Колебания круговой мембраны

Уравнения волн в барабанном диске

Один из возможных режимов вибрации идеализированной круглой барабанной головки (режим с обозначениями ниже). Другие возможные режимы показаны внизу статьи. ${\displaystyle u_{12}}$

Двумерная эластичная мембрана под натяжением может выдерживать поперечные вибрации . Свойства идеализированного пластика можно смоделировать с помощью вибраций круглой мембраны одинаковой толщины, прикрепленной к жесткому каркасу. Благодаря явлению резонанса , на определенных частотах вибрации , своих резонансных частотах , мембрана может накапливать вибрационную энергию, поверхность движется по характерному рисунку стоячих волн . Это называется нормальный режим . Мембрана имеет бесконечное количество этих нормальных мод, начиная с самой низкой частоты, называемой основной модой .

Существует бесконечно много способов вибрации мембраны, каждый из которых зависит от формы мембраны в некоторый начальный момент времени и поперечной скорости каждой точки мембраны в этот момент. Колебания мембраны задаются решениями двумерного волнового уравнения с граничными условиями Дирихле , которые представляют собой ограничение рамы. Можно показать, что любое сколь угодно сложное колебание мембраны можно разложить на возможно бесконечный ряд нормальных мод мембраны. Это аналогично разложению временного сигнала в ряд Фурье .

Изучение вибраций барабанов побудило математиков поставить известную математическую задачу о том, можно ли услышать форму барабана , на которую ответ (невозможно) был дан в 1992 году в двумерной постановке.

Практическое значение

Анализ проблемы вибрирующей головки барабана объясняет работу ударных инструментов, таких как барабаны и литавры . Однако существует и биологическое применение в работе барабанной перепонки . С образовательной точки зрения моды двумерного объекта — удобный способ наглядно продемонстрировать значение мод, узлов, пучностей и даже квантовых чисел . Эти понятия важны для понимания строения атома.

Проблема

Рассмотрим открытый диск радиуса с центром в начале координат, который будет представлять собой «неподвижную» форму головки барабана. В любой момент будет обозначаться высота формы головки барабана в точке, измеренной от «неподвижной» формы головки барабана, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Пусть обозначает границу , то есть круг радиуса с центром в начале координат, который представляет собой жесткий каркас , к которому прикреплена головка барабана. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u(x,y,t),}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle a}$

Математическое уравнение, которое управляет вибрацией головки барабана, представляет собой волновое уравнение с нулевыми граничными условиями:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right){\text{ for }}(x,y)\in \Omega \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega .\,}$

Ввиду круговой геометрии удобно будет использовать цилиндрические координаты . Тогда приведенные выше уравнения запишутся в виде ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (r,\theta ,z).}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ for }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ for }}r=a.\,}$

Здесь – положительная константа, определяющая скорость распространения волн поперечной вибрации в мембране. С точки зрения физических параметров скорость волны c определяется выражением ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {N_{rr}^{*}}{\rho h}}}}$

где , – результирующая радиальная мембрана на границе мембраны ( ), , – толщина мембраны, – плотность мембраны. Если мембрана имеет равномерное натяжение, то равномерную силу натяжения при заданном радиусе можно записать ${\displaystyle N_{rr}^{*}}$ ${\displaystyle r=a}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle F=rN_{rr}^{r}=rN_{\theta \theta }^{r}}$

где – равнодействующая мембраны в азимутальном направлении. ${\displaystyle N_{\theta \theta }^{r}=N_{rr}^{r}}$

Осесимметричный случай

Сначала мы изучим возможные формы вибрации круглого барабана, которые являются осесимметричными . Тогда функция не зависит от угла и волновое уравнение упрощается до ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta ,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right).}$

Мы будем искать решения в разделенных переменных, подставив это в приведенное выше уравнение и разделив обе части на доходность. ${\displaystyle u(r,t)=R(r)T(t).}$ ${\displaystyle c^{2}R(r)T(t)}$

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {1}{R(r)}}\left(R''(r)+{\frac {1}{r}}R'(r)\right).}$

Левая часть этого равенства не зависит от , а правая часть не зависит от, из чего следует, что обе части должны быть равны некоторой константе. Получаем отдельные уравнения для и : ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle R(r)}$

${\displaystyle T''(t)=Kc^{2}T(t)\,}$

${\displaystyle rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,}$

Уравнение для имеет решения, которые экспоненциально растут или затухают для, являются линейными или постоянными для и периодическими для . Физически предполагается, что решение проблемы вибрирующей головки барабана будет колебательным во времени, и остается только третий случай, поэтому выбираем для удобства. Тогда представляет собой линейную комбинацию функций синуса и косинуса, ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle K>0,}$ ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle K<0}$ ${\displaystyle K<0,}$ ${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$ ${\displaystyle T(t)}$

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

Обратимся к уравнению для с учетом того, что все решения этого дифференциального уравнения второго порядка представляют собой линейную комбинацию функций Бесселя порядка 0, поскольку это частный случай дифференциального уравнения Бесселя : ${\displaystyle R(r),}$ ${\displaystyle K=-\lambda ^{2},}$

${\displaystyle R(r)=c_{1}J_{0}(\lambda r)+c_{2}Y_{0}(\lambda r).\,}$

Функция Бесселя не ограничена, что приводит к нефизическому решению проблемы вибрирующей головки барабана, поэтому константа должна быть нулевой. Будем также предполагать , что в противном случае эта константа может быть поглощена позже в константы и исходя из этого следует, что ${\displaystyle Y_{0}}$ ${\displaystyle r\to 0,}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}=1,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T(t).}$

${\displaystyle R(r)=J_{0}(\lambda r).}$

Требование, чтобы высота была равна нулю на границе головки барабана, приводит к условию ${\displaystyle u}$

${\displaystyle R(a)=J_{0}(\lambda a)=0.}$

Функция Бесселя имеет бесконечное число положительных корней. ${\displaystyle J_{0}}$

${\displaystyle 0<\alpha _{01}<\alpha _{02}<\cdots }$

Мы получаем это за это ${\displaystyle \lambda a=\alpha _{0n},}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

${\displaystyle R(r)=J_{0}\left({\frac {\alpha _{0n}}{a}}r\right).}$

Следовательно, осесимметричные решения задачи о вибрирующей головке барабана, которые можно представить в разделенных переменных, имеют вид ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u_{0n}(r,t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right){\text{ for }}n=1,2,\dots ,\,}$

где ${\displaystyle \lambda _{0n}=\alpha _{0n}/a.}$

Общий случай

Аналогично рассматривается общий случай, когда может зависеть и от угла . Мы предполагаем решение в разделенных переменных: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \theta ,}$

${\displaystyle u(r,\theta ,t)=R(r)\Theta (\theta )T(t).\,}$

Подставив это в волновое уравнение и разделив переменные, получим

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=K}$

где константа. Как и ранее, из уравнения для него следует, что при и ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(t)}$ ${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

Из уравнения

${\displaystyle {\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}}$

мы получаем, умножая обе части на и разделяя переменные, что ${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}r^{2}+{\frac {r^{2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L}$

и

${\displaystyle -{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=L,}$

для некоторой константы. Поскольку периодичность является периодической, а период является угловой переменной, отсюда следует, что ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle \Theta (\theta )}$ ${\displaystyle 2\pi ,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \Theta (\theta )=C\cos m\theta +D\sin m\theta ,\,}$

где и и - некоторые константы. Это также подразумевает ${\displaystyle m=0,1,\dots }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle L=m^{2}.}$

Возвращаясь к уравнению для его решения, представляет собой линейную комбинацию функций Бесселя и. С теми же рассуждениями, что и в предыдущем разделе, приходим к ${\displaystyle R(r),}$ ${\displaystyle J_{m}}$ ${\displaystyle Y_{m}.}$

${\displaystyle R(r)=J_{m}(\lambda _{mn}r),\,}$ ${\displaystyle m=0,1,\dots ,}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

где с -м положительным корнем из ${\displaystyle \lambda _{mn}=\alpha _{mn}/a,}$ ${\displaystyle \alpha _{mn}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J_{m}.}$

Мы показали, что все решения в разделенных переменных задачи о вибрирующей головке барабана имеют вид

${\displaystyle u_{mn}(r,\theta ,t)=\left(A\cos c\lambda _{mn}t+B\sin c\lambda _{mn}t\right)J_{m}\left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )}$

для ${\displaystyle m=0,1,\dots ,n=1,2,\dots }$

Анимации нескольких режимов вибрации

Ниже показано несколько мод вместе с их квантовыми числами. Указаны также аналогичные волновые функции атома водорода и связанные с ними угловые частоты . Значения являются корнями функции Бесселя . Это выводится из граничного условия , которое дает . ${\displaystyle \omega _{mn}=\lambda _{mn}c={\dfrac {\alpha _{mn}}{a}}c=\alpha _{mn}c/a}$ ${\displaystyle \alpha _{mn}}$ ${\displaystyle J_{m}}$ ${\displaystyle \forall \theta \in [0,2\pi ],\forall t,\ u_{mn}(r=a,\theta ,t)=0}$ ${\displaystyle J_{m}(\lambda _{mn}a)=J_{m}(\alpha _{mn})=0}$

• 
  Режим (1 с) с ${\displaystyle u_{01}}$ ${\displaystyle \alpha _{01}=2.40483}$
• 
  Режим (2 с) с ${\displaystyle u_{02}}$ ${\displaystyle \alpha _{02}=5.52008}$
• 
  Режим (3 с) с ${\displaystyle u_{03}}$ ${\displaystyle \alpha _{03}=8.65373}$

• 
  Режим (2p) с ${\displaystyle u_{11}}$ ${\displaystyle \alpha _{11}=3.83171}$
• 
  Режим (3p) с ${\displaystyle u_{12}}$ ${\displaystyle \alpha _{12}=7.01559}$
• 
  Режим (4p) с ${\displaystyle u_{13}}$ ${\displaystyle \alpha _{13}=10.1735}$

• 
  Режим (3d) с ${\displaystyle u_{21}}$ ${\displaystyle \alpha _{21}=5.13562}$
• 
  Режим (4d) с ${\displaystyle u_{22}}$ ${\displaystyle \alpha _{22}=8.41724}$
• 
  Режим (5d) с ${\displaystyle u_{23}}$ ${\displaystyle \alpha _{23}=11.6198}$

Дополнительные значения можно легко вычислить, используя следующий код Python с библиотекой: ^[1] ${\displaystyle \alpha _{mn}}$scipy

из  Scipy  Import  Special  как  SCm  =  0  # порядок функции Бесселя (т.е. угловая мода для круглой мембраны)nz  =  3  # желаемое количество корнейальфа_мн  =  sc . jn_zeros ( m ,  nz )  # выводит nz нулей Jm

Смотрите также

• Вибрирующая струна , одномерный случай
• Узоры Хладни , раннее описание родственного явления, в частности с музыкальными инструментами; см. также киматику
• Прослушивание формы барабана , характеристика мод по форме мембраны.
• Атомная орбиталь , родственная квантово-механическая и трехмерная проблема.

Рекомендации

1. Руководство пользователя SciPy по функциям Бесселя

• Х. Асмар, Нахле (2005). Уравнения в частных производных с рядами Фурье и краевые задачи . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл. п. 198. ИСБН 0-13-148096-0.