Объединение (теория множеств)

Набор элементов в любом из некоторых наборов

Объединение двух множеств:
${\displaystyle ~A\cup B}$

Объединение трех множеств:
${\displaystyle ~A\cup B\cup C}$

Объединение A, B, C, D и E представляет собой все, кроме белой области.

В теории множеств объединение (обозначается ∪ ) набора множеств — это множество всех элементов в наборе. ^[1] Это одна из фундаментальных операций, посредством которой множества могут быть объединены и связаны друг с другом.Нулевое объединение относится к объединениюнулевых ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ )множеств и по определению равнопустому множеству.

Объяснение символов, используемых в данной статье, можно найти в таблице математических символов .

Объединение двух множеств

Объединение двух множеств A и B — это множество элементов, которые находятся в A , в B или в обоих множествах A и B. ^[2] В нотации построения множеств ,

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}}$. ^[3]

Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (с участием двух бесконечных множеств):

A = { x — четное целое число, большее 1}

B = { x — нечетное целое число, большее 1}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

Другой пример: число 9 не содержится в объединении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества четных чисел {2, 4, 6, 8, 10, ...}, поскольку 9 не является ни простым, ни четным числом.

Множества не могут иметь повторяющихся элементов, ^{[3] [4],} поэтому объединение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Многократное появление одинаковых элементов не влияет на мощность множества или его содержимое.

Алгебраические свойства

Бинарное объединение является ассоциативной операцией; то есть для любых множеств ⁠ ⁠ ${\displaystyle A,B,{\text{ and }}C}$ , Таким образом, скобки могут быть опущены без двусмысленности: любое из вышеперечисленного можно записать как ⁠ ⁠ . Кроме того, объединение является коммутативным , поэтому множества могут быть записаны в любом порядке. ^[5] Пустое множество является элементом тождества для операции объединения. То есть ⁠ ⁠ , для любого множества ⁠ ⁠ . Кроме того, операция объединения является идемпотентной: ⁠ ⁠ . Все эти свойства следуют из аналогичных фактов о логической дизъюнкции . $${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$ ${\displaystyle A\cup B\cup C}$ ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup A=A}$

Пересечение распределяется по объединению , а объединение распределяется по пересечению ^[2] Множество степеней множества ⁠ ⁠ вместе с операциями, заданными объединением, пересечением и дополнением , является булевой алгеброй . В этой булевой алгебре объединение может быть выражено в терминах пересечения и дополнения по формуле, где верхний индекс обозначает дополнение в универсальном множестве ⁠ ⁠ . В качестве альтернативы пересечение может быть выражено в терминах объединения и дополнения аналогичным образом: . Эти два выражения вместе называются законами Де Моргана . ^{[6] [7] [8]} $${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$ $${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },}$$ ${\displaystyle {}^{\complement }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\cap B=(A^{\complement }\cup B^{\complement })^{\complement }}$

Конечные союзы

Можно взять объединение нескольких множеств одновременно. Например, объединение трех множеств A , B , и C содержит все элементы A , все элементы B , и все элементы C , и ничего больше. Таким образом, x является элементом A ∪ B ∪ C тогда и только тогда, когда x содержится хотя бы в одном из A , B , и C .

Конечное объединение — это объединение конечного числа множеств; эта фраза не подразумевает, что объединенное множество является конечным множеством . ^{[9] [10]}

Произвольные союзы

Наиболее общим понятием является объединение произвольной коллекции множеств, иногда называемое бесконечным объединением . Если M — множество или класс , элементами которого являются множества, то x является элементом объединения M тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент A из M, такой что x является элементом A. ^[11] В символах:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Эта идея включает в себя предыдущие разделы — например, A ∪ B ∪ C — это объединение набора { A , B , C }. Кроме того, если M — это пустой набор, то объединение M — это пустое множество.

Обозначения

Обозначения для общего понятия могут значительно различаться. Для конечного объединения множеств часто пишут или . Различные общие обозначения для произвольных объединений включают , и . Последнее из этих обозначений относится к объединению набора , где I — это индексный набор и является набором для каждого ⁠ ⁠ . В случае, когда индексный набор I — это набор натуральных чисел , используется обозначение , которое аналогично обозначению бесконечных сумм в ряду. ^[11] ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$ ${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$ ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$ ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$

Когда символ «∪» размещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается в большем размере.

Кодировка нотации

В Unicode объединение представлено символом U+222A ∪ UNION . ^[12] В TeX отображается из и отображается из . ${\displaystyle \cup }$\cup ${\textstyle \bigcup }$\bigcup

Смотрите также

• Математический портал

• Алгебра множеств  – тождества и отношения, включающие множества
• Чередование (формальная теория языка)  — в формальной теории языка и сопоставлении с образцом объединение двух наборов строк или образцов Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва— объединение наборов строк.
• Аксиома объединения  – Концепция в аксиоматической теории множеств
• Несвязное объединение  – в математике операция над множествами.
• Принцип включения-исключения  – Методика подсчета в комбинаторике
• Пересечение (теория множеств)  – множество элементов, общих для всех некоторых множеств.
• Повторяющаяся бинарная операция  – повторное применение операции к последовательности.
• Список тождеств и отношений множеств  – Равенства для комбинаций множеств
• Наивная теория множеств  – Неформальные теории множеств
• Симметричная разность  – элементы находятся ровно в одном из двух множеств

Примечания

1. Weisstein, Eric W. "Union". Wolfram Mathworld. Архивировано из оригинала 2009-02-07 . Получено 2009-07-14 .
2. "Операции над множествами | Объединение | Пересечение | Дополнение | Разность | Взаимоисключающие | Разделы | Закон Де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение". Курс теории вероятностей . Получено 05.09.2020 .
3. Верещагин, Николай Константинович; Шен, Александр (2002-01-01). Основная теория множеств. Американское математическое общество. ISBN 9780821827314.
4. деХаан, Лекс; Коппелаарс, Мультяшка (25 октября 2007 г.). Прикладная математика для специалистов по базам данных. Апресс. ISBN 9781430203483.
5. Halmos, PR (2013-11-27). Наивная теория множеств. Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450.
6. "MathCS.org - Действительный анализ: Теорема 1.1.4: Законы Де Моргана". mathcs.org . Получено 2024-10-22 .
7. Дорр, Эл; Левассер, Кен. Законы теории множеств ADS.
8. "Алгебра множеств — Википедия, свободная энциклопедия". www.umsl.edu . Получено 22.10.2024 .
9. Дасгупта, Абхиджит (2013-12-11). Теория множеств: с введением в действительные точечные множества. Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545.
10. "Конечное объединение конечных множеств конечно". ProofWiki . Архивировано из оригинала 11 сентября 2014 . Получено 29 апреля 2018 .
11. Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Андре, Ричард Ст (2014-08-01). Переход к высшей математике . Cengage Learning. ISBN 9781285463261.
12. "Стандарт Unicode, версия 15.0 – Математические операторы – Диапазон: 2200–22FF" (PDF) . Unicode . стр. 3.

Внешние ссылки

• «Объединение множеств», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Бесконечное объединение и пересечение в ProvenMath Законы де Моргана, формально доказанные на основе аксиом теории множеств.