Ориентация (векторное пространство)

Выбор ориентира для различения предмета и его зеркального отображения

Левша ориентация показана слева, а правша справа.

Ориентация реального векторного пространства или просто ориентация векторного пространства - это произвольный выбор того, какие упорядоченные базы ориентированы «положительно», а какие «отрицательно». В трехмерном евклидовом пространстве правые основания обычно объявляются положительно ориентированными, но выбор произволен, поскольку им также может быть присвоена отрицательная ориентация. Векторное пространство с выбранной ориентацией называется ориентированным векторным пространством , а пространство без выбранной ориентации называетсянеориентированный .

В математике ориентируемость — это более широкое понятие , которое в двух измерениях позволяет сказать, когда цикл движется по часовой стрелке или против часовой стрелки, а в трех измерениях, когда фигура левая или правая. В линейной алгебре над действительными числами понятие ориентации имеет смысл в произвольном конечном измерении и представляет собой своего рода асимметрию, которая делает невозможным воспроизведение отражения посредством простого смещения . Таким образом, в трех измерениях невозможно превратить левую руку человеческой фигуры в правую, применяя только смещение, но можно сделать это, отразив фигуру в зеркале. В результате в трехмерном евклидовом пространстве две возможные ориентации базиса называются правосторонней и левосторонней (или правокиральной и левокиральной).

Определение

Пусть V — конечномерное вещественное векторное пространство, а b ₁ и b ₂ — два упорядоченных базиса для V . Стандартным результатом линейной алгебры является существование единственного линейного преобразования A  : V → V , которое переводит b ₁ в b ₂ . Говорят, что основания b ₁ и b ₂ имеют одинаковую ориентацию (или последовательно ориентированы), если A имеет положительный определитель ; в противном случае они имеют противоположные ориентации . Свойство иметь одинаковую ориентацию определяет отношение эквивалентности на множестве всех упорядоченных базисов для V . Если V не равно нулю, существует ровно два класса эквивалентности , определяемые этим отношением. Ориентация на V — это присвоение +1 одному классу эквивалентности и −1 другому. ^[1]

Каждый упорядоченный базис находится в том или ином классе эквивалентности. Таким образом, любой выбор привилегированного упорядоченного базиса для V определяет ориентацию: класс ориентации привилегированного базиса объявляется положительным.

Например, стандартный базис на Rn обеспечивает стандартную ориентацию на Rn (в свою очередь, ориентация стандартного базиса зависит от ориентации декартовой системы координат ^{, на которой} он построен). Тогда любой выбор линейного изоморфизма между V и R ⁿ обеспечит ориентацию на V .

Порядок элементов в базисе имеет решающее значение. Два основания с разным порядком будут различаться некоторой перестановкой . Они будут иметь одинаковую/противоположную ориентацию в зависимости от того, равна ли сигнатура этой перестановки ±1. Это связано с тем, что определитель матрицы перестановок равен сигнатуре соответствующей перестановки.

^{Аналогично} , пусть A — неособое линейное отображение векторного пространства Rn в Rn ^. Это отображение сохраняет ориентацию, если его определитель положителен. ^[2] Например, в R ³ вращение вокруг декартовой оси Z на угол α сохраняет ориентацию:

$${\displaystyle \mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

XY

$${\displaystyle \mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$$

Нульмерный случай

Понятие ориентации вырождается в нульмерном случае. Нульмерное векторное пространство имеет только одну точку — нулевой вектор. Следовательно, единственным базисом нульмерного векторного пространства является пустое множество . Следовательно, существует единственный класс эквивалентности упорядоченных базисов, а именно класс, единственным членом которого является пустое множество. Это означает, что ориентация нульмерного пространства есть функция ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{\emptyset \}}$

$${\displaystyle \{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.}$$

Поскольку существует только один упорядоченный базис , нульмерное векторное пространство аналогично нульмерному векторному пространству с упорядоченным базисом. Выбор или, следовательно, выбор ориентации каждого базиса любого нульмерного векторного пространства. Если всем нульмерным векторным пространствам присвоена эта ориентация, то, поскольку все изоморфизмы среди нульмерных векторных пространств сохраняют упорядоченный базис, они также сохраняют ориентацию. Это отличается от случая векторных пространств более высокой размерности, где нет возможности выбрать ориентацию, чтобы она сохранялась при всех изоморфизмах. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto +1}$ ${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto -1}$

Однако бывают ситуации, когда желательно придать разным точкам разную ориентацию. Например, рассмотрим фундаментальную теорему исчисления как пример теоремы Стокса . Замкнутый интервал [ a , b ] представляет собой одномерное многообразие с краем , а его границей является множество { a , b } . Чтобы получить правильную формулировку основной теоремы исчисления, точка b должна быть ориентирована положительно, а точка a должна быть ориентирована отрицательно.

На линии

В одномерном случае речь идет о линии, по которой можно проходить в одном из двух направлений. У линии есть две ориентации, как и у круга. В случае сегмента линии (связного подмножества линии) две возможные ориентации приводят к образованию направленных сегментов линии . Ориентируемая поверхность иногда имеет выбранную ориентацию, обозначенную ориентацией линии, перпендикулярной поверхности.

Альтернативные точки зрения

Полилинейная алгебра

Для любого n -мерного вещественного векторного пространства V мы можем сформировать k -ю внешнюю степень V , обозначаемую Λ ^k V. Это настоящее векторное пространство размерности . Поэтому векторное пространство Λ ⁿ V (называемое верхней внешней степенью ) имеет размерность 1. То есть Λ ⁿ V — это просто действительная линия. Не существует априорного выбора того, какое направление этой линии является положительным. Ориентация – это именно такой выбор. Любая ненулевая линейная форма ω на Λ ⁿ V определяет ориентацию V , заявляя, что x находится в положительном направлении, когда ω ( x ) > 0. Чтобы связать с базисной точкой зрения, мы говорим, что положительно ориентированные базисы - это базисы на которое ω оценивает как положительное число (поскольку ω является n -формой, мы можем вычислить ее на упорядоченном наборе из n векторов, что дает элемент R ). Форма ω называется формой ориентации . Если { e _i } является привилегированным базисом для V и { e _i ^∗ } является двойственным базисом , то форма ориентации, дающая стандартную ориентацию, равна e ₁ ^∗ ∧ e ₂ ^∗ ∧ … ∧ e _n ^∗ . ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Связь этого с детерминантной точкой зрения такова: определитель эндоморфизма можно интерпретировать как индуцированное действие на верхнюю внешнюю степень. ${\displaystyle T:V\to V}$

Теория группы Ли

Пусть B — множество всех упорядоченных баз для V . Тогда общая линейная группа GL( V ) действует свободно и транзитивно на B. (На причудливом языке B — это GL( V ) -торсор ). Это означает , что как многообразие B (неканонически) гомеоморфно GL( V ). Обратите внимание, что группа GL( V ) не связна , а имеет два компонента связности в зависимости от того, является ли определитель преобразования положительным или отрицательным (за исключением GL ₀ , которая является тривиальной группой и, следовательно, имеет единственный компонент связности; это соответствует канонической ориентации в нульмерном векторном пространстве). Единичный компонент GL( V ) обозначается GL ⁺ ( V ) и состоит из преобразований с положительным определителем. Действие GL ⁺ ( V ) на B не транзитивно : существуют две орбиты, соответствующие связным компонентам B . Эти орбиты представляют собой именно те классы эквивалентности, о которых говорилось выше. Поскольку B не имеет выделенного элемента (т. е. привилегированного базиса), нет естественного выбора того, какой компонент является положительным. Сравните это с GL( V ), у которого есть привилегированный компонент: компонент идентичности. Конкретный выбор гомеоморфизма между B и GL( V ) эквивалентен выбору привилегированного базиса и, следовательно, определяет ориентацию.

Более формально: , и многообразие Штифеля n -фреймов в является -торсором , то же самое является и торсором над , т. е. его двумя точками, и выбор одной из них является ориентацией. ${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)}$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$

Геометрическая алгебра

Параллельные плоские сегменты с одинаковым положением, величиной и ориентацией, соответствующие одному и тому же бивектору a ∧ b . ^[3]

Различные объекты геометрической алгебры обладают тремя атрибутами или особенностями : положением, ориентацией и величиной. ^[4] Например, вектор имеет положение, определяемое прямой линией, параллельной ему, ориентацию, определяемую его направлением (часто указываемым стрелкой), и величину, определяемую его длиной. Точно так же бивектор в трех измерениях имеет положение, заданное семейством связанных с ним плоскостей (возможно, заданное нормальной линией , общей для этих плоскостей ^[5] ), ориентацию (иногда обозначаемую изогнутой стрелкой в ​​плоскости), указывающую выбор направления прохождения его границы (его циркуляции ) и величины, заданной площадью параллелограмма, определяемой двумя его векторами. ^[6]

Ориентация на многообразиях

Ориентацию объема можно определить по ориентации на его границе, указанной кружащими стрелками.

Каждая точка p на n -мерном дифференцируемом многообразии имеет касательное пространство T _p M , которое является n -мерным вещественным векторным пространством. Каждому из этих векторных пространств можно присвоить ориентацию. Некоторые ориентации «плавно меняются» от точки к точке. Из-за определенных топологических ограничений это не всегда возможно. Многообразие, допускающее плавный выбор ориентации касательных пространств, называется ориентируемым .

Смотрите также

• Соглашение о подписании
• Формализмы вращения в трех измерениях
• Хиральность (математика)
• Правило правой руки
• Четные и нечетные перестановки
• Декартова система координат
• Псевдовектор
• Ориентация векторного расслоения

Рекомендации

1. В., Вайсштейн, Эрик. «Векторная ориентация пространства». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 декабря 2017 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. В., Вайсштейн, Эрик. «Ориентация-сохранение». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 декабря 2017 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Лео Дорст; Дэниел Фонтейн; Стивен Манн (2009). Геометрическая алгебра для информатики: объектно-ориентированный подход к геометрии (2-е изд.). Морган Кауфманн. п. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. Алгебраический бивектор не имеет конкретной формы; геометрически это количество ориентированных площадей в определенной плоскости, вот и все.
4. Б. Янцевич (1996). «Таблицы 28.1 и 28.2 в разделе 28.3: Формы и псевдоформы». У Уильяма Эрика Бэйлиса (ред.). Алгебры Клиффорда (геометрические) с приложениями к физике, математике и технике . Спрингер. п. 397. ИСБН 0-8176-3868-7.
5. Уильям Энтони Грэнвилл (1904). «§178 Нормальная линия к поверхности». Элементы дифференциального и интегрального исчисления. Джинн и компания. п. 275.
6. Дэвид Хестенс (1999). Новые основы классической механики: Фундаментальные теории физики (2-е изд.). Спрингер. п. 21. ISBN 0-7923-5302-1.

Внешние ссылки

• «Ориентация», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]