Дирихле эта-функция

Функция в аналитической теории чисел

Цветовое представление функции Дирихле эта. Оно генерируется как график Matplotlib с использованием версии метода окраски домена . ^[1]

В математике , в области аналитической теории чисел , эта-функция Дирихле определяется следующим рядом Дирихле , который сходится для любого комплексного числа, имеющего действительную часть > 0: $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots .}$$

Этот ряд Дирихле является знакопеременной суммой, соответствующей разложению в ряд Дирихле дзета-функции Римана , ζ ( s ) — и по этой причине эта-функция Дирихле также известна как знакопеременная дзета-функция , также обозначаемая ζ *( s ). Имеет место следующее соотношение: $${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}$$

Как эта-функция Дирихле, так и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифмов .

В то время как разложение в ряд Дирихле для функции эта сходится только для любого комплексного числа s с действительной частью > 0, оно суммируемо по Абелю для любого комплексного числа. Это позволяет определить функцию эта как целую функцию . (Вышеуказанное соотношение и тот факт, что функция эта является целой, вместе показывают, что дзета-функция является мероморфной с простым полюсом при s = 1 и, возможно, дополнительными полюсами в других нулях фактора , хотя на самом деле эти гипотетические дополнительные полюсы не существуют.) ${\displaystyle \eta (1)\neq 0}$ ${\displaystyle 1-2^{1-s}}$

Эквивалентно, мы можем начать с определения , которое также определено в области положительной действительной части ( представляет собой гамма-функцию ). Это дает эта-функцию как преобразование Меллина . $${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}}$$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$

Харди дал простое доказательство функционального уравнения для эта-функции ^[2] , которое выглядит следующим образом: $${\displaystyle \eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}$$

Отсюда сразу же следует функциональное уравнение дзета-функции, а также еще один способ распространить определение эта на всю комплексную плоскость.

Нули

Нули эта-функции включают в себя все нули дзета-функции: отрицательные четные целые числа (действительные равноотстоящие простые нули); нули вдоль критической прямой, ни один из которых, как известно, не является кратным, и более 40% из которых, как было доказано, являются простыми, и гипотетические нули в критической полосе, но не на критической прямой, которые, если они существуют, должны находиться в вершинах прямоугольников, симметричных относительно оси x и критической прямой, и кратность которых неизвестна. ^{[ необходима цитата ]} Кроме того, множитель добавляет бесконечное число сложных простых нулей, расположенных в равноотстоящих точках на прямой , в, где n — любое ненулевое целое число. ${\displaystyle 1-2^{1-s}}$ ${\displaystyle \Re (s)=1}$ ${\displaystyle s_{n}=1+2n\pi i/\ln(2)}$

Согласно гипотезе Римана , нули эта-функции будут располагаться симметрично относительно действительной оси на двух параллельных прямых и на перпендикулярной полупрямой, образованной отрицательной действительной осью. ${\displaystyle \Re (s)=1/2,\Re (s)=1}$

Проблема Ландау сζ(с) =η(с)/0 и решения

В уравнении η ( s ) = (1 − 2 ^{1− s} ) ζ ( s ) «полюс ζ ( s ) при s = 1 сокращается нулем другого множителя» (Titchmarsh, 1986, стр. 17), и в результате η (1) не является ни бесконечностью, ни нулем (см. § Частные значения). Однако в уравнении η должно быть равно нулю во всех точках , где знаменатель равен нулю, если дзета-функция Римана аналитична и конечна там. Проблема доказательства этого без предварительного определения дзета-функции была обозначена и оставлена ​​открытой Э. Ландау в его трактате 1909 года по теории чисел: «Отличен ли эта-ряд от нуля или нет в точках , т. е. являются ли они полюсами дзета или нет, здесь не совсем очевидно». $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}},}$$ ${\displaystyle s_{n}=1+n{\frac {2\pi }{\ln {2}}}i,n\neq 0,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$

Первое решение проблемы Ландау было опубликовано почти 40 лет спустя Д. В. Виддером в его книге «Преобразование Лапласа». Оно использует следующее простое число 3 вместо 2 для определения ряда Дирихле, похожего на функцию эта, которую мы будем называть функцией , определенной для и с некоторыми нулями также на , но не равными нулям эта. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle \Re (s)=1}$

Косвенное доказательство η ( s _n ) = 0 по Виддеру

$${\displaystyle \lambda (s)=\left(1-{\frac {3}{3^{s}}}\right)\zeta (s)=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}\right)-{\frac {2}{3^{s}}}+\left({\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}\right)-{\frac {2}{6^{s}}}+\cdots }$$

Если является действительным и строго положительным, ряд сходится, поскольку перегруппированные члены чередуются по знаку и убывают по абсолютной величине до нуля. Согласно теореме о равномерной сходимости рядов Дирихле, впервые доказанной Каэном в 1894 году, функция тогда аналитична для , области, которая включает линию . Теперь мы можем правильно определить, где знаменатели не равны нулю, или ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \lambda (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle \Re (s)=1}$ $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-{\frac {2}{2^{s}}}}}}$$ $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\lambda (s)}{1-{\frac {3}{3^{s}}}}}}$$

Так как иррационально, знаменатели в двух определениях не равны нулю одновременно, за исключением , и функция, таким образом, хорошо определена и аналитична для , за исключением . В конце концов, косвенно получаем, что когда : ${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle \eta (s_{n})=0}$ ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ $${\displaystyle \eta (s_{n})=\left(1-{\frac {2}{2^{s_{n}}}}\right)\zeta (s_{n})={\frac {1-{\frac {2}{2^{s_{n}}}}}{1-{\frac {3}{3^{s_{n}}}}}}\lambda (s_{n})=0.}$$

Элементарное прямое и -независимое доказательство равенства нулю эта-функции при было опубликовано Дж. Сондов в 2003 году. Оно выражает значение эта-функции как предел специальных сумм Римана, связанных с интегралом, заведомо равным нулю, используя соотношение между частичными суммами ряда Дирихле, определяющего эта- и дзета-функции для . ${\displaystyle \zeta \,}$ ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$

Прямое доказательство η ( s _n ) = 0 по Сондову

Используя простую алгебру, применяемую к конечным суммам, мы можем записать для любого комплексного s $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{2n}(s)&=\sum _{k=1}^{2n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{s}}}\\&=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {(-1)^{2n-1}}{{(2n)}^{s}}}\\[2pt]&=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}-2\left({\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}\right)\\[2pt]&=\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta _{2n}(s)+{\frac {2}{2^{s}}}\left({\frac {1}{{(n+1)}^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}\right)\\[2pt]&=\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta _{2n}(s)+{\frac {2n}{{(2n)}^{s}}}\,{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {1}{{(1+1/n)}^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(1+n/n)}^{s}}}\right).\end{aligned}}}$$

Теперь, если и , то множитель равен нулю, и где Rn( f ( x ), a , b ) обозначает специальную сумму Римана, аппроксимирующую интеграл f ( x ) по [ a , b ] . Для t = 0 , т.е. s = 1 , мы получаем ${\displaystyle s=1+it}$ ${\displaystyle 2^{s}=2}$ ${\displaystyle \zeta _{2n}(s)}$ $${\displaystyle \eta _{2n}(s)={\frac {1}{n^{it}}}R_{n}\left({\frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1\right),}$$ $${\displaystyle \eta (1)=\lim _{n\to \infty }\eta _{2n}(1)=\lim _{n\to \infty }R_{n}\left({\frac {1}{1+x}},0,1\right)=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\log 2\neq 0.}$$

В противном случае, если , то , что дает ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle |n^{1-s}|=|n^{-it}|=1}$ $${\displaystyle |\eta (s)|=\lim _{n\to \infty }|\eta _{2n}(s)|=\lim _{n\to \infty }\left|R_{n}\left({\frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1\right)\right|=\left|\int _{0}^{1}{\frac {dx}{{(1+x)}^{s}}}\right|=\left|{\frac {2^{1-s}-1}{1-s}}\right|=\left|{\frac {1-1}{-it}}\right|=0.}$$

Предполагая , что для каждой точки , где , мы можем теперь определить по непрерывности следующим образом: ${\displaystyle \eta (s_{n})=0}$ ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ ${\displaystyle 2^{s_{n}}=2}$ ${\displaystyle \zeta (s_{n})\,}$ $${\displaystyle \zeta (s_{n})=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)}{1-{\frac {2}{2^{s}}}}}=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)-\eta (s_{n})}{{\frac {2}{2^{s_{n}}}}-{\frac {2}{2^{s}}}}}=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)-\eta (s_{n})}{s-s_{n}}}\,{\frac {s-s_{n}}{{\frac {2}{2^{s_{n}}}}-{\frac {2}{2^{s}}}}}={\frac {\eta '(s_{n})}{\log(2)}}.}$$

Очевидная сингулярность дзета в теперь устранена, и доказано, что дзета-функция является аналитической всюду в , за исключением точки , где ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ ${\displaystyle \Re {s}>0}$ ${\displaystyle s=1}$ $${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=\lim _{s\to 1}{\frac {\eta (s)}{\frac {1-2^{1-s}}{s-1}}}={\frac {\eta (1)}{\log 2}}=1.}$$

Интегральные представления

Можно перечислить ряд интегральных формул, включающих функцию эта. Первая из них следует из замены переменной интегрального представления гамма-функции (Абель, 1823), что дает преобразование Меллина , которое может быть выражено различными способами как двойной интеграл (Сондов, 2005). Это справедливо для ${\displaystyle \Re s>0.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s)\eta (s)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{x}{\frac {x^{s-2}}{e^{x}+1}}\,dy\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1}}dr\,dt=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\left(-\log(xy)\right)^{s-2}}{1+xy}}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

Преобразование Коши–Шлемильха (Amdeberhan, Moll et al., 2010) может быть использовано для доказательства этого другого представления, справедливого для . Интегрирование по частям первого интеграла выше в этом разделе дает другой вывод. ${\displaystyle \Re s>-1}$

$${\displaystyle 2^{1-s}\,\Gamma (s+1)\,\eta (s)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2s+1}}{\cosh ^{2}(x^{2})}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{\cosh ^{2}(t)}}\,dt.}$$

Следующая формула, принадлежащая Линделёфу (1905), верна на всей комплексной плоскости, когда главное значение берется для логарифма, неявно подразумеваемого в экспоненте. Это соответствует формуле Йенсена (1895) для всей функции , верна на всей комплексной плоскости и также доказана Линделёфом. "Эта формула, замечательная своей простотой, может быть легко доказана с помощью теоремы Коши, столь важной для суммирования рядов", - писал Йенсен (1895). Аналогичным образом, преобразуя пути интегрирования в контурные интегралы, можно получить другие формулы для функции эта, такие как это обобщение (Милгрэм, 2013), верное для и всех : Нули на отрицательной действительной оси чисто выносятся за скобки, делая (Милгрэм, 2013), чтобы получить формулу, верную для : $${\displaystyle \eta (s)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}}}\,dt.}$$ ${\displaystyle (s-1)\,\zeta (s)}$ $${\displaystyle (s-1)\zeta (s)=2\pi \,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t})^{2}}}\,dt.}$$ ${\displaystyle 0<c<1}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(c+it)^{-s}}{\sin {(\pi (c+it))}}}\,dt.}$$ ${\displaystyle c\to 0^{+}}$ ${\displaystyle \Re s<0}$ $${\displaystyle \eta (s)=-\sin \left({\frac {s\pi }{2}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-s}}{\sinh {(\pi t)}}}\,dt.}$$

Числовые алгоритмы

Большинство методов ускорения ряда , разработанных для чередующихся рядов, можно с пользой применить к оценке функции эта. Один особенно простой, но разумный метод заключается в применении преобразования Эйлера для чередующихся рядов , чтобы получить $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}.}$$

Обратите внимание, что второе, внутреннее суммирование представляет собой прямую разность .

Метод Борвейна

Питер Борвейн использовал приближения, включающие полиномы Чебышева, для создания метода эффективной оценки функции эта. ^[3] Если тогда где для члена ошибки γ _n ограничено $${\displaystyle d_{k}=n\sum _{\ell =0}^{k}{\frac {(n+\ell -1)!4^{\ell }}{(n-\ell )!(2\ell )!}}}$$ $${\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}$$ ${\displaystyle \Re (s)\geq {\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle |\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp \left({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|\right).}$$

Фактор в оценке погрешности указывает на то, что ряд Борвейна сходится довольно быстро с ростом n . ${\displaystyle 3+{\sqrt {8}}\approx 5.8}$

Особые ценности

• η (0) = 1 ⁄ 2 , сумма Абеля ряда Гранди 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·.
• η (−1) = 1 ⁄ 4 , сумма Абеля 1 − 2 + 3 − 4 + · · · .
• Для k целого числа > 1, если B _k является k -ым числом Бернулли , то $${\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}$$

Также:

• ${\displaystyle \eta (1)=\ln 2}$, это знакопеременный гармонический ряд
• ${\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}$ OEIS : A072691
• ${\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}\approx 0.94703283}$
• ${\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}\approx 0.98555109}$
• ${\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}\approx 0.99623300}$
• ${\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}\approx 0.99903951}$
• ${\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}\approx 0.99975769}$

Общая форма для четных положительных целых чисел: $${\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}\left(2^{2n-1}-1\right)} \over {(2n)!}}.}$$

Взяв предел , получаем . ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \eta (\infty )=1}$

Производные

Производная по параметру s равна ${\displaystyle s\neq 1}$ $${\displaystyle \eta '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln n}{n^{s}}}=2^{1-s}\ln(2)\,\zeta (s)+(1-2^{1-s})\,\zeta '(s).}$$ $${\displaystyle \eta '(1)=\ln(2)\,\gamma -\ln(2)^{2}\,2^{-1}}$$

Ссылки

1. «Просмотрщик блокнотов Jupyter».
2. Харди, ГХ (1922). Новое доказательство функционального уравнения для дзета-функции. Matematisk Tidsskrift. B, 71–73. http://www.jstor.org/stable/24529536
3. Борвейн, Питер (2000). "Эффективный алгоритм для дзета-функции Римана". В Théra, Мишель А. (ред.). Конструктивный, экспериментальный и нелинейный анализ (PDF) . Труды конференции, Канадское математическое общество. Том 27. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , от имени Канадского математического общества . стр. 29–34. ISBN 978-0-8218-2167-1. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-26 . Получено 2008-09-20 .

• Дженсен, JLWV (1895). «Замечания родственников по ответам мм. Франеля и Клюйвера». L'Intermediaire des Mathématiciens . II : 346].
• Линделеф, Эрнст (1905). Расчет остаточных веществ и их приложений в соответствии с теорией функций. Готье-Виллар. п. 103.
• Виддер, Дэвид Вернон (1946). Преобразование Лапласа. Princeton University Press. стр. 230.
• Ландау, Эдмунд, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Берлин, 1909, с. 160. (Второе издание Челси, Нью-Йорк, 1953, стр. 160, 933).
• Титчмарш, EC (1986). Теория дзета-функции Римана, второе пересмотренное (Heath-Brown) издание. Oxford University Press.
• Conrey, JB (1989). «Более двух пятых нулей дзета-функции Римана находятся на критической прямой». Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1989 (399): 1–26. doi :10.1515/crll.1989.399.1. S2CID  115910600.
• Кнопп, Конрад (1990) [1922]. Теория и применение бесконечных рядов . Дувр. ISBN 0-486-66165-2.
• Борвейн, П., Эффективный алгоритм для дзета-функции Римана. Архивировано 26 июля 2011 г. на Wayback Machine , Конструктивный экспериментальный и нелинейный анализ, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
• Sondow, Jonathan (2005). «Двойные интегралы для постоянной Эйлера и ln 4/π и аналог формулы Хаджикостаса». Amer. Math. Monthly . 112 : 61–65. arXiv : math.CO/0211148 .Amer. Math. Monthly 112 (2005) 61–65, формула 18.
• Sondow, Jonathan (2003). «Нули переменной дзета-функции на линии R(s)=1». Amer. Math. Monthly . 110 : 435–437. arXiv : math/0209393 .Amer. Math. Monthly, 110 (2003) 435–437.
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2003). «Численная оценка дзета-функции Римана» (PDF) .
• Амдеберхан, Т.; Глассер, М. Л.; Джонс, М. К.; Молл, В. Х.; Поузи, Р.; Варела, Д. (2010). «Преобразование Коши–Шломильха». arXiv : 1004.2445 [math.CA].стр. 12.
• Милгрэм, Майкл С. (2012). «Интегральные и рядовые представления дзета-функции Римана, эта-функции Дирихле и смесь связанных с ними результатов». Журнал математики . 2013 : 1–17. arXiv : 1208.3429 . doi : 10.1155/2013/181724 ..