Проблема Бернштейна

Задача по дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии проблема Бернштейна выглядит следующим образом: если график функции на R ^{n −1} является минимальной поверхностью в R ⁿ , означает ли это, что функция линейна? Это верно для n не более 8, но неверно для n не менее 9. Задача названа в честь Сергея Натановича Бернштейна, который решил случай  n  = 3 в 1914 году.

Заявление

Предположим, что f — функция n  − 1 действительных переменных. График f — это поверхность в R ⁿ , и условие того, что это минимальная поверхность, заключается в том, что f удовлетворяет уравнению минимальной поверхности

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}=0}$

Задача Бернштейна заключается в том, является ли целая функция (функция, определенная в R ^{n −1} ), решающая это уравнение, обязательно полиномом первой степени.

История

Бернштейн (1915–1917) доказал теорему Бернштейна о том, что график действительной функции на R ² , являющийся также минимальной поверхностью в R ^{3 ,} должен быть плоскостью.

Флеминг (1962) дал новое доказательство теоремы Бернштейна, выведя ее из того факта, что в R ³ не существует неплоского конуса, минимизирующего площадь .

Де Джорджи (1965) показал, что если в R ^{n −1} нет неплоского конуса, минимизирующего площадь, то аналог теоремы Бернштейна верен для графов в R ⁿ , что, в частности, означает, что он верен и в R ⁴ .

Альмгрен (1966) показал, что в R ⁴ нет неплоских минимизирующих конусов , тем самым распространив теорему Бернштейна на R ⁵ .

Саймонс (1968) показал, что в R ⁷ нет неплоских минимизирующих конусов , тем самым распространив теорему Бернштейна на R ⁸ . Он также показал, что поверхность, определяемая

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}}$

является локально устойчивым конусом в R ⁸ , и спрашивается, является ли он глобально минимизирующим площадь.

Бомбьери, Де Джорджи и Джусти (1969) показали, что конус Саймонса действительно является глобально минимизирующим, и что в R ⁿ для n ≥9 существуют графы, которые являются минимальными, но не являются гиперплоскостями. В сочетании с результатом Саймонса это показывает, что аналог теоремы Бернштейна верен в R ⁿ для n ≤8 и ложен в более высоких размерностях.

Ссылки

• Альмгрен, Ф. Дж. (1966), «Некоторые теоремы внутренней регулярности для минимальных поверхностей и расширение теоремы Бернштейна», Annals of Mathematics , вторая серия, 84 (2): 277–292, doi :10.2307/1970520, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970520, MR  0200816
• Бернштейн, С.Н. (1915–1917), «Sur une theorème de geometrie et ses apps aux équations dérivées partielles du type elliptique», Comm. Соц. Математика. Харьков , 15 : 38–45.Немецкий перевод в Бернштейне, Серж (1927), «Über ein geometrisches теорема und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus», Mathematische Zeitschrift (на немецком языке), 26 , Springer Berlin / Heidelberg: 551–558, doi : 10.1007/BF01475472 , ISSN  0025-5874
• Бомбьери, Энрико ; Де Джорджи, Эннио ; Джусти, Э. (1969), «Минимальные конусы и проблема Бернштейна», Inventiones Mathematicae , 7 (3): 243–268, Bibcode : 1969InMat...7..243B, doi : 10.1007/BF01404309, ISSN  0020-9910 , МР  0250205, S2CID  59816096
• Де Джорджи, Эннио (1965), «Уна эстенсионе теории Бернштейна», Ann. Скуола Норм. Как дела. Пиза (3) , 19 : 79–85, MR  0178385
• Флеминг, Венделл Х. (1962), «О проблеме ориентированного плато», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Серия II , 11 : 69–90, doi : 10.1007/BF02849427, ISSN  0009-725X, MR  0157263
• Сабитов, И. Х. (2001) [1994], "Теорема Бернштейна", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Саймонс, Джеймс (1968), «Минимальные многообразия в римановых многообразиях», Annals of Mathematics , вторая серия, 88 (1): 62–105, doi :10.2307/1970556, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970556, MR  0233295
• Straume, E. (2001) [1994], "Проблема Бернштейна в дифференциальной геометрии", Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

• Статья в энциклопедии математики о теореме Бернштейна