Переменный полином

В алгебре знакопеременный многочлен — это такой многочлен , что если поменять местами любые две переменные, многочлен меняет знак: ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).}$

Эквивалентно, если переставить переменные, значение полинома изменится на знак перестановки :

${\displaystyle f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

В более общем смысле, полином называется чередующимся , если он меняет знак при переключении любых двух из , оставляя фиксированный. ^[1] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$

Связь с симметричными полиномами

Произведения симметричных и знакопеременных полиномов (от одних и тех же переменных ) ведут себя следующим образом: ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

• произведение двух симметричных многочленов симметрично,
• произведение симметричного многочлена и знакопеременного многочлена является чередующимся, и
• произведение двух знакопеременных многочленов симметрично.

Это в точности таблица сложения для четности , где «симметричный» соответствует «четному», а «чередующийся» соответствует «нечетному». Таким образом, прямая сумма пространств симметричных и знакопеременных многочленов образует супералгебру (а - градуированную алгебру ), где симметричные многочлены являются четной частью, а знакопеременные многочлены - нечетной частью. Эта градуировка не связана с градуировкой полиномов по степени . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$

В частности, знакопеременные многочлены образуют модуль над алгеброй симметричных многочленов (нечетная часть супералгебры является модулем над четной частью); на самом деле это свободный модуль ранга 1 с полиномом Вандермонда от n переменных в качестве генератора.

Если характеристика кольца коэффициентов равна 2, между этими двумя понятиями нет разницы: знакопеременные многочлены - это в точности симметричные многочлены.

Полином Вандермонда

Основным переменным полиномом является полином Вандермонда :

${\displaystyle v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Очевидно, что это чередование, поскольку переключение двух переменных меняет знак одного члена и не меняет другие. ^[2]

Перемежающиеся полиномы - это в точности полином Вандермонда, умноженный на симметричный полином: где симметрично. Это потому что: ${\displaystyle a=v_{n}\cdot s}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle v_{n}}$является фактором каждого знакопеременного многочлена: является фактором каждого знакопеременного многочлена, как если бы многочлен равен нулю (поскольку их переключение не меняет полином, мы получаем ${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),}$

это фактор), и, таким образом, это фактор. ${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$ ${\displaystyle v_{n}}$

• знакопеременный полином, умноженный на симметричный многочлен, является знакопеременным полиномом; таким образом, все кратные являются знакопеременными полиномами ${\displaystyle v_{n}}$

И наоборот, отношение двух знакопеременных многочленов является симметричной функцией, возможно, рациональной (не обязательно многочленом), хотя отношение знакопеременного многочлена к многочлену Вандермонда является многочленом. Полиномы Шура определяются таким образом как знакопеременный полином, разделенный на полином Вандермонда.

Кольцевая структура

Таким образом, обозначая кольцо симметричных многочленов через Λ _n , кольцо симметричных и знакопеременных многочленов есть , или точнее , где – симметричный многочлен, дискриминант . ${\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]}$ ${\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle }$ ${\displaystyle \Delta =v_{n}^{2}}$

То есть кольцо симметричных и знакопеременных многочленов является квадратичным расширением кольца симметричных многочленов, к которому присоединен квадратный корень из дискриминанта.

Альтернативно это:

${\displaystyle R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .}$

Если 2 не обратимо, ситуация несколько иная, и нужно использовать другой полином и получить другое соотношение; см. Романьи. ${\displaystyle W_{n}}$

Теория представлений

С точки зрения теории представлений , симметричные и знакопеременные многочлены являются подпредставлениями действия симметрической группы на n букв на кольце многочленов от n переменных. (Формально, симметричная группа действует на n букв и, таким образом, действует на производные объекты, особенно на свободные объекты на n буквах, такие как кольцо многочленов.)

Симметричная группа имеет два одномерных представления: тривиальное представление и знаковое представление. Симметричные полиномы представляют собой тривиальное представление, а знакопеременные полиномы представляют собой знаковое представление. Формально скалярная оболочка любого симметричного (соответственно знакопеременного) многочлена является тривиальным (соответственно знаком) представлением симметрической группы, и умножение полиномов тензорит представления.

В характеристике 2 это не отдельные представления, и анализ более сложен.

Если , существуют и другие подпредставления действия симметрической группы на кольце полиномов, как обсуждается в теории представлений симметрической группы . ${\displaystyle n>2}$

Нестабильный

Переменные многочлены - нестабильное явление: кольцо симметричных многочленов от n переменных может быть получено из кольца симметричных многочленов от произвольного числа переменных, оценивая все указанные выше переменные до нуля: таким образом, симметричные многочлены стабильны или определены совместимым образом. Однако это не относится к знакопеременным полиномам, в частности к полиному Вандермонда . ${\displaystyle x_{n}}$

Смотрите также

• Симметричный полином
• класс Эйлера

Примечания

1. Джамбруно и Зайцев (2005), с. 12.
2. Скорее, он только переставляет другие члены: при , переключение и меняется на , и меняется на , но не меняет их знак. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{3}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{3}-x_{2})}$

Рекомендации

• Джамбруно, Антонио; Зайцев, Михаил (2005). Полиномиальные тождества и асимптотические методы. Том. 122. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3829-7.
• Фундаментальная теорема о знакопеременных функциях, Матье Романьи, 15 сентября 2005 г.