Штейн-коллектор

В математике, в теории многих комплексных переменных и комплексных многообразий , многообразие Штейна — это комплексное подмногообразие векторного пространства n комплексных измерений. Они были введены и названы в честь Карла Штейна  (1951). Пространство Штейна похоже на многообразие Штейна , но может иметь особенности. Пространства Штейна являются аналогами аффинных многообразий или аффинных схем в алгебраической геометрии.

Определение

Предположим, что — комплексное многообразие комплексной размерности , и пусть обозначает кольцо голоморфных функций на Мы называем многообразие Штейна, если выполняются следующие условия: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$является голоморфно выпуклым, т.е. для каждого компактного подмножества , так называемой голоморфно выпуклой оболочки , ${\displaystyle K\subset X}$

${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

также является компактным подмножеством . ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$голоморфно разделим, т.е. если есть две точки в , то существует такое, что ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Некомпактные римановы поверхности являются многообразиями Штейна.

Пусть X — связная некомпактная риманова поверхность . Глубокая теорема Генриха Бенке и Штейна (1948) утверждает, что X — многообразие Штейна.

Другой результат, приписываемый Гансу Грауэрту и Хельмуту Рёрлю (1956), утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение на X тривиально. В частности, каждое линейное расслоение тривиально, поэтому . Последовательность экспоненциальных пучков приводит к следующей точной последовательности: ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Теорема Картана B показывает, что , следовательно , . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$

Это связано с решением второй задачи Кузена .

Свойства и примеры многообразий Штейна

• Стандартное комплексное пространство — это многообразие Штейна. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Каждая область голоморфности в является многообразием Штейна. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Каждое замкнутое комплексное подмногообразие многообразия Штейна также является многообразием Штейна.

• Теорема вложения для многообразий Штейна утверждает следующее: каждое многообразие Штейна комплексной размерности может быть вложено биголоморфным собственным отображением . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$

Из этих фактов следует, что многообразие Штейна является замкнутым комплексным подмногообразием комплексного пространства, комплексная структура которого совпадает со структурой окружающего пространства (поскольку вложение является биголоморфным).

• Каждое многообразие Штейна (комплексной) размерности n имеет гомотопический тип n -мерного CW-комплекса.

• В одном комплексном измерении условие Штейна можно упростить: связная риманова поверхность является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда она не компактна. Это можно доказать с помощью версии теоремы Рунге для римановых поверхностей, предложенной Бенке и Штейном.

• Каждое многообразие Штейна голоморфно растекаемо, т.е. для каждой точки существуют голоморфные функции, определенные на всех , которые образуют локальную систему координат при ограничении некоторой открытой окрестностью . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

• Быть многообразием Штейна эквивалентно быть (комплексным) сильно псевдовыпуклым многообразием . Последнее означает, что оно имеет сильно псевдовыпуклую (или плюрисубгармоническую ) исчерпывающую функцию, т. е. гладкую вещественную функцию на (которую можно считать функцией Морса ) с , такую, что подмножества компактны в для любого вещественного числа . Это решение так называемой проблемы Леви ^[1] , названной в честь Эудженио Леви (1911). Функция приглашает к обобщению многообразия Штейна до идеи соответствующего класса компактных комплексных многообразий с границей, называемых областями Штейна . Область Штейна является прообразом . Поэтому некоторые авторы называют такие многообразия строго псевдовыпуклыми многообразиями. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$ ${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$

• Связанное с предыдущим пунктом, другое эквивалентное и более топологическое определение в комплексной размерности 2 таково: поверхность Штейна — это комплексная поверхность X с действительной функцией Морса f на X , такой что вдали от критических точек f поле комплексных касаний к прообразу является контактной структурой , которая индуцирует ориентацию на X _{c ,} совпадающую с обычной ориентацией в качестве границы То есть является заполнением Штейна X _c . ${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$

Существуют многочисленные дальнейшие характеристики таких многообразий, в частности, охватывающие свойство наличия у них «многих» голоморфных функций, принимающих значения в комплексных числах. См., например, теоремы Картана A и B , касающиеся когомологий пучков . Первоначальным импульсом было описание свойств области определения (максимального) аналитического продолжения аналитической функции .

В наборе аналогий GAGA многообразия Штейна соответствуют аффинным многообразиям .

Многообразия Штейна в некотором смысле двойственны эллиптическим многообразиям в комплексном анализе, которые допускают "многие" голоморфные функции из комплексных чисел в себя. Известно, что многообразие Штейна является эллиптическим тогда и только тогда, когда оно фибрантно в смысле так называемой "голоморфной гомотопической теории".

Отношение к гладким многообразиям

Каждое компактное гладкое многообразие размерности 2 n , имеющее только ручки индекса ≤  n , имеет структуру Штейна при n  > 2, и при n  = 2 то же самое имеет место при условии, что 2-ручки прикреплены с определенным оснащением (оснащением меньшим, чем оснащение Терстона–Беннекена ). ^{[2] [3]} Каждое замкнутое гладкое 4-многообразие является объединением двух 4-многообразий Штейна, склеенных вдоль их общей границы. ^[4]

Примечания

1. Онищик, АЛ (2001) [1994], "Проблема Леви", Энциклопедия математики , EMS Press
2. Яков Элиашберг , Топологическая характеристика многообразий Штейна размерности > 2, Международный журнал математики, т. 1, № 1 (1990) 29–46.
3. Роберт Гомпф , Конструкция ручек поверхностей Штейна, Annals of Mathematics 148, (1998) 619–693.
4. Сельман Акбулут и Ростислав Матвеев, Выпуклое разложение для четырехмерных многообразий, International Mathematics Research Notices (1998), № 7, 371–381. MR 1623402

Ссылки

• Андрист, Рафаэль (2010). «Пространства Штейна, характеризуемые их эндоморфизмами». Труды Американского математического общества . 363 (5): 2341–2355. arXiv : 0809.3919 . doi : 10.1090/S0002-9947-2010-05104-9 . S2CID  14903691.
• Форстер, Отто (1981), Лекции по римановым поверхностям , Graduate Text in Mathematics, т. 81, Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7(включая доказательство теорем Бенке-Штейна и Грауэрта-Рёрля)
• Форстнерич, Франк (2011). Многообразия Штейна и голоморфные отображения . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге / Серия современных обзоров по математике. Том. 56. дои : 10.1007/978-3-642-22250-4. ISBN 978-3-642-22249-8.
• Хермандер, Ларс (1990), Введение в комплексный анализ с несколькими переменными , Математическая библиотека Северной Голландии, т. 7, Амстердам: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, МР  1045639(включая доказательство теоремы вложения)
• Gompf, Robert E. (1998), "Handlebody construction of Stein surfaces", Annals of Mathematics , вторая серия, 148 (2), The Annals of Mathematics, том 148, № 2: 619–693, arXiv : math/9803019 , doi : 10.2307/121005, ISSN  0003-486X, JSTOR  121005, MR  1668563, S2CID  17709531(определения и конструкции областей и многообразий Штейна в размерности 4)
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1979), Теория пространств Штейна , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 236, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 3-540-90388-7, МР  0580152
• Орнеа, Ливиу; Вербицкий, Миша (2010). «Локально конформные кэлеровы многообразия с потенциалом». Mathematische Annalen . 348 : 25–33. doi :10.1007/s00208-009-0463-0. S2CID  10734808.
• Iss'Sa, Hej (1966). «О мероморфном функциональном поле многообразия Штейна». Annals of Mathematics . 83 (1): 34–46. doi :10.2307/1970468. JSTOR  1970468.
• Штейн, Карл (1951), «Аналитические функции более сложные, Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Issue», Math. Энн. (на немецком языке), 123 : 201–222, doi : 10.1007/bf02054949, MR  0043219, S2CID  122647212
• Чжан, Цзин (2008). «Алгебраические многообразия Штейна». Mathematical Research Letters . 15 (4): 801–814. arXiv : math/0610886 . doi :10.4310/MRL.2008.v15.n4.a16. MR  2424914.