Золотой ромб

Ромб с диагоналями в золотом сечении

Золотой ромб.

В геометрии золотой ромб — это ромб , диагонали которого находятся в золотом сечении : ^[1]

${\displaystyle {D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034}$

Эквивалентно, это параллелограмм Вариньона , образованный из средних точек ребер золотого прямоугольника . ^[1] Ромбы с этой формой образуют грани нескольких известных многогранников. Золотой ромб следует отличать от двух ромбов мозаики Пенроуза , которые оба связаны другими способами с золотым сечением, но имеют другие формы, чем золотой ромб. ^[2]

Углы

(См. характеристики и основные свойства общего ромба для свойств углов.)

Внутренние дополнительные углы золотого ромба: ^[3]

• Острый угол:  ; ${\displaystyle \alpha =2\arctan {1 \over \varphi }}$

используя формулу сложения арктангенса (см. обратные тригонометрические функции ):

${\displaystyle \alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.}$

• Тупой угол: ${\displaystyle \beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },}$

который также является двугранным углом додекаэдра . [ ^4]

Примечание: «анекдотическое» равенство: ${\displaystyle \pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3~.}$

Край и диагонали

Используя закон параллелограмма (см. основные свойства общего ромба ): ^[5]

Длина ребра золотого ромба по диагонали равна: ${\displaystyle d}$

• ${\displaystyle a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0.95106~d~.~}$Следовательно:

Длины диагоналей золотого ромба в пересчете на длину ребра составляют: ^[3] ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.}$

• ${\displaystyle D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.}$

Область

• Используя формулу площади общего ромба через длины его диагоналей и  : ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d}$

Площадь золотого ромба по длине его диагонали равна: ^[6] ${\displaystyle d}$

${\displaystyle A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.}$

• Используя формулу площади общего ромба через длину его стороны  : ${\displaystyle a}$

Площадь золотого ромба по длине его ребра равна: ^{[3] [6]} ${\displaystyle a}$

${\displaystyle A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.}$

Примечание: , следовательно: ${\displaystyle \alpha +\beta =\pi }$ ${\displaystyle \sin \alpha =\sin \beta ~.}$

Как грани многогранников

Несколько известных многогранников имеют золотые ромбы в качестве своих граней. Они включают два золотых ромбоэдра (с шестью гранями каждый), додекаэдр Билински (с 12 гранями), ромбический икосаэдр (с 20 гранями), ромбический триаконтаэдр (с 30 гранями) и невыпуклый ромбический гексаконтаэдр (с 60 гранями). Первые пять из них являются единственными выпуклыми многогранниками с золотыми ромбическими гранями, но существует бесконечно много невыпуклых многогранников, имеющих эту форму для всех своих граней. ^[7]

• 
  Острый золотой ромбоэдр
• 
  Тупоугольный золотой ромбоэдр
• 
  Додекаэдр Билински
• 
  ромбический икосаэдр
• 
  ромбический триаконтаэдр
• 
  ромбический шестидесятигранник

Смотрите также

• Золотой треугольник

Ссылки

1. Senechal, Marjorie (2006), «Дональд и золотые ромбоэдры», в Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (ред.), The Coxeter Legacy , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, стр. 159–177, ISBN 0-8218-3722-2, МР  2209027
2. Например, неправильное отождествление золотого ромба и одного из ромбов Пенроуза можно найти в книге Ливио, Марио (2002), Золотое сечение: История числа Фи, самого удивительного числа в мире , Нью-Йорк: Broadway Books, стр. 206.
3. Огава, Тору (январь 1987), «Симметрия трехмерных квазикристаллов», Materials Science Forum , 22–24: 187–200, doi :10.4028/www.scientific.net/msf.22-24.187, S2CID  137677876. См. в частности таблицу 1, стр. 188.
4. Gevay, G. (июнь 1993), «Неметаллические квазикристаллы: гипотеза или реальность?», Phase Transitions , 44 (1–3): 47–50, Bibcode : 1993PhaTr..44...47G, doi : 10.1080/01411599308210255
5. Вайсштейн, Эрик В. «Ромб». MathWorld .
6. Вайсштейн, Эрик В. «Золотой ромб». Математический мир .
7. Грюнбаум, Бранко (2010), «Додекаэдр Билински и различные параллелоэдры, зоноэдры, моноэдры, изозоноэдры и другие эдры» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 32 (4): 5–15, doi :10.1007/s00283-010-9138-7, hdl : 1773/15593 , MR  2747698, S2CID  120403108, архивировано из оригинала (PDF) 2015-04-02.