Дробный идеал

В математике , в частности коммутативной алгебре , понятие дробного идеала вводится в контексте областей целостности и особенно плодотворно при изучении областей Дедекинда . В некотором смысле дробные идеалы области целостности подобны идеалам , в которых допускаются знаменатели . В контекстах, где обсуждаются как дробные идеалы, так и обычные кольцевые идеалы , последние иногда для ясности называют интегральными идеалами .

Определение и основные результаты

Пусть будет областью целостности , а ее полем дробей . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}$

Дробный идеал — это -подмодуль модуля , такой что существует ненулевой такой, что . Элемент можно рассматривать как очищающий знаменатели в , отсюда и название дробный идеал. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle rI\subseteq R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$

Главные дробные идеалы — это те -подмодули модуля , которые порождены одним ненулевым элементом модуля . Дробный идеал содержится в тогда и только тогда, когда он является (целым) идеалом модуля . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Дробный идеал называется обратимым, если существует другой дробный идеал такой, что ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle IJ=R}$

где

${\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}}$

является произведением двух дробных идеалов.

В этом случае дробный идеал определяется однозначно и равен обобщенному идеальному частному ${\displaystyle J}$

${\displaystyle (R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

Множество обратимых дробных идеалов образует абелеву группу относительно указанного выше произведения, где единицей является сам единичный идеал . Эта группа называется группой дробных идеалов . Главные дробные идеалы образуют подгруппу . (Ненулевой) дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он проективен как -модуль . Геометрически это означает, что обратимый дробный идеал можно интерпретировать как векторное расслоение ранга 1 над аффинной схемой . ${\displaystyle (1)=R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(R)}$

Каждый конечно порождённый R -подмодуль K является дробным идеалом, а если K нётеров, то это все дробные идеалы K. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Домены Дедекинда

В дедекиндовых областях ситуация гораздо проще. В частности, любой ненулевой дробный идеал обратим. Фактически, это свойство характеризует дедекиндовы области:

Целостная область является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда каждый ненулевой дробный идеал обратим.

Множество дробных идеалов над областью Дедекинда обозначается . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Div}}(R)}$

Ее факторгруппа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов является важным инвариантом дедекиндовой области, называемой группой классов идеалов .

Числовые поля

Для специального случая числовых полей (таких как , где = exp(2π i/n) ) существует связанное кольцо , обозначаемое как кольцо целых чисел . Например, для свободного от квадратов и конгруэнтного . Ключевым свойством этих колец является то, что они являются дедекиндовыми областями. Следовательно, теория дробных идеалов может быть описана для колец целых чисел числовых полей. Фактически, теория полей классов является изучением таких групп колец классов. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}\,]}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Ассоциированные структуры

Для кольца целых чисел ^{[1] стр. 2} числового поля группа дробных идеалов образует группу, обозначаемую , а подгруппа главных дробных идеалов обозначается . Группа классов идеалов — это группа дробных идеалов по модулю главных дробных идеалов, поэтому ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{K}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}}$

и его номер класса — это порядок группы, . В некотором смысле номер класса — это мера того, насколько «далеко» кольцо целых чисел от того, чтобы быть уникальной факторизационной областью (UFD). Это происходит, потому что тогда и только тогда, когда является UFD. ${\displaystyle h_{K}}$ ${\displaystyle h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle h_{K}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Точная последовательность для идеальных групп классов

Существует точная последовательность.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0}$

связанный с каждым числовым полем.

Структурная теорема для дробных идеалов

Одна из важных структурных теорем для дробных идеалов числового поля утверждает, что каждый дробный идеал разлагается единственным образом с точностью до порядка как ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}}$

для главных идеалов

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$.

в спектре . Например, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle {\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}}$факторы как ${\displaystyle (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}}$

Кроме того, поскольку дробные идеалы над числовым полем все конечно порождены, мы можем очистить знаменатели, умножив на некоторые, чтобы получить идеал . Следовательно ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle I={\frac {1}{\alpha }}J}$

Другая полезная структурная теорема заключается в том, что целочисленные дробные идеалы порождаются максимум 2 элементами. Мы называем дробный идеал, который является подмножеством целочисленного . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Примеры

• ${\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }$является дробным идеалом над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Для идеального разделения в виде ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle (5)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle (2-i)(2+i)}$
• Ведь у нас есть факторизация . Это потому, что если мы ее умножим, то получим ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}$ ${\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}$

Поскольку удовлетворяет , наша факторизация имеет смысл. ${\displaystyle \zeta _{3}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}$

• Ибо мы можем умножить дробные идеалы ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

${\displaystyle I=(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}})}$и ${\displaystyle J=(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}})}$

чтобы получить идеал

${\displaystyle IJ=({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}).}$

Дивизионный идеал

Пусть обозначает пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал . ${\displaystyle {\tilde {I}}}$ ${\displaystyle I}$

Эквивалентно,

${\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}$

где как и выше

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

Если , то I называется дивизориальным . ^[2] Другими словами, дивизориальный идеал — это ненулевое пересечение некоторого непустого множества дробных главных идеалов. ${\displaystyle {\tilde {I}}=I}$

Если I — дивизориален, а J — ненулевой дробный идеал, то ( I  : J ) — дивизориален.

Пусть R — локальная область Крулля (например, нётерова целозамкнутая локальная область). Тогда R — кольцо дискретного нормирования тогда и только тогда, когда максимальный идеал кольца R является дивизориальным. ^[3]

Целостная область, которая удовлетворяет условиям возрастающей цепи на дивизориальных идеалах, называется областью Мори . ^[4]

Смотрите также

• Делительный пучок
• Теорема Дедекинда-Куммера

Примечания

1. Чайлдресс, Нэнси (2009). Теория полей классов. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-72490-4. OCLC  310352143.
2. Бурбаки 1998, §VII.1
3. Бурбаки 1998, Гл. VII, § 1, н. 7. Предложение 11.
4. Баруччи 2000.

Ссылки

• Баруччи, Валентина (2000), «Области Мори», в Глаз, Сара ; Чепмен, Скотт Т. (ред.), Ненётерова коммутативная теория колец , Математика и ее приложения, т. 520, Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., стр. 57–73, ISBN 978-0-7923-6492-4, г-н  1858157
• Стайн, Уильям, Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел (PDF)
• Глава 9 Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1994), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Глава VII.1 Бурбаки, Николя (1998), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Springer Verlag , ISBN 3-540-64239-0
• Глава 11 книги Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, МР  1011461