Матрица единиц

Матрица, в которой каждый элемент равен единице

В математике матрица единиц или матрица, состоящая из всех единиц, — это матрица , в которой каждый элемент равен единице . ^[1] Например:

${\displaystyle J_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad J_{3}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{2,5}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad J_{1,2}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}}.\quad }$

В некоторых источниках матрицу, состоящую из всех единиц , называют единичной матрицей ^[2], но этот термин может также относиться к единичной матрице , другому типу матриц.

Вектор из единиц или вектор, состоящий из одних единиц, представляет собой матрицу из единиц, имеющую форму строки или столбца ; его не следует путать с единичными векторами .

Характеристики

Для матрицы J размером n  ×  n единиц справедливы следующие свойства:

• След J равен n , ^[3] а определитель равен 0 при n ≥ 2, но равен 1, если n = 1 .
• Характеристический многочлен J равен .​ ${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$
• Минимальный многочлен J равен .​ ${\displaystyle x^{2}-nx}$
• Ранг J равен 1, а собственные значения равны n с кратностью 1 и 0 с кратностью n − 1. [ ^4]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$для ^[5] ${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$
• J — нейтральный элемент произведения Адамара . ^[6]

Когда J рассматривается как матрица над действительными числами , справедливы следующие дополнительные свойства:

• J — положительно полуопределенная матрица .
• Матрица идемпотентна . [ ^5] ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$
• Матричная экспонента J равна​ ${\displaystyle \exp(\mu J)=I+{\frac {e^{\mu n}-1}{n}}J}$

Приложения

Матрица из всех единиц возникает в математической области комбинаторики , в частности, в связи с применением алгебраических методов к теории графов . Например, если A — матрица смежности n -вершинного неориентированного графа G , а J — матрица из всех единиц той же размерности, то G является регулярным графом тогда и только тогда, когда AJ  =  JA . ^[7] В качестве второго примера матрица появляется в некоторых линейно-алгебраических доказательствах формулы Кэли , которая дает число остовных деревьев полного графа , используя теорему о матричном дереве .

Логические квадратные корни матрицы единиц, логические матрицы , квадрат которых является матрицей единиц, могут быть использованы для характеристики центральных группоидов . Центральные группоиды являются алгебраическими структурами, которые подчиняются тождеству . Конечные центральные группоиды имеют квадратное число элементов, и соответствующие логические матрицы существуют только для этих измерений. ^[8] ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b}$

Смотрите также

• Нулевая матрица , матрица, где все элементы равны нулю.
• Матрица с одним входом

Ссылки

1. Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2012), "0.2.8 Матрица и вектор, состоящие из одних единиц", Matrix Analysis, Cambridge University Press, стр. 8, ISBN 9780521839402.
2. Вайсштейн, Эрик В. , «Единичная матрица», MathWorld
3. Стэнли, Ричард П. (2013), Алгебраическая комбинаторика: прогулки, деревья, таблицы и многое другое, Springer, Лемма 1.4, стр. 4, ISBN 9781461469988.
4. Стэнли (2013); Хорн и Джонсон (2012), стр. 65.
5. Timm, Neil H. (2002), Прикладной многомерный анализ, Springer тексты по статистике, Springer, стр. 30, ISBN 9780387227719.
6. Смит, Джонатан Д. Х. (2011), Введение в абстрактную алгебру, CRC Press, стр. 77, ISBN 9781420063721.
7. Годсил, Крис (1993), Алгебраическая комбинаторика, CRC Press, Лемма 4.1, стр. 25, ISBN 9780412041310.
8. Кнут, Дональд Э. (1970), «Заметки о центральных группоидах», Журнал комбинаторной теории , 8 : 376–390, doi :10.1016/S0021-9800(70)80032-1, MR  0259000