Закон нечетных чисел Галилея

Механический закон, описывающий падение предметов

В классической механике и кинематике закон нечетных чисел Галилея гласит, что расстояние, пройденное падающим объектом за последовательные равные промежутки времени, линейно пропорционально нечетным числам. То есть, если тело, падающее из состояния покоя , проходит определенное расстояние за произвольный промежуток времени, оно пройдет в 3, 5, 7 и т. д. раз больше этого расстояния за последующие промежутки времени той же длины. Эта математическая модель точна, если на тело не действуют никакие силы, кроме равномерной гравитации (например, оно падает в вакууме в однородном гравитационном поле ). Этот закон был установлен Галилео Галилеем, который первым провел количественные исследования свободного падения .

Объяснение

Вывод закона Галилея о нечетных числах

Использование графика скорости-времени

График на рисунке представляет собой график скорости от времени. Пройденное расстояние — это площадь под линией. Каждый временной интервал окрашен по-разному. Расстояние, пройденное во втором и последующих интервалах, — это площадь его трапеции, которую можно разделить на треугольники, как показано. Поскольку каждый треугольник имеет одинаковое основание и высоту, они имеют ту же площадь, что и треугольник в первом интервале. Можно заметить, что каждый интервал имеет на два треугольника больше, чем предыдущий. Поскольку первый интервал имеет один треугольник, это приводит к нечетным числам. ^[1]

Используя сумму первыхннечетные числа

Из уравнения равномерного линейного ускорения, пройденного расстояния при начальной скорости с постоянным ускорением (ускорение под действием силы тяжести без сопротивления воздуха) и прошедшего времени следует, что расстояние пропорционально (в символах ), таким образом, расстояние от начальной точки представляет собой последовательные квадраты для целых значений прошедшего времени. Средняя фигура на диаграмме является наглядным доказательством того, что сумма первых нечетных чисел равна ^[2] В уравнениях: $${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$$ ${\displaystyle u=0,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t^{2}}$ ${\displaystyle s\propto t^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}.}$

То, что эта закономерность продолжается вечно, можно доказать и алгебраически: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)&={\frac {1}{2}}\,\left(\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)+\sum _{k=1}^{n}(2\,(n-k+1)-1)\right)\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{n}(2\,(n+1)-1-1)\\&=n^{2}\end{aligned}}}$$

Чтобы пояснить это доказательство, поскольку -е ^{нечетное} положительное целое число равно , если обозначает сумму первых нечетных целых чисел, то так что Подстановка и дает, соответственно, формулы , где первая формула выражает сумму полностью через нечетное целое число, а вторая выражает ее полностью через , которое является порядковым номером в списке нечетных целых чисел. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\,\colon =\,2n-1,}$ ${\displaystyle S\,\colon =\,\sum _{k=1}^{n}(2\,k-1)\,=\,1+3+\cdots +(m-2)+m}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S+S&=\;\;1&&+\;\;3&&\;+\cdots +(m-2)&&+\;\;m\\&+\;\;m&&+(m-2)&&\;+\cdots +\;\;3&&+\;\;1\\&=\;(m+1)&&+(m+1)&&\;+\cdots +(m+1)&&+(m+1)\quad {\text{ (}}n{\text{ terms)}}\\&=\;n\,(m+1)&&&&&&&&\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\,n\,(m+1).}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(m+1)}$ ${\displaystyle m+1=2\,n}$ $${\displaystyle 1+3+\cdots +m\;=\;{\tfrac {1}{4}}(m+1)^{2}\quad {\text{ and }}\quad 1+3+\cdots +(2\,n-1)\;=\;n^{2}}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 1,3,5,\ldots .}$

Смотрите также

• Уравнения движения  – уравнения, описывающие поведение физической системы.
• Квадрат числа  – произведение целого числа на самого себяСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления

Примечания и ссылки

1. S Ducheyne, Галилей и Гюйгенс о свободном падении: математические и методологические различия
2. RP Olenick et al., Механическая вселенная: Введение в механику и тепло