В теории вероятностей законы арксинуса представляют собой набор результатов для одномерных случайных блужданий и броуновского движения ( процесса Винера ). Самый известный из них приписывается Полу Леви (1939).
Все три закона связывают свойства пути винеровского процесса с распределением арксинуса . Случайная величина X на [0,1] распределена арксинусом, если
Везде мы предполагаем, что ( W t ) 0 ≤ t ≤ 1 ∈ R — одномерный винеровский процесс на [0,1]. Масштабная инвариантность гарантирует, что результаты могут быть обобщены на винеровские процессы, выполняемые для t ∈[0,∞).
Первый закон арксинуса гласит, что доля времени, в течение которого одномерный винеровский процесс положителен, следует распределению арксинуса. Пусть
будет мерой множества времен в [0,1], в которых винеровский процесс положителен. Тогда арксинус распределен.
Второй закон арксинуса описывает распределение последнего времени изменения знака винеровского процесса. Пусть
будет временем последнего нуля. Тогда L распределена по арксинусу.
Третий закон арксинуса гласит, что время, в которое винеровский процесс достигает своего максимума, распределено по закону арксинуса.
Формулировка закона основана на том факте, что винеровский процесс имеет почти наверняка уникальные максимумы [1] , и поэтому мы можем определить случайную величину M , которая является временем, в которое достигаются максимумы. т.е. уникальное M , такое, что
Тогда M распределена по закону арксинуса.
Определение текущего максимального процесса M t винеровского процесса
тогда закон X t = M t − W t имеет тот же закон, что и отраженный винеровский процесс | B t | (где B t — винеровский процесс, независимый от W t ). [1]
Поскольку нули B и | B | совпадают, последний ноль X имеет то же распределение, что и L , последний ноль винеровского процесса. Последний ноль X возникает точно тогда, когда W достигает своего максимума. [1] Из этого следует, что второй и третий законы эквивалентны.
![{\displaystyle \Pr \left[X\leq x\right]={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right),\qquad \forall x\in [0,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a41666490f133970aabfcb0c625b69312641126)
![{\displaystyle T_{+}=\left|\{\,t\in [0,1]\,\colon \,W_{t}>0\,\}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72770db491b42a0dc18d13b5b2bb88f1bbb88aa3)
![{\displaystyle L=\sup \left\{t\in [0,1]\,\colon \,W_{t}=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2a610d1008a43cd635a25214d0150cacf3bcf6)
![{\displaystyle W_{M}=\sup\{W_{s}\,\colon \,s\in [0,1]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f82c59efa23a4a5e021b1a023a617214ee5451)
![{\displaystyle M_{t}=\sup\{W_{s}\,\colon \,s\in [0,t]\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184d233f636a0392105747cbc6c3bbf6a0f4f941)