Линейно упорядоченная группа

В математике , особенно в абстрактной алгебре , линейно упорядоченная или полностью упорядоченная группа — это группа G , имеющая общий порядок «≤», который является инвариантным к сдвигу . Это может иметь разные значения. Мы говорим, что ( G , ≤) является a:

левоупорядоченная группа, если ≤ является левоинвариантным, то есть a ≤ b влечет ca ≤ cb для всех a , b , c в G ,
правоупорядоченная группа, если ≤ является правоинвариантной, то есть a ≤ b влечет ac ≤ bc для всех a , b , c в G ,
биупорядоченная группа, если ≤, является биинвариантной, то есть она инвариантна как слева, так и справа.

Группа G называется левоупорядочиваемой (или правоупорядочиваемой , или биупорядочиваемой ), если существует лево- (или право-, или би-) инвариантный порядок на G . Простое необходимое условие того, чтобы группа была упорядочиваемой слева, — это отсутствие элементов конечного порядка; однако это не является достаточным условием. Для группы эквивалентно быть упорядочиваемой слева или справа; однако существуют левоупорядочиваемые группы, которые не являются биупорядочиваемыми.

Дальнейшие определения

В этом разделе представлен левоинвариантный порядок группы с единичным элементом . Все сказанное относится к правоинвариантным порядкам с очевидными модификациями. Обратите внимание, что левоинвариантность эквивалентна порядку, определяемому тогда и только тогда, когда он правоинвариантен. В частности, если группа упорядочивается слева, то же самое, что она упорядочивается справа. $\leq$ $G$ $е$ $\leq$ $\leq '$ $g\leq 'h$ $h^{-1}\leq g^{-1}$

По аналогии с обычными числами элемент упорядоченной группы назовем положительным , если . Набор положительных элементов в упорядоченной группе называется положительным конусом , его часто обозначают ; немного другое обозначение используется для положительного конуса вместе с единичным элементом. ^[1] $g\not =e$ $е\leq г$ $G_ {+}$ $G^{+}$

Положительный конус характеризует порядок ; действительно, благодаря левой инвариантности мы видим, что тогда и только тогда, когда . Фактически левоупорядоченную группу можно определить как группу вместе с подмножеством, удовлетворяющим двум условиям: $G_ {+}$ $\leq$ $г\leq ч$ $g^{-1}h\in G_ {+}$ $G$ $P$

ибо и у нас есть ; ${\ displaystyle g, h \ in P}$ $gh\in P$
пусть , то есть непересекающееся объединение и . $P^{-1}=\{g^{-1},g\in P\}$ $G$ $P,P^{-1}$ $\{е\}$

Порядок, связанный с , определяется ; первое условие означает левоинвариантность, а второе — четкость и тотальность порядка. Положительный конус . $\leq _{P}$ $P$ $g\leq _{P}h\Leftrightarrow g^{-1}h\in P$ $\leq _{P}$ $P$

Левоинвариантный порядок биинвариантен тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно сопряженности, то есть если тогда для любого из них мы также имеем . Это эквивалентно тому, что положительный конус устойчив относительно внутренних автоморфизмов . $\leq$ $г\leq ч$ $x\in G$ $xgx^{-1}\leq xhx^{-1}$

Если , то абсолютное значение , обозначаемое , определяется как: $a\in G$ $а$ $|а|$

|a|:={\begin{cases}a,&{\text{if }}a\geq 0,\\-a,& {\text{иначе}}.\end{cases}}

Если при этом неравенство

G

a,b\in G

|a+b|\leq |a|+|b|

Примеры

Любая группа, упорядочиваемая слева или справа , не имеет кручения , т. е. не содержит элементов конечного порядка, кроме единицы. И наоборот, Ф. В. Леви показал, что абелева группа без кручения биупорядочиваема; ^[2] это по-прежнему верно для нильпотентных групп ^[3] , но существуют конечно определенные группы без кручения, которые не упорядочиваются слева.

Архимедовы упорядоченные группы

Отто Гёльдер показал, что каждая архимедова группа (биупорядоченная группа, удовлетворяющая архимедовому свойству ) изоморфна подгруппе аддитивной группы действительных чисел (Fuchs & Salce 2001, стр. 61). Если мы запишем архимедову группу lo мультипликативно, это можно показать, рассмотрев дедекиндово пополнение замыкания группы lo относительно корней th. Мы наделим это пространство обычной топологией линейного порядка, и тогда можно будет показать, что для каждого экспоненциального отображения являются четко определенными сохраняющими/обращающими порядок изоморфизмами топологических групп . Заполнение группы lo может быть затруднено в неархимедовом случае. В этих случаях можно классифицировать группу по ее рангу : который связан с типом порядка наибольшей последовательности выпуклых подгрупп. ${\widehat {G}}$ $п$ $г\in {\widehat {G}}$ $g^{\cdot }:(\mathbb {R},+)\to ({\widehat {G}},\cdot):\lim _{i}q_{i}\in \mathbb {Q } \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}$

Другие примеры

Свободные группы можно упорядочить слева. В более общем смысле это справедливо и для прямоугольных групп Артина . ^[4] Группы кос также упорядочиваются слева. ^[5]

Группа, данная в представлении, не имеет кручения, но не упорядочивается слева; В ^[6] отмечают, что это трехмерная кристаллографическая группа (ее можно реализовать как группу, порожденную двумя скользящими полувитками с ортогональными осями и одинаковой длиной трансляции), и это та же самая группа, которая, как было доказано, является контрпример к гипотезе о единице . В более общем плане тема упорядочиваемости групп 3-многообразий интересна своей связью с различными топологическими инвариантами. ^[7] Существует группа 3-многообразий, которая упорядочивается слева, но не является биупорядочиваемой ^[8] (фактически она не удовлетворяет более слабому свойству локальной индикации). $\langle a,b|a^{2}ba^{2}b^{-1},b^{2}ab^{2}a^{-1}\rangle$

Упорядочимые слева группы также вызывают интерес с точки зрения динамических систем , поскольку известно, что счетная группа является упорядочиваемой слева тогда и только тогда, когда она действует на вещественной прямой посредством гомеоморфизмов. ^[9] Непримерами, связанными с этой парадигмой, являются решетки в группах Ли более высокого ранга ; известно, что (например) подгруппы конечного индекса в не упорядочиваются слева; ^[10] Недавно было объявлено о широком обобщении этого подхода. ^[11] $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z})$

Смотрите также

Примечания

^ Дероин, Навас и Ривас 2014, 1.1.1.
^ Леви 1942.
^ Дероин, Навас и Ривас 2014, 1.2.1.
^ Дюшан, Жерар; Тибон, Жан-Ив (1992). «Простые порядки для свободных частично коммутативных групп». Международный журнал алгебры и вычислений . 2 (3): 351–355. дои : 10.1142/S0218196792000219. Збл 0772.20017.
^ Дехорной, Патрик; Дынников Иван; Рольфсен, Дейл; Вист, Берт (2002). Почему косы можно заказать? . Париж: Математическое общество Франции. п. xiii + 190. ISBN 2-85629-135-Х.
^ Деруан, Навас и Ривас 2014, 1.4.1.
^ Бойер, Стивен; Рольфсен, Дейл; Вист, Берт (2005). «Упорядочиваемые группы трехмерных многообразий». Анналы Института Фурье . 55 (1): 243–288. arXiv : математика/0211110 . дои : 10.5802/aif.2098 . Збл 1068.57001.
^ Бергман, Джордж (1991). «Правильно упорядоченные группы, которые не являются локально индикационными». Тихоокеанский математический журнал . 147 (2): 243–248. дои : 10.2140/pjm.1991.147.243 . Збл 0677.06007.
^ Дероин, Навас и Ривас 2014, Предложение 1.1.8.
^ Витте, Дэйв (1994). «Арифметические группы высшего $\mathbb{Q}$-ранга не могут действовать на $1$-многообразиях». Труды Американского математического общества . 122 (2): 333–340. дои : 10.2307/2161021. JSTOR 2161021. Збл 0818.22006.
^ Деруан, Бертран; Уртадо, Себастьян (2020). «Неупорядочиваемость слева решеток в полупростых группах Ли более высокого ранга». arXiv : 2008.10687 [math.GT].