Первобытный

Произведение первых простых чисел

В математике , и в частности в теории чисел , ипримориал , обозначаемый символом «#», — это функция от натуральных чисел до натуральных чисел, аналогичная функции факториала , но вместо последовательного умножения положительных целых чисел эта функция умножает только простые числа .

Название «первичный», придуманное Харви Дабнером , проводит аналогию с простыми числами, подобно тому, как название «факториал» относится к множителям .

Определение простых чисел

p _n # как функция n , построенная в логарифмическом масштабе.

Для n- го простого числа p _n , ипримориал p _n # определяется как произведение первых n простых чисел: ^{[1] [2]}

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$,

где p _k — k- е простое число. Например, p ₅ # обозначает произведение первых 5 простых чисел:

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Первые пять изначальных p _n # следующие:

2 , 6 , 30 , 210 , 2310 (последовательность A002110 в OEIS ).

Последовательность также включает p ₀ # = 1 как пустое произведение . Асимптотически, иприориалы p _n # растут согласно:

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},}$

где o ( ) — это обозначение Little O. [ ^2]

Определение натуральных чисел

n ! (желтый) как функция n , в сравнении с n # (красный), оба графика построены в логарифмическом масштабе.

В общем случае для положительного целого числа n его ипримориал, n# , является произведением простых чисел, не превосходящих n ; то есть, ^{[1] [3]}

${\displaystyle n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$,

где π ( n ) — функция подсчета простых чисел (последовательность A000720 в OEIS ), которая дает количество простых чисел ≤ n . Это эквивалентно:

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{if }}n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&{\text{if }}n{\text{ is composite}}.\end{cases}}}$

Например, 12# представляет собой произведение тех простых чисел, которые ≤ 12:

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Поскольку π (12) = 5 , это можно рассчитать как:

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

Рассмотрим первые 12 значений n # :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Мы видим, что для составного n каждый член n # просто дублирует предыдущий член ( n − 1)# , как указано в определении. В приведенном выше примере мы имеем 12# = p ₅ # = 11#, поскольку 12 является составным числом.

Праймориалы связаны с первой функцией Чебышёва , обозначаемой ϑ ( n ) или θ ( n ), следующим образом:

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta (n).}$^[4]

Поскольку ϑ ( n ) асимптотически приближается к n при больших значениях n , то изначальные числа растут согласно:

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1))n}.}$

Идея умножения всех известных простых чисел встречается в некоторых доказательствах бесконечности простых чисел , где она используется для вывода существования другого простого числа.

Характеристики

• Пусть p и q — два соседних простых числа. Дано любое , где : ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p\leq n<q}$

${\displaystyle n\#=p\#}$

• Для Первичного известна следующая аппроксимация: ^[5]

${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$.

Примечания:

1. Используя элементарные методы, математик Денис Хансон показал, что ^[6] ${\displaystyle n\#\leq 3^{n}}$
2. Используя более продвинутые методы, Россер и Шенфельд показали, что ^[7] ${\displaystyle n\#\leq (2.763)^{n}}$
3. Россер и Шенфельд в теореме 4, формула 3.14, показали, что для , ^[7] ${\displaystyle n\geq 563}$ ${\displaystyle n\#\geq (2.22)^{n}}$

• Более того:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$

Для значения меньше, чем e , ^[8] но для больших n значения функции превышают предел e и в дальнейшем бесконечно колеблются вокруг e . ${\displaystyle n<10^{11}}$

• Пусть будет k -м простым числом, тогда имеет ровно делителей. Например, имеет 2 делителя, имеет 4 делителя, имеет 8 делителей и уже имеет делители, так как 97 является 25-м простым числом. ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle p_{k}\#}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle 2\#}$ ${\displaystyle 3\#}$ ${\displaystyle 5\#}$ ${\displaystyle 97\#}$ ${\displaystyle 2^{25}}$
• Сумма обратных величин праймориала стремится к константе

${\displaystyle \sum _{p\,\in \,\mathbb {P} }{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots }$

Разложение Энгеля этого числа приводит к последовательности простых чисел (см. (последовательность A064648 в OEIS ))

• Согласно теореме Евклида , используется для доказательства бесконечности простых чисел. ${\displaystyle p\#+1}$

Применение и свойства

Праймориалы играют роль в поиске простых чисел в аддитивных арифметических прогрессиях . Например, 2 236 133 941  + 23# дает простое число, начиная последовательность из тринадцати простых чисел, найденных путем многократного добавления 23#, и заканчивая5 136 341 251 . 23# также является разностью в арифметических прогрессиях пятнадцати и шестнадцати простых чисел.

Каждое сложное число является произведением простых чисел (например, 360 = 2 × 6 × 30 ). ^[9]

Все первообразные числа являются свободными от квадратов целыми числами , и каждое из них имеет больше различных простых множителей , чем любое число, меньшее его. Для каждого первообразного числа n дробь ⁠φ ( н )/н⁠ меньше, чем для любого меньшего целого числа, где φ — функция Эйлера .

Любая полностью мультипликативная функция определяется своими значениями в начальных числах, поскольку она определяется своими значениями в начальных числах, которые можно восстановить путем деления соседних значений.

Системы счисления, соответствующие изначальным системам счисления (например, система счисления с основанием 30, не путать с изначальными системами счисления ), имеют меньшую долю повторяющихся дробей , чем системы с меньшим основанием.

Каждый изначальный элемент является разреженным числом . ^[10]

n -композиториал составного числа n - это произведение всех составных чисел до n включительно . ^[11] n -композиториал равен n -факториалу, деленному на изначальный n # . Композиториалы - это

1 , 4 , 24 , 192 , 1728 ,17 280 ,207 360 ,2 903 040 ,43 545 600 ,696 729 600 , ... ^[12]

Появление

Дзета -функция Римана при положительных целых числах, больших единицы, может быть выражена ^[13] с помощью изначальных функций и функции тотиента Жордана J _k ( n ) :

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

Таблица первообразных

Смотрите также

• Неравенство Бонса
• функция Чебышева
• Первичная система счисления
• Первичный первичный

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Первобытный». Математический мир .
2. (последовательность A002110 в OEIS )
3. (последовательность A034386 в OEIS )
4. Вайсштейн, Эрик В. «Функции Чебышева». MathWorld .
5. GH Hardy, EM Wright: Введение в теорию чисел . 4-е издание. Oxford University Press, Оксфорд, 1975. ISBN 0-19-853310-1 . Теорема 415, стр. 341 
   
6. Хансон, Денис (март 1972 г.). «О произведении простых чисел». Канадский математический бюллетень . 15 (1): 33–37. doi : 10.4153/cmb-1972-007-7 . ISSN  0008-4395.
7. Россер, Дж. Баркли; Шенфельд, Лоуэлл (1962-03-01). «Приближенные формулы для некоторых функций простых чисел». Illinois Journal of Mathematics . 6 (1). doi : 10.1215/ijm/1255631807 . ISSN  0019-2082.
8. Л. Шенфельд: Более точные оценки для функций Чебышева и ${\displaystyle \theta (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ . II. Математика. Комп. Том. 34, № 134 (1976) 337–360; п. 359.
   Цитируется по: Робин Г.: Estimation de la fonction de Tchebychef sur le k -ieme nombre premier et grandes valeurs de la fonction , nombre de diviseurs premiers de n ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega (n)}$ . Акта Арифм. XLII (1983) 367–389 (PDF, 731 КБ); п. 371
9. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A002182 (Высокосоставные числа)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
10. Masser, DW ; Shiu, P. (1986). «О разреженных числах». Pacific Journal of Mathematics . 121 (2): 407–426. doi : 10.2140/pjm.1986.121.407 . ISSN  0030-8730. MR  0819198. Zbl  0538.10006.
11. Уэллс, Дэвид (2011). Простые числа: самые загадочные цифры в математике. John Wiley & Sons. стр. 29. ISBN 9781118045718. Получено 16 марта 2016 г.
12. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A036691 (Составные числа: произведение первых n составных чисел.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
13. Мезё, Иштван (2013). «Первичная функция и дзета-функция Римана». The American Mathematical Monthly . 120 (4): 321.
14. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A014545 (первичный плюс 1 простой индекс)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
15. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A057704 (первичные - 1 простые индексы)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

Ссылки

• Дабнер, Харви (1987). «Факториальные и изначальные простые числа». J. Recr. Math. 19 : 197–203.
• Спенсер, Адам «Топ-100» Номер 59 часть 4.