Закон взаимности

Математический закон, обобщение квадратичного закона взаимности

В математике закон взаимности является обобщением закона квадратичной взаимности на произвольные монические неприводимые многочлены с целыми коэффициентами. Напомним, что первый закон взаимности, квадратичный закон взаимности, определяет, когда неприводимый многочлен распадается на линейные члены при сокращении mod . То есть, он определяет, для каких простых чисел соотношение ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+ax+b}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle f(x)\equiv f_{p}(x)=(x-n_{p})(x-m_{p}){\text{ }}({\text{mod }}p)}$

имеет место. Для общего закона взаимности ^{[1] стр. 3} он определяется как правило, определяющее, какие простые числа полином разбивает на линейные множители, обозначаемые . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{p}}$ ${\displaystyle {\text{Spl}}\{f(x)\}}$

Существует несколько различных способов выражения законов взаимности. Ранние законы взаимности, найденные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного вычета ( p / q ), обобщающего квадратичный символ взаимности , который описывает, когда простое число является вычетом степени n по модулю другого простого числа, и давал соотношение между ( p / q ) и ( q / p ). Гильберт переформулировал законы взаимности, заявив, что произведение над p символов норменных вычетов Гильберта ( a , b / p ), принимающих значения в корнях из единицы, равно 1. Артин переформулировал законы взаимности как утверждение, что символ Артина от идеалов (или иделей) к элементам группы Галуа тривиален на определенной подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности с использованием когомологий групп или представлений адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

Название закона взаимности было введено Лежандром в его публикации 1785 года Recherches d'analyse indéterminée ^[2] , поскольку нечетные простые числа взаимно или не взаимно в смысле квадратичной взаимности, изложенной ниже, в соответствии с их классами вычетов . Это взаимное поведение не является хорошо обобщаемым, эквивалентное поведение расщепления является. Название закона взаимности все еще используется в более общем контексте расщеплений. ${\displaystyle {\bmod {4}}}$

Квадратичная взаимность

В терминах символа Лежандра закон квадратичной взаимности гласит:

для положительных нечетных простых чисел имеем ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Используя определение символа Лежандра, это эквивалентно более элементарному утверждению об уравнениях.

Для положительных нечетных простых чисел разрешимость для определяет разрешимость для и наоборот по сравнительно простому критерию, является ли или . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle n^{2}-p\equiv 0{\bmod {q}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m^{2}-q\equiv 0{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

По теореме о факторах и поведению степеней в факторизациях разрешимость таких квадратичных уравнений сравнения эквивалентна разложению ассоциированных квадратичных многочленов над кольцом вычетов на линейные множители. В этой терминологии закон квадратичной взаимности формулируется следующим образом.

Для положительных нечетных простых чисел расщепление многочлена по -вычетам определяет расщепление многочлена по -вычетам и наоборот через величину . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle x^{2}-p}$ ${\displaystyle {\bmod {q}}}$ ${\displaystyle x^{2}-q}$ ${\displaystyle {\bmod {p}}}$ ${\displaystyle (-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}\in \{\pm 1\}}$

Это устанавливает мост от дающего название взаимному поведению простых чисел, введенному Лежандром, к расщепляющему поведению многочленов, используемому в обобщениях.

Кубическая взаимность

Закон кубической взаимности для целых чисел Эйзенштейна гласит, что если α и β являются первичными (простыми числами, сравнимыми с 2 по модулю 3), то

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.}$

Квартальная взаимность

В терминах символа вычета четвертой степени закон взаимности четвертой степени для целых гауссовых чисел гласит, что если π и θ являются первичными (конгруэнтными 1 mod (1+ i ) ³ ) простыми гауссовыми числами, то

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

Октичная взаимность

Эйзенштейн взаимность

Предположим, что ζ — корень степени из единицы для некоторого нечетного простого числа . Характер степени — это степень ζ, такая, что ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{l}\equiv \alpha ^{\frac {N({\mathfrak {p}})-1}{l}}{\pmod {\mathfrak {p}}}}$

для любого простого идеала Z [ζ]. Он распространяется на другие идеалы с помощью мультипликативности. Закон взаимности Эйзенштейна гласит, что ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{l}=\left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{l}}$

для любого рационального целого числа, взаимно простого с a, и α любого элемента из Z [ζ], который взаимно прост с a и сравним с рациональным целым числом по модулю (1–ζ) ² . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

Куммер взаимность

Предположим, что ζ является корнем l- й степени из единицы для некоторого нечетного регулярного простого числа l . Поскольку l является регулярным, мы можем расширить символ {} до идеалов единственным способом, таким образом, что

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}^{n}=\left\{{\frac {p^{n}}{q}}\right\}}$где n — некоторое целое число, простое с l, такое, что p ⁿ является главным.

Закон взаимности Куммера гласит, что

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{p}}\right\}}$

для p и q любых различных простых идеалов Z [ζ], отличных от (1–ζ).

Гильбертовская взаимность

В терминах символа Гильберта закон взаимности Гильберта для алгебраического числового поля гласит, что

${\displaystyle \prod _{v}(a,b)_{v}=1}$

где произведение берется по всем конечным и бесконечным местам. По рациональным числам это эквивалентно закону квадратичной взаимности. Чтобы увидеть это, возьмем a и b как различные нечетные простые числа. Тогда закон Гильберта становится Но ( p , q ) _p равен символу Лежандра, ( p , q ) _∞ равен 1, если одно из p и q положительно, и –1 в противном случае, и ( p , q ) ₂ равен (–1) ^{( p –1)( q –1)/4} . Таким образом, для p и q положительных нечетных простых чисел закон Гильберта является законом квадратичной взаимности. ${\displaystyle (p,q)_{\infty }(p,q)_{2}(p,q)_{p}(p,q)_{q}=1}$

Артин взаимность

На языке иделей закон взаимности Артина для конечного расширения L / K гласит, что отображение Артина из группы классов иделей C _K в абелианизацию Gal( L / K ) ^ab группы Галуа исчезает на N _{L / K} ( C _L ) и индуцирует изоморфизм

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to {\text{Gal}}(L/K)^{\text{ab}}.}$

Хотя это не очевидно, закон взаимности Артина легко подразумевает все ранее открытые законы взаимности, применяя его к подходящим расширениям L / K. Например, в частном случае, когда K содержит n- е корни из единицы и L = K [ a ^{1/ n} ] является расширением Куммера K , тот факт, что отображение Артина обращается в нуль на N _{L / K} ( C _L ), подразумевает закон взаимности Гильберта для символа Гильберта.

Местная взаимность

Хассе ввел локальный аналог закона взаимности Артина, называемый локальным законом взаимности. Одна из его форм гласит, что для конечного абелева расширения L / K локальных полей отображение Артина является изоморфизмом из на группу Галуа . ${\displaystyle K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times })}$ ${\displaystyle Gal(L/K)}$

Явные законы взаимности

Чтобы получить классический закон взаимности из закона взаимности Гильберта Π( a , b ) _p =1, нужно знать значения ( a , b ) _p для p , делящего n . Явные формулы для этого иногда называют явными законами взаимности.

Законы взаимности власти

Закон взаимности степеней можно сформулировать как аналог закона квадратичной взаимности в терминах символов Гильберта следующим образом ^[3]

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}}\ .}$

Рациональные законы взаимности

Рациональный закон взаимности — это закон, сформулированный в терминах рациональных целых чисел без использования корней из единицы.

Закон взаимности Шольца

Симура взаимность

Закон взаимности Вейля

Взаимность Ленглендса

Программа Ленглендса включает в себя несколько гипотез для общих редуктивных алгебраических групп, которые для специальной группы GL ₁ влекут закон взаимности Артина.

Закон взаимности Ямамото

Закон взаимности Ямамото — это закон взаимности, связанный с числами классов квадратичных числовых полей.

Смотрите также

• Девятая проблема Гильберта
• Теорема взаимности Стэнли

Ссылки

1. Хирамацу, Тоёкадзу; Сайто, Сэйкен (2016-05-04). Введение в неабелеву теорию полей классов. Серия по теории чисел и ее приложениям. WORLD SCIENTIFIC. doi :10.1142/10096. ISBN 978-981-314-226-8.
2. Чандрасекхаран, К. (1985). Эллиптические функции. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 281. Берлин: Шпрингер. п. 152ф. дои : 10.1007/978-3-642-52244-4. ISBN 3-540-15295-4.
3. Нойкирх (1999) стр.415

• Frei, Günther (1994), "Закон взаимности от Эйлера до Эйзенштейна", в Chikara, Sasaki (ред.), Пересечение истории и математики. Доклады, представленные на симпозиуме по истории математики, состоявшемся в Токио, Япония, 31 августа - 1 сентября 1990 г., Sci. Networks Hist. Stud., т. 15, Базель: Birkhäuser, стр. 67–90, doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12997-5 , ISBN 9780817650292, MR  0308080, Zbl  0818.01002
• Гильберт, Дэвид (1897), «Теория алгебраической алгебры Zahlkörper», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 4 : 175–546, ISSN  0012-0456
• Гильберт, Дэвид (1998), Теория алгебраических числовых полей, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-662-03545-0, ISBN 978-3-540-62779-1, г-н  1646901
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна, Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN 3-540-66957-4, MR  1761696, Zbl  0949.11002
• Леммермейер, Франц, Законы взаимности. От Куммера до Гильберта
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, ЗБЛ  0956.11021
• Степанов, С.А. (2001) [1994], "Законы взаимности", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Уайман, Б.Ф. (1972), «Что такое закон взаимности?», Amer. Math. Monthly , 79 (6): 571–586, doi :10.2307/2317083, JSTOR  2317083, MR  0308084Исправление, там же, 80 (1973), 281.

Обзорные статьи

• Законы взаимности и представления Галуа: последние достижения