Измерение пространства

Множество, на котором определено обобщение объемов и интегралов

Пространство меры является базовым объектом теории меры , раздела математики , изучающего обобщенные понятия объемов . Оно содержит базовое множество, подмножества этого множества, которые можно измерить ( σ -алгебра ), и метод, который используется для измерения (мера ) . Одним из важных примеров пространства меры является вероятностное пространство .

Измеримое пространство состоит из первых двух компонентов без конкретной меры.

Определение

Мерное пространство — это тройка , где ^{[1] [2]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ),}$

• ${\displaystyle X}$это набор
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$является σ -алгеброй на множестве ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu }$является мерой по ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

Другими словами, пространство меры состоит из измеримого пространства вместе с мерой на нем. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

Пример

Set . Алгебра на конечных множествах, таких как приведенное выше, обычно является множеством степеней , которое является множеством всех подмножеств (данного множества) и обозначается Придерживаясь этого соглашения, мы устанавливаем ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle \wp (\cdot ).}$ $${\displaystyle {\mathcal {A}}=\wp (X)}$$

В этом простом случае набор мощностей можно записать явно: $${\displaystyle \wp (X)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.}$$

В качестве меры определим так ( по аддитивности мер) и (по определению мер). ${\textstyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},}$$ ${\textstyle \mu (X)=1}$ ${\textstyle \mu (\varnothing )=0}$

Это приводит к пространству мер . Это пространство вероятностей , поскольку мера соответствует распределению Бернулли , которое , например, используется для моделирования честного подбрасывания монеты. ${\textstyle (X,\wp (X),\mu ).}$ ${\textstyle \mu (X)=1.}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle p={\frac {1}{2}},}$

Важные классы пространств мер

Наиболее важные классы пространств мер определяются свойствами связанных с ними мер. Это включает в себя, в порядке возрастания общности:

• Вероятностные пространства , мерное пространство, где мера является вероятностной мерой ^[1]
• Пространства с конечной мерой, где мера является конечной мерой ^[3]
• ${\displaystyle \sigma }$-пространства с конечной мерой, где мера является -конечной мерой ^[3] ${\displaystyle \sigma }$

Другой класс пространств с мерой — это полные пространства с мерой . ^[4]

Ссылки

1. Kosorok, Michael R. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод . Нью-Йорк: Springer. стр. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
2. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. стр. 18. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
3. Аносов, ДВ (2001) [1994], "Измерение пространства", Энциклопедия математики , EMS Press
4. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. стр. 33. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.