Угол, созданный путем применения золотого сечения к кругу
В геометрии золотой угол — это меньший из двух углов , образованных путем сечения окружности в соответствии с золотым сечением ; то есть на две дуги так, чтобы отношение длины меньшей дуги к длине большей дуги было таким же, как отношение длины большей дуги к полной окружности круга.
Алгебраически, пусть a+b — длина окружности , разделенной на более длинную дугу длины a и меньшую дугу длины b такую, что
Золотой угол — это угол , образованный меньшей дугой длиной b . Его размеры составляют приблизительно 137,5077640500378546463487 ...° OEIS : A096627 или в радианах 2,39996322972865332... OEIS : A131988 .
Название происходит от связи золотого угла с золотым сечением φ ; точное значение золотого угла
или
где эквивалентности следуют из известных алгебраических свойств золотого сечения.
Золотое сечение равно φ = a / b с учетом вышеуказанных условий.
Пусть ƒ будет частью окружности, образуемой золотым углом, или, что то же самое, золотым углом, разделенным на угловое измерение круга.
Но с тех пор
следует, что
Это эквивалентно тому, что золотые углы φ 2 могут вписаться в круг.
Следовательно, доля круга, занимаемая золотым углом, равна
Таким образом, золотой угол g можно численно аппроксимировать в градусах следующим образом:
или в радианах как:
Золотой угол в природе
Золотой угол играет значительную роль в теории филлотаксиса ; например, золотой угол — это угол, разделяющий цветки подсолнуха . [2] Анализ рисунка показывает, что он очень чувствителен к углу, разделяющему отдельные зачатки , причем угол Фибоначчи дает парастихию с оптимальной плотностью упаковки. [3]
Математическое моделирование вероятного физического механизма развития цветков показало закономерность, возникающую спонтанно в результате решения нелинейного уравнения в частных производных на плоскости. [4] [5]
^ Фрейтас, Педро Дж. (25 января 2021 г.). «Золотой угол невозможно построить». arXiv : 2101.10818v1 . Бибкод : 2021arXiv210110818F. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
^ Дженнифер Чу (12 января 2011 г.). "А вот и Солнце". Новости МТИ . Проверено 22 апреля 2016 г.
^ Ридли, JN (февраль 1982 г.). «Эффективность упаковки головок подсолнечника». Математические биологические науки . 58 (1): 129–139. дои : 10.1016/0025-5564(82)90056-6.
^ Пеннибакер, Мэтью; Ньюэлл, Алан К. (13 июня 2013 г.). «Филлотаксис, толкающие фронты, образующие узор, и оптимальная упаковка» (PDF) . Письма о физических отзывах . 110 (24): 248104. arXiv : 1301.4190 . Бибкод : 2013PhRvL.110x8104P. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.248104 . ISSN 0031-9007. ПМИД 25165965.
^ «Подсолнухи и Фибоначчи: модели эффективности». Это математика . 05.06.2014 . Проверено 23 мая 2020 г.
Фогель, Х (1979). «Лучший способ сделать головку подсолнуха». Математические биологические науки . 44 (3–4): 179–189. дои : 10.1016/0025-5564(79)90080-4.