Идеальный треугольник

Тип гиперболического треугольника

Три идеальных треугольника в модели диска Пуанкаре образуют идеальный пятиугольник.

Два идеальных треугольника в модели полуплоскости Пуанкаре

В гиперболической геометрии идеальный треугольник — это гиперболический треугольник , все три вершины которого являются идеальными точками . Идеальные треугольники также иногда называют тройными асимптотическими треугольниками или тройными асимптотическими треугольниками . Вершины иногда называют идеальными вершинами . Все идеальные треугольники конгруэнтны .

Характеристики

Идеальные треугольники обладают следующими свойствами:

• Все идеальные треугольники конгруэнтны друг другу.
• Все внутренние углы идеального треугольника равны нулю.
• Идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Идеальный треугольник — это самый большой треугольник, возможный в гиперболической геометрии.

В стандартной гиперболической плоскости (поверхность, где постоянная гауссова кривизна равна −1) мы также обладаем следующими свойствами:

• Любой идеальный треугольник имеет площадь π. ^[1]

Расстояния в идеальном треугольнике

Размеры, относящиеся к идеальному треугольнику и вписанной в него окружности, изображенные в модели Бельтрами – Клейна (слева) и модели диска Пуанкаре (справа).

• Вписанная в идеальный треугольник окружность имеет радиус

${\displaystyle r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}=2\operatorname {artanh} (2-{\sqrt {3}})=}$ ${\displaystyle =\operatorname {arsinh} {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}=\operatorname {arcosh} {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\approx 0.549}$. ^[2]

Расстояние от любой точки треугольника до ближайшей стороны треугольника меньше или равно радиусу r, указанному выше, с равенством только для центра вписанной окружности.

• Вписанная окружность пересекается с треугольником в трех точках касания, образуя равносторонний контактный треугольник с длиной стороны ^[2], где – золотое сечение . ${\displaystyle d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0.962}$ ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Окружность радиуса d вокруг точки внутри треугольника встретит или пересечет как минимум две стороны треугольника.

• Расстояние от любой точки на стороне треугольника до другой стороны треугольника равно или меньше , причём равенство только для описанных выше точек касания. ${\displaystyle a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881}$

a также является высотой треугольника Швейкарта .

Если кривизна повсюду равна − K , а не −1, приведенные выше площади следует умножить на 1/ K , а длины и расстояния следует умножить на 1/ √ K . ^{[ нужна цитата ]}

Состояние тонкого треугольника

Условие δ-тонкого треугольника, используемое в δ-гиперболическом пространстве.

Поскольку идеальный треугольник является максимально возможным треугольником в гиперболической геометрии, приведенные выше меры являются максимально возможными для любого гиперболического треугольника , этот факт важен при изучении δ-гиперболического пространства .

Модели

В дисковой модели Пуанкаре гиперболической плоскости идеальный треугольник ограничен тремя окружностями, пересекающими граничную окружность под прямым углом.

В модели полуплоскости Пуанкаре идеальный треугольник моделируется арбелосом , фигурой между тремя взаимно касающимися полукругами .

В модели гиперболической плоскости Бельтрами-Клейна идеальный треугольник моделируется евклидовым треугольником, описанным граничной окружностью. Обратите внимание, что в модели Бельтрами-Клейна углы в вершинах идеального треугольника не равны нулю, поскольку модель Бельтрами-Клейна, в отличие от моделей диска Пуанкаре и полуплоскости, не конформна , т.е. не сохраняет углы.

Группа настоящих идеальных треугольников

Группа реальных идеальных треугольников — это группа отражений , порожденная отражениями гиперболической плоскости через стороны идеального треугольника. Алгебраически он изоморфен свободному произведению трех групп второго порядка (Шварц 2001).

Рекомендации

1. Терстон, Дилан (осень 2012 г.). «274 кривые на поверхностях, лекция 5» (PDF) . Проверено 23 июля 2013 г.
2. «Каков радиус вписанной окружности идеального треугольника» . Проверено 9 декабря 2015 г.

Библиография

• Шварц, Ричард Эван (2001). «Группы идеальных треугольников, вдавленные торы и численный анализ». Анналы математики . Сер. 2. 153 (3): 533–598. arXiv : math.DG/0105264 . дои : 10.2307/2661362. JSTOR  2661362. MR  1836282.