Закон Тициуса-Боде

Опровергнутая гипотеза об орбитах планет Солнечной системы

Закон Тициуса -Боде (иногда называемый просто законом Боде ) — это формульное предсказание расстояния между планетами в любой заданной планетной системе . Формула предполагает, что, простираясь наружу, каждая планета должна быть примерно в два раза дальше от Солнца, чем предыдущая. Гипотеза правильно предсказала орбиты Цереры (в поясе астероидов ) и Урана , но не смогла предсказать орбиту Нептуна . Она названа в честь Иоганна Даниэля Тициуса и Иоганна Элерта Боде .

Более поздняя работа Блэгга и Ричардсона значительно пересмотрела исходную формулу и сделала предсказания, которые впоследствии были подтверждены новыми открытиями и наблюдениями. Именно эти переформулировки предлагают «наилучшие феноменологические представления расстояний, с помощью которых можно исследовать теоретическую значимость законов типа Тициуса–Боде». ^[1] Статья Блэгга (предположительно написанная в 1913 году) предсказывает большую полуось Эриды с ошибкой всего около 1%, однако эта статья является подделкой, созданной позднее.

Оригинальная формулировка

Закон связывает большую полуось каждой планеты с направлением ее от Солнца в таких единицах, что большая полуось Земли равна 10: ${\displaystyle ~a_{n}~}$

${\displaystyle ~a=4+x~}$

где так, что за исключением первого шага каждое значение в два раза больше предыдущего. Существует еще одно представление формулы: ${\displaystyle ~x=0,3,6,12,24,48,96,192,384,768\ldots ~}$

${\displaystyle ~a=4+3\times 2^{n}~}$

где Полученные значения можно разделить на 10, чтобы преобразовать их в астрономические единицы ( а.е. ), получив в результате выражение: ${\displaystyle ~n=-\infty ,0,1,2,\ldots ~.}$

${\displaystyle a=0.4+0.3\times 2^{n}~.}$

Для далеких внешних планет, за пределами Сатурна , каждая планета, как предсказывается, будет примерно в два раза дальше от Солнца, чем предыдущий объект. В то время как закон Тициуса-Боде предсказывает Сатурн , Уран , Нептун и Плутон на расстоянии около 10, 20, 39 и 77  а.е. , фактические значения ближе к 10, 19, 30, 40  а.е. [ ^a]

Происхождение и история

Иоганн Даниэль Титиус (1729–1796)

Иоганн Элерт Боде (1747–1826)

Первое упоминание о ряде, аппроксимирующем закон Боде, встречается в учебнике Д. Грегори (1715): ^[2]

«... предположим, что расстояние от Земли до Солнца разделено на десять равных частей, из которых расстояние до Меркурия составит около четырех, до Венеры — семь, до Марса — пятнадцать, до Юпитера — пятьдесят два, а до Сатурна — девяносто пять». ^[3]

Похожее предложение, вероятно, перефразированное из Грегори (1715), ^{[2] [3]} появляется в работе, опубликованной К. Вольфом в 1724 году.

В 1764 году К. Бонне писал: ^[4]

«Мы знаем семнадцать планет [то есть, больших планет и их спутников], которые входят в состав нашей солнечной системы; но мы не уверены, что их больше нет». ^{[4] [3]}

В своем переводе работы Бонне 1766 года, JD Titius добавил два своих абзаца к вышеприведенному утверждению. Вставки были размещены внизу страницы 7 и вверху страницы 8. Новый абзац отсутствует в оригинальном французском тексте Бонне, а также в переводах работы на итальянский и английский языки.

Вставленный текст Тиция состоит из двух частей. Первая часть объясняет последовательность планетарных расстояний от Солнца:

Обратите внимание на расстояния планет друг от друга и осознайте, что почти все они отделены друг от друга в пропорции, которая соответствует их телесным величинам. Разделите расстояние от Солнца до Сатурна на 100 частей; тогда Меркурий отделен от Солнца четырьмя такими частями, Венера - 4+3=7 такими частями, Земля - ​​4+6=10, Марс - 4+12=16. Но заметьте, что от Марса к Юпитеру идет отклонение от этой столь точной прогрессии. От Марса следует пространство в 4+24=28 таких частей, но до сих пор там не было замечено ни одной планеты. Но должен ли был Господь Архитектор оставить это пространство пустым? Вовсе нет. Поэтому предположим, что это пространство, без сомнения, принадлежит еще не открытым спутникам Марса, добавим также, что, возможно, вокруг Юпитера все еще есть несколько более мелких, которые еще не были замечены ни одним телескопом. Рядом с этим для нас пока еще неизведанным пространством возвышается сфера влияния Юпитера на 4+48=52 частях; а сфера влияния Сатурна на 4+96=100 частях. ^{[ необходима цитата ]}

В 1772 году Дж. Э. Боде , которому тогда было двадцать пять лет, опубликовал астрономический сборник ^[5] , в который он включил следующую сноску, цитирующую Тициуса (в более поздних изданиях): ^{[b] [6]}

Этот последний пункт, в частности, следует из удивительного соотношения, которое наблюдают известные шесть планет в своих расстояниях от Солнца. Пусть расстояние от Солнца до Сатурна будет принято за 100, тогда Меркурий будет отделен от Солнца 4 такими частями. Венера составляет 4+3=7. Земля 4+6=10. Марс 4+12=16. Теперь в этой столь упорядоченной прогрессии наступает разрыв. После Марса следует пространство в 4+24=28 частей, в котором еще не было видно ни одной планеты. Можно ли поверить, что Основатель вселенной оставил это пространство пустым? Конечно, нет. Отсюда мы приходим к расстоянию Юпитера на 4+48=52 части, и, наконец, к расстоянию Сатурна на 4+96=100 частей. ^[6]

Эти два утверждения, несмотря на всю их необычность, а также на радиусы, используемые для орбит, по-видимому, происходят из древнего алгоритма коссиста . [ ^c]

Было найдено много прецедентов, которые датируются до семнадцатого века. ^{[ требуется ссылка ]} Тициус был учеником немецкого философа К. Ф. фон Вольфа (1679–1754), и вторая часть текста, которую Тициус вставил в работу Бонне, находится в книге фон Вольфа (1723), ^[7] что предполагает, что Тициус узнал об этой связи от него. Литература двадцатого века о законе Тициуса–Боде приписывает авторство фон Вольфу. ^{[ необходима цитата ]} Предыдущая версия была написана Д. Грегори (1702), ^[8] в котором последовательность планетарных расстояний 4, 7, 10, 16, 52 и 100 стала геометрической прогрессией с отношением 2. Это ближайшая ньютоновская формула, которая также цитировалась Бенджамином Мартином (1747) ^[9] и Томасом Серда (ок. 1760) ^[10] за годы до расширенного перевода Тициусом книги Бонне на немецкий язык (1766). В течение следующих двух столетий последующие авторы продолжали представлять свои собственные измененные версии, по-видимому, не зная о предыдущих работах. ^[1]

Тициус и Боде надеялись, что закон приведет к открытию новых планет, и действительно, открытие Урана и Цереры , расстояния до которых хорошо соответствуют закону, способствовало известности закона. Однако расстояние до Нептуна было весьма противоречивым, и действительно, Плутон, который больше не считается планетой, находится на среднем расстоянии, которое примерно соответствует тому, которое закон Тициуса-Боде предсказал для следующей планеты от Урана.

Когда закон был первоначально опубликован, он был приблизительно соблюден всеми планетами, известными тогда, т. е. от Меркурия до Сатурна , с зазором между четвертой и пятой планетами. Викариус (Иоганн Фридрих) Вурм (1787) предложил измененную версию закона Тициуса-Боде, которая учитывала известные тогда спутники Юпитера и Сатурна и лучше предсказывала расстояние до Меркурия. ^[11]

Закон Тициуса-Боде считался интересным, но не имеющим большого значения до открытия Урана в 1781 году, который, как оказалось, почти точно вписывается в ряд. Основываясь на этом открытии, Боде призвал своих современников искать пятую планету. Церера , крупнейший объект в поясе астероидов , была найдена в предсказанном Боде положении в 1801 году.

Закон Боде был широко принят в то время, пока в 1846 году Нептун не был обнаружен в месте, которое не соответствует закону. Одновременно, из-за большого количества астероидов, обнаруженных в поясе , Церера больше не была крупной планетой. В 1898 году астроном и логик К. С. Пирс использовал закон Боде как пример ошибочного рассуждения. ^[12]

Открытие Плутона в 1930 году еще больше запутало проблему: хотя он и не приближался к предсказанному положению согласно закону Боде, он был очень близок к положению, которое закон предназначал для Нептуна. Последующее открытие пояса Койпера – и в частности объекта Эрида , который массивнее Плутона, но не соответствует закону Боде – еще больше дискредитировало формулу. ^[13]

Данные

Закон Тициуса-Боде предсказывает, что планеты будут присутствовать на определенных расстояниях в астрономических единицах , что можно сравнить с наблюдаемыми данными для планет и двух карликовых планет в Солнечной системе:

Графический график восьми планет, Плутона и Цереры в сравнении с первыми десятью предсказанными расстояниями.

¹ Для больших k каждое расстояние по правилу Тициуса-Боде примерно вдвое больше предыдущего значения. Следовательно, произвольная планета может быть найдена в пределах от −25% до +50% от одного из предсказанных положений. Для малых k предсказанные расстояния не полностью удваиваются, поэтому диапазон потенциального отклонения меньше. Обратите внимание, что большая полуось пропорциональна 2/3 степени орбитального периода . Например, планеты в орбитальном резонансе 2:3 (такие как плутино относительно Нептуна ) будут отличаться по расстоянию на (2/3) ^2/3 = −23,69% и +31,04% относительно друг друга.
² Церера и Плутон являются карликовыми планетами, а не большими планетами .

Формулировка Блэгга

Признаки подделки

Полная или частичная подделка, описанная как статья Мэри Аделы Благг 1913 года в MNRAS, доступна в сети. ^[14] Статья содержит сложную формулу (включающую 7-членную функцию), которая точно соответствует данным для всех известных на тот момент планет Солнечной системы, от Меркурия (n=-2) до Нептуна (n=6; пробел при n=2 соответствует поясу астероидов).

Как оказалось, эта формула также дает расстояния до (тогда еще неизвестных) объектов при n=7 и n=8 как 42,00 а.е. и 67,07 а.е. соответственно. Таким образом, эта якобы работа 1913 года предсказывает большую полуось Эриды с невероятной точностью, с ошибкой всего около 1%.

В своей основе формула использует прогрессирующее отношение 1,7275. Это не соответствует данным - например, Венера и Уран имеют большие полуоси выше, чем предсказано, а Марс имеет большую полуось ниже, чем предсказано. Чтобы исправить это, формула назначает разный "множитель" каждой планете. Этот "множитель" высок для Венеры и Урана (чтобы объяснить большие полуоси выше, чем предсказано), но низок для Марса (чтобы объяснить большую полуось ниже, чем предсказано). Это были крайности среди планет, известных в 1913 году, и у астронома не было бы никаких причин выбирать диапазон значений "множителя" шире, чем тот, который диктуется Венерой/Ураном на одном конце и Марсом на другом. Эрида, с ее еще более низким значением "множителя", была неизвестна в то время.

Однако автор формулы явно знал об Эриде и соответствующим образом скорректировал диапазон возможных значений "множителя". Формула была создана таким образом, чтобы нижним пределом диапазона возможных значений "множителя" была Эрида, а не Марс. 7-членная функция ("множитель" - это просто эта 7-членная функция плюс константа) имеет диапазон значений от 0 до 1; для Эриды она достигает значения почти точно равного нулю - что показывает, что автор знал об Эриде и скорректировал формулу на основе этих знаний.

В статье точный вид 7-членной функции (и ее загибание к нулю в области расположения Эриды) обосновывался желанием разместить на графике определенные спутники Юпитера и Сатурна (J3, S8). Но эти спутники могут быть размещены на графике функции совершенно произвольно, в зависимости от выбора коэффициентов A, B, α и β.

Описание

В 1913 году оксфордский астроном М. А. Благг пересмотрел закон. ^[14] Она проанализировала орбиты планетной системы и спутниковых систем внешних газовых гигантов Юпитера, Сатурна и Урана. Она изучила логарифм расстояний, пытаясь найти наилучшую «среднюю» разницу.

Эмпирическая поправочная функция   f,   введенная в переформулировке закона Тициуса–Боде Благгом.

Ее анализ привел к другой формуле:

${\displaystyle \ {\mathsf {distance}}=A\cdot {\bigl [}\ B+f\left(\alpha +n\ \beta \right)\ {\bigr ]}\ {\bigl (}\ 1.7275\ {\bigr )}^{n}~.}$

Обратите внимание, что в формуле Блэгга закон для Солнечной системы лучше всего представлен прогрессией 1,7275 , а не исходным значением 2, используемым Тициусом, Боде и другими.

Благг исследовал спутниковые системы Юпитера , Сатурна и Урана и обнаружил в каждой из них одинаковое прогрессионное отношение 1,7275 .

Однако окончательная форма функции коррекции   f   не была приведена в статье Блэгга 1913 года, при этом Блэгг отметил, что приведенные эмпирические данные были приведены только для иллюстрации. Эмпирическая форма была представлена ​​в виде графика (причина, по которой точки на кривой так близко соответствуют эмпирическим данным для объектов, открытых до 1913 года, заключается в том, что они являются эмпирическими данными).

Найти формулу, которая бы точно соответствовала эмпирической кривой, оказалось непросто. Анализ формы Фурье дал следующую аппроксимацию из семи членов: ^[14]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ f{\bigl (}\ \theta \ {\bigr )}\;=\;0.4594\;+\;\;&0.396\ \cos \!{\bigl (}\ \theta -27.4^{\circ }\ {\bigr )}\;+\;0.168\ \cos \!{\bigl (}\ 2\ (\ \theta -60.4^{\circ })\ {\bigr )}\;+\;0.062\ \cos \!{\bigl (}\ 3\ (\ \theta -28.1^{\circ })\ {\bigr )}\;+\;\\\;+\;\;&0.053\ \cos \!{\bigl (}\ 4\ (\ \theta -77.2^{\circ })\ {\bigr )}\;+\;0.009\ \cos \!{\bigl (}\ 5\ (\ \theta -22^{\circ })\ {\bigr )}\;+\;0.012\ \cos \!{\bigl (}\ 7\ (\ \theta -40.4^{\circ })\ {\bigr )}~.\end{aligned}}}$$

После дальнейшего анализа Благг дала следующую более простую форму f ; однако цена за более простую форму заключается в том, что она дает менее точное соответствие эмпирическим данным. Благг дала ее в ненормализованной форме в своей статье; здесь она показана в нормализованной форме (т. е. эта версия более простой формы   f   масштабируется для получения значений в диапазоне от 0 до 1 включительно): ^[15]

$${\displaystyle \ f{\bigl (}\ \theta \ {\bigr )}\;=\;0.249\;+\;0.860\ \left({\frac {\ \cos \ \Psi \ }{\ 3-\cos \!\left(\ 2\ \Psi \ \right)\ }}\;+\;{\frac {1}{\ 6-4\ \cos \!\left(\ 2\ \Psi -60^{\circ }\right)\ }}\right)\ ,}$$

где ${\displaystyle \ \Psi \equiv \theta -27.5^{\circ }~.}$

Ни одна из этих формул для функции   f   не используется в подразделе «Сравнение формулировки Блэгга с наблюдением» (см. ниже), где предсказания Блэгга сравниваются с фактическими значениями; эти предсказания идентичны предсказаниям в статье Ньето, но неясно, как они были получены, поскольку они не соответствуют ни одной из формул для функции f из статьи Блэгга.

Ее работа была опубликована в 1913 году и была забыта до 1953 года, когда А. Э. Рой наткнулся на нее во время исследования другой проблемы. ^[16] Рой отметил, что сама Благг предположила, что ее формула может дать приблизительные средние расстояния до других тел, еще не открытых в 1913 году. С тех пор было открыто шесть тел в трех системах, исследованных Благгом: Плутон , Синопа ( Юпитер IX ), Лиситея ( J X ), Карме ( J XI ), Ананке ( J XII ) и Миранда ( Уран V ).

Рой обнаружил, что все шесть очень хорошо подошли. Это могло быть преувеличением: из этих шести тел четыре делили позиции с объектами, которые уже были известны в 1913 году; что касается двух других, то для Плутона наблюдалась переоценка на ~6%; а позже стала очевидной 6%-ная недооценка для Миранды. ^[15]

Сравнение формулировки Блэгга с наблюдением

Как упоминалось выше, приведенные здесь предсказания Блэгга, по-видимому, взяты из статьи Ньето, но неясно, как они были получены, поскольку они не соответствуют ни одной из двух формул для функции f (7-членной или упрощенной), приведенных в статье Блэгга.

Тела в скобках не были известны в 1913 году, когда Благг написала свою статью. Некоторые из рассчитанных расстояний в системах Сатурна и Урана не очень точны. Это связано с тем, что низкие значения константы B в таблице выше делают их очень чувствительными к точной форме функции   f  .

Формулировка Ричардсона

В статье журнала Popular Astronomy ^{1945 года [17]} научный обозреватель Д. Э. Ричардсон, по-видимому, независимо пришел к тому же выводу, что и Благг: что отношение прогрессии равно 1,728 , а не 2. Его закон интервала имеет вид:

$${\displaystyle \ R_{n}={\bigl (}\ 1.728\ {\bigr )}^{n}\ \varrho _{n}(\theta _{n})\ ,}$$

где — колебательная функция с периодом , представляющая расстояния от нецентрального начала координат до точек эллипса. ${\displaystyle \varrho _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \varrho _{n}}$

Историческая инерция

Ньето, который провел первый современный всесторонний обзор закона Тициуса-Боде, ^[18] отметил, что «психологическое воздействие закона на астрономию было таково, что люди всегда были склонны рассматривать его первоначальную форму как ту, на которой можно основывать теории». Он подчеркивал, что «будущие теории должны избавиться от предвзятости попыток объяснить прогрессионное отношение 2»:

Одна вещь, которую необходимо подчеркнуть, заключается в том, что историческая предвзятость в сторону прогрессионного отношения 2 должна быть отвергнута . Должно быть ясно, что первая формулировка Тициуса (с ее асимметричным первым членом) должна рассматриваться как хорошая первая догадка . Конечно, ее не обязательно следует рассматривать как лучшую догадку , к которой следует относить теории. Но в астрономии вес истории тяжел... Несмотря на то, что число 1,73 намного лучше, астрономы цепляются за первоначальное число 2. ^[1]

Теоретические объяснения

Никакое прочное теоретическое объяснение не лежит в основе закона Тициуса–Боде – но возможно, что при сочетании орбитального резонанса и дефицита степеней свободы любая стабильная планетная система имеет высокую вероятность удовлетворения соотношению типа Тициуса–Боде. Поскольку это может быть математическим совпадением, а не «законом природы», его иногда называют правилом, а не «законом». ^[19] Астрофизик Алан Босс утверждает, что это всего лишь совпадение, и планетарный научный журнал Icarus больше не принимает статьи, пытающиеся предоставить улучшенные версии «закона». ^[13]

Орбитальный резонанс от крупных орбитальных тел создает области вокруг Солнца , свободные от долгосрочных стабильных орбит. Результаты моделирования планетарного образования подтверждают идею о том, что случайно выбранная, стабильная планетная система, скорее всего, будет удовлетворять закону Тициуса-Боде. ^[20]

Дюбрюлль и Гранер ^{[21] [22]} показали, что правила степенного закона расстояния могут быть следствием моделей коллапсирующих облаков планетарных систем, обладающих двумя симметриями: вращательной инвариантностью (т. е. облако и его содержимое аксиально симметричны) и масштабной инвариантностью (т. е. облако и его содержимое выглядят одинаково во всех масштабах). Последнее является особенностью многих явлений, которые, как считается, играют роль в формировании планет, таких как турбулентность.

Естественные спутниковые системы и экзопланетные системы

Только ограниченное число систем доступно, на которых в настоящее время можно проверить закон Боде; две солнечные планеты имеют достаточно большие луны, которые, вероятно, образовались в процессе, похожем на тот, который сформировал планеты: Четыре больших спутника Юпитера и самый большой внутренний спутник (т. е. Амальтея ) придерживаются регулярного, но не Тициуса-Боде, расстояния, с четырьмя самыми внутренними спутниками, заблокированными в орбитальных периодах, каждый из которых вдвое больше, чем у следующего внутреннего спутника. Аналогично, большие луны Урана имеют регулярное, но не Тициуса-Боде расстояние. ^[23] Однако, по словам Мартина Харвита

«Небольшая новая формулировка этого закона позволяет нам включить не только планетарные орбиты вокруг Солнца, но и орбиты лун вокруг их родительских планет». ^[24]

Новая формулировка известна как « закон Дермотта ».

Из недавних открытий внесолнечных планетных систем, лишь немногие имеют достаточно известных планет, чтобы проверить, применимы ли подобные правила. Попытка с 55 Cancri предложила уравнение

${\displaystyle ~a_{n}=0.0142\cdot \mathrm {e} ^{\left(\,0.9975\,n\,\right)}=0.0142\cdot {\bigl (}\,2.7115\,{\bigr )}^{n}~,}$

и спорно ^[25] предсказывает неоткрытую планету или астероидное поле на расстоянии 2  а.е. ^[26] Кроме того, орбитальный период и большая полуось самой внутренней планеты в системе 55 Cancri были значительно пересмотрены (с 2,817 дней до 0,737 дней и с 0,038  а.е. до 0,016  а.е. соответственно) с момента публикации этих исследований. ^[27] ${\displaystyle ~n=5~}$

Недавние астрономические исследования показывают, что планетные системы вокруг некоторых других звезд могут следовать законам, подобным законам Тициуса-Боде. ^{[28] [29]} Bovaird & Lineweaver (2013) ^[30] применили обобщенное соотношение Тициуса-Боде к 68 экзопланетным системам, содержащим четыре или более планет. Они показали, что 96% этих экзопланетных систем придерживаются обобщенного соотношения Тициуса-Боде в той же или большей степени, что и Солнечная система. Места потенциально необнаруженных экзопланет предсказаны в каждой системе. ^[30]

Последующие исследования обнаружили 5 кандидатов на планеты из 97 планет, предсказанных для 68 планетных систем. Исследование показало, что фактическое количество планет может быть больше. Частота появления планет размером с Марс и Меркурий неизвестна, поэтому многие планеты могли быть пропущены из-за их малого размера. Другие возможные причины, которые могут объяснять очевидные расхождения, включают планеты, которые не проходят транзитом мимо звезды, или обстоятельства, при которых предсказанное пространство занято околозвездными дисками . Несмотря на эти типы допущений, количество планет, найденных с предсказаниями закона Тициуса-Боде, было ниже, чем ожидалось. ^[31]

В статье 2018 года была предложена идея гипотетической восьмой планеты вокруг TRAPPIST-1 под названием «TRAPPIST‑1i» с использованием закона Тициуса–Боде. TRAPPIST‑1i имел предсказание, основанное исключительно на законе Тициуса–Боде с орбитальным периодом 27,53 ± 0,83 дня . ^[32]

Наконец, сырая статистика по экзопланетным орбитам убедительно указывает на общее выполнение законов, подобных законам Тициуса-Боде (с экспоненциальным увеличением больших полуосей в зависимости от планетарного индекса) во всех экзопланетных системах; при построении слепой гистограммы больших полуосей орбит для всех известных экзопланет, для которых известна эта величина, и сравнении ее с тем, чего следует ожидать, если планеты распределяются в соответствии с законами, подобными законам Тициуса-Боде, получена значительная степень согласия (т. е. 78%) ^{[33] . [34]}

Смотрите также

• Закон Дермотта
• Фаэтон (гипотетическая планета)
• Логарифмическая спираль
• потенциал Леннарда-Джонса
• Mysterium Cosmographicum

Сноски

1. Расстояния, по-видимому, переходят от сложного ряда Тициуса к простому равному расстоянию, начиная с Сатурна, при этом Нептун является первой крупной планетой, которая не соответствует правилу Тициуса-Боде.
2. Первоначально примечание Боде не имело указания источника, но в более поздних версиях приписывалось Тицию, а в мемуарах Боде он ссылается на Тиция, явно признавая приоритет Тиция.
3. Коссисты были экспертами в вычислениях всех видов и нанимались торговцами и бизнесменами для решения сложных бухгалтерских задач. Их название происходит от итальянского слова cosa , означающего «вещь», потому что они использовали символы для представления неизвестной величины, подобно тому, как современные математики используют Профессиональные решатели проблем этой эпохи изобретали свои собственные хитроумные методы для выполнения вычислений и делали все возможное, чтобы сохранить эти методы в секрете, чтобы сохранить репутацию единственного человека, способного решить конкретную проблему. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \,x\;.}$

Ссылки

1. Nieto, Michael Martin (1970). «Выводы о законе Тициуса–Боде о планетных расстояниях». Astron. Astrophys . 8 : 105–111. Bibcode :1970A&A.....8..105N.
2. Грегори, Д. (1715). Элементы астрономии .
3. "Где должны быть планеты? Закон пропорциональности". Dawn. Архивировано из оригинала 7 марта 2016 года . Получено 16 марта 2018 года .
4. Bonnet, C. (1764). Contemplation de la Nature (на французском языке).
5. Боде, Иоганн Элерт (1772). Anleitung zur Kenntniss des gestirnten Himmels [ Руководство по познанию звездного неба ] (на немецком языке) (2-е изд.).
6. Hoskin, Michael (26 июня 1992 г.). "Закон Бодеса ​​и открытие Цереры". Observatorio Astronomico di Palermo "Giuseppe S. Vaiana" . Получено 5 июля 2007 г.
7. фон Вольф, CF (1723). Vernünftige Gedanken von den Wirkungen der Natur (на немецком языке).
8. Грегори, Дэвид (1702). Astronomiae Physicae et Geometrye Elementa (на латыни).
9. Мартин, Бенджамин (1747). Philosophia Britannica .
10. Серда, Томас (ок. 1760). Тратадо де Астрономия (на испанском языке).
11. Вурм, Викариус (Иоганн Фридрих) (1787). Боде, Дж. Э. (ред.). «Verschiedene астрономические наблюдения и eine Abhandlung über mögliche Planeten und Kometen unsers Sonnensystems». Астрономический Ярбух . 15 . Хофбухдракер, Берлин: Джордж Джейкоб Декер, Кенигль: 162–73.
12. Пирс, К. С .; Кетнер, Кеннет Лейн (1992). Рассуждение и логика вещей. Лекции Кембриджской конференции 1898 года. Издательство Гарвардского университета . С. 194–196. ISBN 978-0-674-74966-5.Страница каталога HUP Архивировано 2 января 2010 г. на Wayback Machine .
13. Boss, Alan (октябрь 2006 г.). "Спросите Astro". Астрономия . Т. 30, № 10. С. 70.
14. Blagg, MA (1913). «О предложенной замене закона Боде». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 73 : 414–22. Bibcode :1913MNRAS..73..414B. doi : 10.1093/mnras/73.6.414 .
15. Lobban, GG; Roy, AE ; Brown, JC (октябрь 1982 г.). «Обзор формулы Блэгга в свете недавно открытых планетарных лун и колец». Журнал Британской астрономической ассоциации . 92 (6): 260–263. Bibcode : 1982JBAA...92..260L.
16. Малкольм, Рой (1955). «Закон Боде — совпадение?». Astounding Science Fiction . LV (5).
17. Ричардсон, Д. Э. (1945). «Расстояния планет от Солнца и спутников от их главных тел в спутниковых системах Юпитера, Сатурна и Урана». Popular Astronomy . Т. 53. С. 14–26.
18. Ньето, Майкл Мартин (1972). Закон Тициуса-Боде планетарных расстояний — его история и теория (1-е изд.). Pergamon Press. doi :10.1016/C2013-0-02478-4. ISBN 978-0-08-016784-8.
19. Кэрролл, Брэдли В.; Остли, Дейл А. (2007). Введение в современную астрофизику. Pearson Addison-Wesley. стр. 716–717. ISBN 978-0-8053-0402-2.
20. Уэйн Хейс; Скотт Тремейн (октябрь 1998 г.). «Подгонка выбранных случайных планетных систем к законам Тициуса–Боде» (PDF) . Icarus . 135 (2): 549. arXiv : astro-ph/9710116 . Bibcode :1998Icar..135..549H. CiteSeerX 10.1.1.27.8254 . doi :10.1006/icar.1998.5999. S2CID  15015134. 
21. Ф. Гранер ; Б. Дюбрюлль (1994). «Законы Тициуса–Боде в солнечной системе. Часть I: Масштабная инвариантность объясняет все». Астрономия и астрофизика . 282 (1): 262–268. Bibcode : 1994A&A...282..262G.
22. Б. Дюбрюлль ; Ф. Гранер (1994). «Законы Тициуса–Боде в солнечной системе. Часть II: Постройте свой собственный закон из дисковых моделей». Астрономия и астрофизика . 282 (1): 269–276. Bibcode : 1994A&A...282..269D.
23. Cohen, Howard L. (май 1996 г.). «The Titius-Bode relation revisited». FirstLight (ежемесячная статья в информационном бюллетене). Gainesville, FL: Alachua Astronomy Club. Архивировано из оригинала 28 сентября 2007 г. Получено 24 февраля 2008 г. – через Florida Stars (floridastars.org).
24. Харвит, Мартин (1998). Астрофизические концепции. Springer. С. 27–29. ISBN 9780387949437– через Google Книги.
25. Котляров, Иван (21 июня 2008 г.). «Закон Тициуса-Боде пересмотрен, но не возрожден». arXiv : 0806.3532 [physics.space-ph].
26. Поведа, Аркадио и Лара, Патрисия (2008). «Экзопланетная система 55 Раков и закон Тита – Боде» (PDF) . Revista Mexicana de Astronomía y Astrofísica (44): 243–246.
27. Доусон, Ребека И.; Фабрицки, Дэниел К. (2010). «Радиальные скорости планет удалены. Новый короткий период для суперземли 55 Cnc e». Astrophysical Journal . 722 (1): 937–953. arXiv : 1005.4050 . Bibcode : 2010ApJ...722..937D. doi : 10.1088/0004-637X/722/1/937. S2CID  118592734.
28. "Раздел 8.2: Внесолнечные законы, подобные законам Тициуса-Боде?" (PDF) . Европейская южная обсерватория (ESO.org) (Пресс-релиз). Поиск HARPS южных внесолнечных планет. 23 августа 2010 г. . Получено 24 августа 2010 г. .
29. Лара, Патрисия (2012). О структурном законе экзопланетных систем . ICNAAM 2012: Международная конференция по численному анализу и прикладной математике. Труды конференции AIP. Том 1479. С. 2356–2359. Bibcode : 2012AIPC.1479.2356L. doi : 10.1063/1.4756667.
30. Bovaird, Timothy; Lineweaver, Charles H. (2013). "Прогнозы экзопланет на основе обобщенного соотношения Тициуса-Боде". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 435 (2): 1126. arXiv : 1304.3341 . Bibcode : 2013MNRAS.435.1126B. doi : 10.1093/mnras/stt1357 .
31. Хуан, Челси X.; Бакос, Гашпар А. (9 мая 2014 г.). «Проверка предсказаний закона Тициуса-Боде для систем с несколькими планетами Кеплера». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 442 (1): 674–681. arXiv : 1405.2259 . Bibcode : 2014MNRAS.442..674H. doi : 10.1093/mnras/stu906 .
32. Киппинг, Дэвид (2018). «Предсказание орбиты TRAPPIST-1i». Научные заметки Американского астрономического общества . 2 (3): 136. arXiv : 1807.10835 . Bibcode : 2018RNAAS...2..136K. doi : 10.3847/2515-5172/aad6e8 . S2CID  119005201.
33. Лара, Патрисия; Кордеро-Терсеро, Гваделупе; Аллен, Кристин (2020). «Надежность соотношения Тициуса-Боде и его значение для поиска экзопланет». Публикации Астрономического общества Японии . 72 (2). arXiv : 2003.05121 . doi : 10.1093/pasj/psz146.
34. Баллестерос, Ф. Дж.; Фернандес-Сото, А.; Мартинес, В. Дж. (2019). «Погружение в экзопланеты: являются ли водные моря самыми распространенными?». Астробиология . 19 (5): 642–654. Bibcode : 2019AsBio..19..642B. doi : 10.1089/ast.2017.1720. hdl : 10261/213115 . PMID  30789285. S2CID  73498809.

Дальнейшее чтение

• Мэтьюз, Роберт (9 апреля 1994 г.). «Призрачная рука, разделившая планеты». New Scientist . стр. 13.
• Perdijk, HJR "The law of Titius–Bode explained". Растения и планеты. Архивировано из оригинала 15 июля 2014 года . Получено 26 января 2024 года – через kpn.nl.{{cite web}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )— мистический и спекулятивный; справочные диаграммы отсутствуют в архиве
• Парес и Фаррас, Рамон, доктор (2016). Distancias Planetarias y ley de Titius-Bode [Планетарные расстояния и закон Тициуса-Боде] (PDF) (популярное эссе по астрономии) (на испанском языке) . Проверено 26 января 2024 г. - через wix.com.{{cite report}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)— сочетание истории измерения расстояний и развития закона Тициуса, выдающихся астрономов, принимавших участие, и изложение с помощью графиков и простых соотношений современных планетарных и спутниковых расстояний