Идонеальное число

В математике идонеальные числа Эйлера (также называемые подходящими числами или удобными числами ) — это положительные целые числа D , такие, что любое целое число, выражаемое только одним способом как x ² ± Dy ² (где x ² взаимно просто с Dy ² ), является степенью простого числа или удвоенной степенью простого числа. В частности, число, которое имеет два различных представления в виде суммы двух квадратов, является составным . Каждое идонеальное число порождает множество, содержащее бесконечно много простых чисел и не содержащее бесконечно много других простых чисел.

Определение

Положительное целое число n является идонеальным тогда и только тогда, когда его нельзя записать в виде ab + bc + ac для различных положительных целых чисел a, b и c . ^[1]

Достаточно рассмотреть множество ${n + k2 | 3. k2 \leq n \land gcd (n, k) = 1} ;$ $если$ все эти числа имеют вид $p$ , $p2$ , $2 \cdot p$ или 2s для некоторого целого числа s ^, где $p$ $—$ $простое$ число, то $n$ — идонеальное число. ^[2]

Предположительно полный список

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли 65, 66 или 67 идонеальных чисел?

(еще нерешенные проблемы по математике)

65 идонеальных чисел, найденных Леонардом Эйлером и Карлом Фридрихом Гауссом и предположительно являющихся единственными такими числами, следующие:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 и 1848 (последовательность A000926 в OEIS ).

Результаты Питера Дж. Вайнбергера от 1973 года ^[3] подразумевают, что существует не более двух других идонеальных чисел, и что приведенный выше список является полным, если верна обобщенная гипотеза Римана (некоторые источники ошибочно утверждают, что результаты Вайнбергера подразумевают, что существует не более одного другого идонеального числа). ^[4]

Смотрите также

Список нерешенных задач по математике

Примечания

^ Эрик Рейнс, OEIS : A000926 Комментарии к A000926, декабрь 2007 г.
^ Робертс, Джо: Притягательность целых чисел. Математическая ассоциация Америки, 1992
^ Acta Arith., 22 (1973), с. 117-124
^ Кани, Эрнст (2011). «Идонеальные числа и некоторые обобщения» (PDF) . Анналы математических наук Квебека . 35 (2). Следствие 23, замечание 24.

Ссылки

З.И. Боревич и И.Р. Шафаревич, Теория чисел , Academic Press, Нью-Йорк, 1966, стр. 425–430.
DA Cox (1989). Простые числа вида x ² + ny ² . Wiley-Interscience. стр. 61. ISBN 0-471-50654-0.
Л. Эйлер, «Иллюстрация парадокса об идонеальных, или подходящих, числах», 1806 г.
Г. Фрей, Удобные числа Эйлера, Math. Intell. Vol. 7 No. 3 (1985), 55–58 и 64.
ОЙ. Келлер, Ueber die "Numeri idonei" фон Эйлера, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Математика. Откр. 85м:11019]
GB Mathews, Теория чисел , Челси, без даты, стр. 263.
П. Рибенбойм , «Galimatias Arithmeticae», в журнале Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA или «Мои числа, мои друзья», глава 11 Springer-Verlag 2000 NY
Дж. Стейниг, Об идейных числах Эйлера, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
А. Вайль , Теория чисел: подход через историю; от Хаммурапи до Лежандра , Биркхаузер, Бостон, 1984; см. стр. 188.
П. Вайнбергер, Экспоненты групп классов комплексных квадратичных полей, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
Эрнст Кани, Идонеальные числа и некоторые обобщения, Ann. Sci. Math. Québec 35, № 2, (2011), 197-227.

Внешние ссылки

К.С. Браун, Mathpages, Numeri Idonei
М. Вальдшмидт, Открытые диофантовые задачи
Вайсштейн, Эрик В. «Идонейское число». MathWorld .