Игра в шоке

Игра Шоке — топологическая игра, названная в честь Гюстава Шоке , который в 1969 году первым исследовал такие игры. ^[1] Близкая к ней игра известна как сильная игра Шоке .

Пусть будет непустым топологическим пространством . Игра Шоке , , определяется следующим образом: Игрок I выбирает , непустое открытое подмножество , затем Игрок II выбирает , непустое открытое подмножество , затем Игрок I выбирает , непустое открытое подмножество и т. д. Игроки продолжают этот процесс, выстраивая последовательность . Если , то Игрок I выигрывает, в противном случае выигрывает Игрок II. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle U_{0}\supseteq V_{0}\supseteq U_{1}\supseteq V_{1}\supseteq U_{2}...}$ ${\displaystyle \bigcap \limits _{i=0}^{\infty }U_{i}=\emptyset }$

Джон К. Окстоби доказал , что непустое топологическое пространство является пространством Бэра тогда и только тогда, когда у Игрока I нет выигрышной стратегии . Непустое топологическое пространство , в котором у Игрока II есть выигрышная стратегия, называется пространством Шоке . (Обратите внимание, что возможно, что ни у одного из игроков нет выигрышной стратегии.) Таким образом, каждое пространство Шоке является пространством Бэра. С другой стороны, существуют пространства Бэра (даже сепарабельные метризуемые ), которые не являются пространствами Шоке, поэтому обратное утверждение неверно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Сильная игра Шоке , , определяется аналогично, за исключением того, что Игрок I выбирает , затем Игрок II выбирает , затем Игрок I выбирает и т. д., так что для всех . Топологическое пространство , в котором у Игрока II есть выигрышная стратегия для , называется сильным пространством Шоке . Каждое сильное пространство Шоке является пространством Шоке, хотя обратное не выполняется. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G^{s}(X)}$ ${\displaystyle (x_{0},U_{0})}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle (x_{1},U_{1})}$ ${\displaystyle x_{i}\in U_{i},V_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G^{s}(X)}$

Все непустые полные метрические пространства и компактные пространства T 2 являются сильными пространствами Шоке. (В первом случае Игрок II, учитывая , выбирает такое, что и . Тогда последовательность для всех .) Любое подмножество сильного пространства Шоке, являющееся множеством, является сильным пространствами Шоке. Метризуемые пространства полностью метризуемы тогда и только тогда, когда они являются сильными пространствами Шоке. ^{[2] [3]} ${\displaystyle (x_{i},U_{i})}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} (V_{i})<1/i}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} (V_{i})\subseteq V_{i-1}}$ ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}\to x\in V_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$

Ссылки

1. Шоке, Гюстав (1969). Лекции по анализу: Интеграция и топологические векторные пространства. WA Benjamin. ISBN 9780805369601.
2. Беккер, Ховард; Кехрис, А.С. (1996). Описательная теория множеств польских групповых действий. Cambridge University Press. стр. 59. ISBN 9780521576055.
3. Кехрис, Александр (2012). Классическая описательная теория множеств. Springer Science & Business Media. С. 43–45. ISBN 9781461241904.