Изменение основы

Изменение координат в линейной алгебре

В математике упорядоченный базис векторного пространства конечной размерности n позволяет однозначно представить любой элемент векторного пространства координатным вектором , который является последовательностью n скаляров, называемых координатами . Если рассматриваются два различных базиса, то координатный вектор, представляющий вектор v на одном базисе, в общем случае отличается от координатного вектора, представляющего v на другом базисе. Изменение базиса состоит в преобразовании каждого утверждения, выраженного в терминах координат относительно одного базиса, в утверждение, выраженное в терминах координат относительно другого базиса. ^{[1] [2] [3]}

Такое преобразование происходит из формулы изменения базиса , которая выражает координаты относительно одного базиса через координаты относительно другого базиса. Используя матрицы , эту формулу можно записать

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A\,\mathbf {x} _{\mathrm {new} },}$

где «старый» и «новый» относятся соответственно к изначально определенному базису и другому базису и являются векторами-столбцами координат одного и того же вектора на двух базисах. ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }}$ ${\displaystyle A}$— это матрица смены базиса (также называемая матрицей перехода ), которая представляет собой матрицу, столбцы которой являются координатами новых базисных векторов на старом базисе.

Изменение базиса иногда называют изменением координат , хотя оно исключает многие преобразования координат . Для приложений в физике и особенно в механике изменение базиса часто включает преобразование ортонормированного базиса , понимаемое как вращение в физическом пространстве , таким образом исключая трансляции . В этой статье рассматриваются в основном конечномерные векторные пространства. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.

Изменение базовой формулы

Пусть — базис конечномерного векторного пространства V над полем F. ^[a ] ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$

Для j = 1, ..., n можно определить вектор w _j по его координатам над ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }\colon }$

${\displaystyle w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.}$

Позволять

${\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}}$

будет матрицей, j -й столбец которой образован координатами w _j . (Здесь и далее индекс i всегда относится к строкам матрицы A и , тогда как индекс j всегда относится к столбцам матрицы A и , такое соглашение полезно для избежания ошибок в явных вычислениях.) ${\displaystyle v_{i},}$ ${\displaystyle w_{j};}$

Задание одного имеет, что является базисом V тогда и только тогда, когда матрица A обратима , или, что эквивалентно, если она имеет ненулевой определитель . В этом случае говорят, что A является матрицей изменения базиса от базиса к базису ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n}),}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$

Пусть задан вектор с координатами над и его координатами над , то есть ${\displaystyle z\in V,}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} },}$ ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} };}$

${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.}$

(Можно было бы взять один и тот же индекс суммирования для двух сумм, но систематический выбор индексов i для старого базиса и j для нового делает последующие формулы более понятными и помогает избежать ошибок в доказательствах и явных вычислениях.)

Формула смены базиса выражает координаты над старым базисом через координаты над новым базисом. С указанными выше обозначениями это

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

В терминах матриц формула изменения базиса имеет вид

${\displaystyle \mathbf {x} =A\,\mathbf {y} ,}$

где и — векторы-столбцы координат z над и соответственно. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} },}$

Доказательство: Используя приведенное выше определение матрицы изменения базиса, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}}$

Так как формула смены базиса вытекает из единственности разложения вектора по базису. ${\displaystyle z=\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},}$

Пример

Рассмотрим евклидово векторное пространство и базис, состоящий из векторов и Если повернуть их на угол t , то получим новый базис, образованный и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle v_{1}=(1,0)}$ ${\displaystyle v_{2}=(0,1).}$ ${\displaystyle w_{1}=(\cos t,\sin t)}$ ${\displaystyle w_{2}=(-\sin t,\cos t).}$

Итак, матрица изменения базиса имеет вид ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.}$

Формула смены базиса утверждает, что если — новые координаты вектора , то имеем ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2}),}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.}$

То есть,

${\displaystyle x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{and}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.}$

Это можно проверить, написав

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)v_{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)v_{2}\\&=y_{1}(\cos(t)v_{1}+\sin(t)v_{2})+y_{2}(-\sin(t)v_{1}+\cos(t)v_{2})\\&=y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}.\end{aligned}}}$

В терминах линейных карт

Обычно матрица представляет собой линейную карту , а произведение матрицы и вектора-столбца представляет собой применение функции соответствующей линейной карты к вектору, координаты которого образуют вектор-столбец. Формула смены базиса является частным случаем этого общего принципа, хотя это не сразу ясно из ее определения и доказательства.

Когда говорят, что матрица представляет собой линейное отображение, неявно ссылаются на базисы подразумеваемых векторных пространств и на тот факт, что выбор базиса индуцирует изоморфизм между векторным пространством и F ⁿ , где F — поле скаляров. Когда для каждого векторного пространства рассматривается только один базис, стоит оставить этот изоморфизм неявным и работать до изоморфизма. Поскольку здесь рассматриваются несколько базисов одного и того же векторного пространства, требуется более точная формулировка.

Пусть F — поле , множество n -кортежей — это F -векторное пространство, сложение и скалярное умножение которого определяются покомпонентно. Его стандартный базис — это базис, имеющий в качестве своего i -го элемента кортеж со всеми компонентами, равными 0, за исключением i- го, который равен 1 . ${\displaystyle F^{n}}$

Базис F - векторного пространства V определяет линейный изоморфизм следующим образом: ${\displaystyle B=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle \phi \colon F^{n}\to V}$

${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.}$

Наоборот, такой линейный изоморфизм определяет базис, который является образом стандартного базиса ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F^{n}.}$

Пусть будет "старым базисом" изменения базиса и связанным изоморфизмом. Учитывая матрицу изменения базиса A , можно было бы считать ее матрицей эндоморфизма Наконец , определим ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle \psi _{A}}$ ${\displaystyle F^{n}.}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$

(где обозначает композицию функций ), и ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {new} }(\phi _{\mathrm {old} }^{-1}(B_{\mathrm {old} })).}$

Непосредственная проверка показывает, что это определение совпадает с определением в предыдущем разделе. ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$

Теперь, составив уравнение с слева и справа, получим ${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }=\phi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}}$ ${\displaystyle \phi _{\mathrm {new} }^{-1}}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}=\psi _{A}\circ \phi _{\mathrm {new} }^{-1}.}$

Из этого следует, что для одного есть ${\displaystyle v\in V,}$

${\displaystyle \phi _{\mathrm {old} }^{-1}(v)=\psi _{A}(\phi _{\mathrm {new} }^{-1}(v)),}$

что представляет собой формулу смены базиса, выраженную в терминах линейных карт вместо координат.

Функция, определенная в векторном пространстве

Функция , областью определения которой является векторное пространство, обычно определяется как многомерная функция , переменными которой являются координаты на некоторой основе вектора, к которому применяется функция .

При изменении базиса выражение функции изменяется. Это изменение можно вычислить, заменив "старые" координаты их выражениями в терминах "новых" координат. Точнее, если f ( x ) — это выражение функции в терминах старых координат, а если x = A y — это формула изменения базиса, то f ( A y ) — это выражение той же функции в терминах новых координат.

Тот факт, что формула смены базиса выражает старые координаты через новые, может показаться неестественным, но представляется полезным, поскольку здесь не требуется обращения матрицы .

Поскольку формула смены базиса включает только линейные функции , многие свойства функции сохраняются при смене базиса. Это позволяет определить эти свойства как свойства функций переменного вектора, которые не связаны с каким-либо конкретным базисом. Так, функция, областью определения которой является векторное пространство или его подмножество, является

• линейная функция,
• полиномиальная функция ,
• непрерывная функция ,
• дифференцируемая функция ,
• гладкая функция ,
• аналитическая функция ,

если многомерная функция, представляющая его на некотором базисе — и, следовательно, на каждом базисе — имеет то же свойство.

Это особенно полезно в теории многообразий , поскольку позволяет распространить понятия непрерывных, дифференцируемых, гладких и аналитических функций на функции, определенные на многообразии.

Линейные карты

Рассмотрим линейное отображение T : W → V из векторного пространства W размерности n в векторное пространство V размерности m . Оно представлено на «старых» базисах V и W матрицей M размером m × n . Изменение базиса определяется матрицей изменения базиса P размером m × m для V и матрицей изменения базиса Q размером n × n для W.

На «новых» базисах матрица T имеет вид

${\displaystyle P^{-1}MQ.}$

Это прямое следствие формулы смены базиса.

Эндоморфизмы

Эндоморфизмы — это линейные отображения из векторного пространства V в себя. Для смены базиса применяется формула из предыдущего раздела с той же матрицей смены базиса с обеих сторон формулы. То есть, если M — квадратная матрица эндоморфизма V над «старым» базисом, а P — матрица смены базиса, то матрица эндоморфизма над «новым» базисом равна

${\displaystyle P^{-1}MP.}$

Поскольку каждая обратимая матрица может быть использована в качестве матрицы смены базиса, это означает, что две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они представляют один и тот же эндоморфизм на двух разных базисах.

Билинейные формы

Билинейная форма на векторном пространстве V над полем F — это функция V × V → F , которая линейна по обоим аргументам. То есть, B  : V × V → F является билинейной, если отображения и линейны для каждого фиксированного ${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$ ${\displaystyle v\mapsto B(w,v)}$ ${\displaystyle w\in V.}$

Матрица B билинейной формы B на базисе (далее «старый» базис) — это матрица, элемент i -й строки и j- го столбца которой равен . Отсюда следует, что если v и w — векторы-столбцы координат двух векторов v и w , то имеем ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle B(v_{i},v_{j})}$

${\displaystyle B(v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \mathbf {w} ,}$

где обозначает транспонирование матрицы v . ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}$

Если P — это изменение базисной матрицы, то прямое вычисление показывает, что матрица билинейной формы на новом базисе имеет вид

${\displaystyle P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P.}$

Симметричная билинейная форма — это билинейная форма B такая, что для любых v и w в V . Отсюда следует, что матрица B на любом базисе симметрична . Это подразумевает, что свойство быть симметричной матрицей должно сохраняться приведенной выше формулой смены базы. Это также можно проверить, заметив, что транспонирование матричного произведения является произведением транспонирований, вычисленных в обратном порядке. В частности, ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$

${\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}P,}$

и два члена этого уравнения равны, если матрица B симметрична. ${\displaystyle P^{\mathsf {T}}\mathbf {B} P}$

Если характеристика основного поля F не равна двум, то для каждой симметричной билинейной формы существует базис, для которого матрица является диагональной . Более того, полученные ненулевые элементы на диагонали определены с точностью до умножения на квадрат. Таким образом, если основное поле является полем действительных чисел , эти ненулевые элементы могут быть выбраны равными либо 1 , либо –1 . Закон инерции Сильвестра — это теорема, утверждающая, что числа 1 и –1 зависят только от билинейной формы, а не от смены базиса. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Симметричные билинейные формы над вещественными числами часто встречаются в геометрии и физике , как правило , при изучении квадрик и инерции твердого тела . В этих случаях ортонормированные базисы особенно полезны; это означает, что обычно предпочитают ограничивать изменения базиса теми, которые имеют ортогональную матрицу изменения базиса, то есть матрицу такую, что Такие матрицы обладают фундаментальным свойством, что формула изменения базиса одинакова для симметричной билинейной формы и эндоморфизма, представленного той же симметричной матрицей. Спектральная теорема утверждает, что для такой симметричной матрицы существует ортогональное изменение базиса такое, что результирующая матрица (как билинейной формы, так и эндоморфизма) является диагональной матрицей с собственными значениями исходной матрицы на диагонали. Из этого следует, что над вещественными числами, если матрица эндоморфизма симметрична, то она диагонализируема . ${\displaystyle P^{\mathsf {T}}=P^{-1}.}$

Смотрите также

• Активная и пассивная трансформация
• Ковариантность и контравариантность векторов
• Интегральное преобразование , непрерывный аналог смены базиса.
• Веса Чиргвина-Коулсона  — применение в вычислительной химии

Примечания

1. Хотя базис обычно определяется как набор векторов (например, как охватывающее множество, которое линейно независимо), здесь удобна запись кортежа , поскольку индексация по первым положительным целым числам делает базис упорядоченным .

Ссылки

1. Антон (1987, стр. 221–237)
2. Борегар и Фрели (1973, стр. 240–243)
3. Неринг (1970, стр. 50–52)

Библиография

• Антон, Говард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Борегард, Рэймонд А.; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646

Внешние ссылки

• Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института об изменении базиса, от MIT OpenCourseWare
• Лекция Академии Хана об изменении основы, от Академии Хана