...2.2111C. doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
• Кьеркья, Луиджи; Мазер, Джон Н. (2010). «Теория Колмогорова–Арнольда–Мозера». Scholarpedia . 5 (9): 2123. Bibcode :2010SchpJ...5.2123C. doi : 10.4249/scholarpedia.2123 .
• Коэн, И. Бернард (март 1980 г.). «Открытие гравитации Ньютоном». Scientific American . 244 (3): 167–179. Bibcode : 1981SciAm.244c.166C. doi : 10.1038/scientificamerican0381-166.
• Коэн, И. Бернард (1985). Рождение новой физики, пересмотренное и обновленное . Нью-Йорк: W. W. Norton & Co. ISBN 978-0-393-30045-1.
• Диаку, Ф. (1996). «Решение проблемы n тел» (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 18 (3): 66–70. doi :10.1007/bf03024313. S2CID  119728316.
• Фейос, Дж. (2004). «Демонстрация «теоремы д'Арнольда» по стабильности планетарной системы (после Германа)». Эргодическая теория Динам. Системы . 24 (5): 1521–1582. дои : 10.1017/S0143385704000410. S2CID  123461135.
• Хегги, Дуглас; Хат, Пит (2003). Гравитационная проблема миллиона тел, многопрофильный подход к динамике звездных скоплений . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-77303-4.
• Хегги, Дуглас К. (1991). "Хаос в проблеме n -тел звездной динамики". В Рой, А. Э. (ред.). Предсказуемость, устойчивость и хаос в динамических системах n -тел . Нью-Йорк: Plenum Press. ISBN 978-0-306-44034-2.
• Хафбауэр, Карл (1991). Исследование Солнца: Солнечная наука со времен Галилея . Балтимор: Johns Hopkins University Press , спонсируется Отделом истории NASA. ISBN 978-0-8018-4098-2.
• Крумшайд, Себастьян (2010). Тест быстрых кулоновских решателей для открытых и периодических граничных условий (Отчет). Технический отчет FZJ-JSC-IB-2010-01. Суперкомпьютерный центр Юлиха. CiteSeerX  10.1.1.163.3549 .
• Курт, Рудольф (1959). Введение в механику Солнечной системы . Лондон: Pergamon Press . ISBN 978-0-08-009141-9.
• Leimanis, E.; Minorsky, N. (1958). "Часть I: "Некоторые последние достижения в динамике твердых тел и небесной механике" (Leimanis); Часть II: "Теория колебаний" (Minorsky)". Динамика и нелинейная механика . Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ASIN  B0006AVKQW. OCLC  1219303.
• Линдсей, Роберт Брюс (1961). Физическая механика (3-е изд.). Принстон: D. Van Nostrand Co. ASIN  B0000CLA7B. OCLC  802752879.
• Мейрович, Леонард (1970). Методы аналитической динамики . Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co. ISBN 978-0-07-041455-6.
• Мейер, Кеннет Рэй; Холл, Глен Р. (2009). Введение в гамильтоновы динамические системы и проблема n -тел . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN 978-0-387-09724-4.
• Миттаг-Леффлер, Г. (1885–1886). «Проблема n тел (Объявление о премии)». Acta Mathematica . 7 : I–VI. doi : 10.1007/BF02402191 .
• Moulton, Forest Ray (1970). Введение в небесную механику . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-62563-8.
• Ньютон, Исаак (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (на латыни). Лондини [Лондон]: Jussu Societatis Regiæ ac Typis Josephi Streater. Простата апуд плюс Библиополас. ОКЛК  915353069.Также английский перевод 3-го (1726) издания И. Бернарда Коэна и Энн Уитмен (Беркли, Калифорния, 1999). ISBN 978-0-520-08817-7 . 
• Ram, Parikshit; Lee, Dongryeol; March, William B.; Gray, Alexander G. (2009). «Линейные алгоритмы для парных статистических задач» (PDF) . NIPS : 1527–1535. Архивировано из оригинала (PDF) 21-04-2017 . Получено 28-03-2014 .
• Розенберг, Рейнхардт М. (1977). "Глава 19: О небесных проблемах". Аналитическая динамика дискретных систем . Нью-Йорк: Plenum Press. С. 364–371. ISBN 978-0-306-31014-0.
• Гэллант, Рой А. (1968). Природа Вселенной . В партнерстве с Science Service . Гарден-Сити, Нью-Йорк: Doubleday . OCLC  689289.
• Сундман, К.Ф. (1912). «Мемуар о проблеме трех корпусов». Акта Математика . 36 : 105–179. дои : 10.1007/bf02422379 .
• Тиссеран, Франсуа Феликс (1894). «Трактат небесной механики» (PDF) . Лиллиада – Университет Лилля – Науки и технологии . III . Париж: Готье-Вилларс и филс: 27. hdl : 1908/4228. ОСЛК  951409281.
• Тренти, Мишель; Хат, Пит (2008). «Моделирование n-тел». Схоларпедия . 3 (5): 3930. Бибкод : 2008SchpJ...3.3930T. doi : 10.4249/scholarpedia.3930 .
• Truesdell, Clifford (1968). Очерки истории механики . Берлин; Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-642-86649-4.
• Van Winter, Clasine (1970). « Проблема n тел в гильбертовом пространстве аналитических функций». В Gilbert, Robert P. ; Newton, Roger G. (ред.). Аналитические методы в математической физике . Нью-Йорк: Gordon and Breach. стр. 569–578. OCLC  848738761.
• Ван, Цюдун (1991). «Глобальное решение проблемы n тел». Небесная механика и динамическая астрономия . 50 (1): 73–88. Bibcode : 1991CeMDA..50...73W. doi : 10.1007/BF00048987. ISSN  0923-2958. MR  1117788. S2CID  118132097.
• Ся, Чжихун (1992). «Существование неколлизионных особенностей в ньютоновских системах». Annals of Mathematics . 135 (3): 411–468. doi :10.2307/2946572. JSTOR  2946572.

Дальнейшее чтение

• Баттин, Ричард Х. (1987). Введение в математику и методы астродинамики . AIAA.Использует энергетические методы вместо ньютоновского подхода.
• Боккалетти, Д.; Пукакко, Г. (1998). Теория орбит . Springer-Verlag.
• Брауэр, Дирк; Клеменс, Джеральд М. (1961). Методы небесной механики . Academic Press.
• Крэндалл, Ричард Э. (1996). "Глава 5: "Нелинейные и сложные системы"; параграф 5.1: " Проблемы n -тел и хаос"". Темы передовых научных вычислений . Springer-Verlag. С. 215–221.
• Крэндалл, Ричард Э. (1996). "Глава 2: "Исследовательские вычисления"; Проект 2.4.1: "Классическая физика"". Проекты в области научных вычислений (исправленное 3-е изд.). Springer-Verlag. С. 93–97.
• Эйзеле, Джон А.; Мейсон, Роберт М. (1970). «Прикладной матричный и тензорный анализ». Physics Today . 25 (12): 55. Bibcode : 1972PhT....25l..55E. doi : 10.1063/1.3071146.
• Гельман, Гарри (1968). «Вторые условия ортогональности в теории собственных и несобственных вращений: Вывод условий и их основных следствий». J. Res. NBS 72B (Math. Sci.) . 1968 (3).
  Гельман, Гарри (1968). "Внутренний вектор". J. Res. NBS 72B (Math. Sci.) . 1968 (3).
  Гельман, Гарри (1969). «Теорема о сопряженности». J. Res. NBS 72B (Math. Sci.) . 1969 (2).
  Гельман, Гарри (октябрь 1971 г.). «Заметка о временной зависимости эффективной оси и угла вращения». J. Res. NBS 72B (Math. Sci.) . 1971 (3–4).
• Хагихара, И. (1970). Небесная механика . Т. I, II ч. 1, II ч. 2. MIT Press.
• Коренев, Г. В. (1967). Механика направляемых тел . CRC Press.
• Мериам, Дж. Л. (1978). Инженерная механика . Т. 1–2. John Wiley & Sons.
• Мюррей, Карл Д.; Дермотт, Стэнли Ф. (2000). Динамика солнечной системы . Cambridge University Press.
• Квадлинг, Хенли (июнь 1994 г.). Моделирование гравитационного взаимодействия n -тел: 16-битная версия DOS .nbody*.zip доступен по адресу https://web.archive.org/web/19990221123102/http://ftp.cica.indiana.edu/: см. внешние ссылки.
• Саари, Д. (1990). «Визит к ньютоновской проблеме n -тел через элементарные комплексные переменные». American Mathematical Monthly . 89 (2): 105–119. doi :10.2307/2323910. JSTOR  2323910.
• Саари, Д. Г.; Халковер, Н. Д. (1981). «О многообразиях орбит полного коллапса и полностью параболических орбит для задачи n тел». Журнал дифференциальных уравнений . 41 (1): 27–43. Bibcode : 1981JDE....41...27S. doi : 10.1016/0022-0396(81)90051-6 .
• Себехей, Виктор (1967). Теория орбит . Academic Press.

Внешние ссылки

• Задача трех тел в Scholarpedia
• Более подробная информация о задаче трех тел
• Регулярные кеплеровские движения в классических многочастичных системах
• Апплет, демонстрирующий хаос в ограниченной задаче трех тел. Архивировано 17 октября 2009 г. на Wayback Machine
• Апплеты, демонстрирующие множество различных движений трех тел
• Об интеграции уравнений n-тел Архивировано 2016-10-30 в Wayback Machine
• Java-апплет, имитирующий Солнечную систему
• Java-апплет, моделирующий устойчивое решение задачи трех равномассовых тел
• Java-апплет для моделирования трехмерного движения набора частиц под действием гравитационного взаимодействия.
• Моделирование нашей Солнечной системы с помощью Javascript
• Точки Лагранжа – со ссылками на оригинальные работы Эйлера и Лагранжа, а также на переводы, с обсуждением
• [1]
• Параллельная программа моделирования N-тел на GPU с быстрым обходом дерева частиц без стека